Distanza dal punto di lancio e angolo "critico"
Ciao ragazzi, mi sono imbattuto in questo problema che ho provato diverse volte a risolvere da solo perdendomi nei meandri più oscuri di seni e coseni elevati alla quarta... In pratica trovo scritto: "consideriamo un proiettile lanciato dall'origine in una direzione formante un angolo $\varphi$ con il piano orizzontale; la sua posizione successiva sia $ r(t) $. Per angoli abbastanza piccoli la distanza dall'origine $ r = |r| $ aumenta sempre. Per angoli vicini a 90 gradi, invece, il proiettile salendo dapprima si allontana dall'origine e poi scendendo si avvicina nuovamente. Quale angolo critico $\varphi c $ suddivide le due classi di lanci?".. Io ho pensato di ricavare la distanza dall'origine come radice della somma dei quadrati dello spostamento lungo l'asse x e dello spostamento lungo l'asse y in funzione del tempo, e poi derivando per ricavare gli intervalli di valori dell'angolo $\varphi$ per cui la derivata di r è sempre crescente e quelli per cui non lo è, ma come vi ho detto già all'inizio mi sono perso per vie oscure.. Qualcuno sa come risolvere questo problema, è in grado di illuminarmi la via? Grazie ragazzi per l'attenzione e buon anno nuovo! 
Risposte
Il testo del problema che hai postato mi sembra un modo molto contorto e prolisso per formulare il classico problema della gittata: "quale è l'angolo di lancio che massimizza la gittata?". Il modo per risolverlo è:
- determinare la formula della gittata in funzione dell'angolo di lancio (problema molto semplice)
- determinare il valore dell'angolo in corrispondenza del quale si ha un massimo. se, come sembra, conosci le derivate, anche questo problema è molto semplice
- determinare la formula della gittata in funzione dell'angolo di lancio (problema molto semplice)
- determinare il valore dell'angolo in corrispondenza del quale si ha un massimo. se, come sembra, conosci le derivate, anche questo problema è molto semplice
allora,dobbiamo vedere qual è l'angolo "critico" oltre il quale $r(t)=sqrt(x^2(t)+y^2(t))$ raggiunge un massimo prima del'istante $t_c$ in cui l'oggetto ricade a terra
considerando che le leggi orarie di x e y sono
$x=(v_0cosalpha)t$
$y=(v_osenalpha)t-1/2 g t^2$
si ha
$r^2(t)=v_0^2t^2+1/4g^2t^4-(v_0gsinalpha)t^3$
il problema equivale a vedere per quali valori di $alpha$ l'equazione $(r^2(t))'=0 $ ha una soluzione accettabile,cioè minore di $(2v_0senalpha)/g$ ($t_c$)
considerando che le leggi orarie di x e y sono
$x=(v_0cosalpha)t$
$y=(v_osenalpha)t-1/2 g t^2$
si ha
$r^2(t)=v_0^2t^2+1/4g^2t^4-(v_0gsinalpha)t^3$
il problema equivale a vedere per quali valori di $alpha$ l'equazione $(r^2(t))'=0 $ ha una soluzione accettabile,cioè minore di $(2v_0senalpha)/g$ ($t_c$)
Chiedo scusa...ho riletto il problema e lo ho interpretato male. Il mio post precedente è da ignorare!
L'analisi di porzio è corretta. Volendo essere più espliciti, possiamo dire che cerchiamo il valore di \(\displaystyle \alpha \) che fa da confine tra i valori per cui la funzione \(\displaystyle r^2(t) \) è monotona e quelli per cui non lo è. Ciò equivale a trovare il valore di \(\displaystyle \alpha \) che fa da confine tra i valori per cui la funzione
\(\displaystyle (r^2(t))'=2v_0^2t+g^2t^3-3v_0g\sin\alpha t^2\)
ha sempre lo stesso segno e quelli per cui essa cambia di segno.
Poiché \(\displaystyle t \) è sempre positivo, possiamo dividere per \(\displaystyle t \) e porci la stessa domanda, cioè trovare il valore di \(\displaystyle \alpha \) che fa da confine tra i valori per cui la funzione
\(\displaystyle (r^2(t))'/t=2v_0^2+g^2t^2-3v_0g\sin\alpha t\)
ha sempre lo stesso segno e quelli per cui essa cambia di segno. Poiché questa è una parabola, cio avviene quando essa è tangente all'asse delle ascisse, cioè quando ha una sola soluzione e cioè quando il suo discriminante è nullo:
\(\displaystyle \Delta=9v_0^2g^2\sin^2\alpha -8v_0^2g^2=0\quad \Rightarrow \quad \sin\alpha = \frac{2\sqrt 2}{3}\)
\(\displaystyle (r^2(t))'=2v_0^2t+g^2t^3-3v_0g\sin\alpha t^2\)
ha sempre lo stesso segno e quelli per cui essa cambia di segno.
Poiché \(\displaystyle t \) è sempre positivo, possiamo dividere per \(\displaystyle t \) e porci la stessa domanda, cioè trovare il valore di \(\displaystyle \alpha \) che fa da confine tra i valori per cui la funzione
\(\displaystyle (r^2(t))'/t=2v_0^2+g^2t^2-3v_0g\sin\alpha t\)
ha sempre lo stesso segno e quelli per cui essa cambia di segno. Poiché questa è una parabola, cio avviene quando essa è tangente all'asse delle ascisse, cioè quando ha una sola soluzione e cioè quando il suo discriminante è nullo:
\(\displaystyle \Delta=9v_0^2g^2\sin^2\alpha -8v_0^2g^2=0\quad \Rightarrow \quad \sin\alpha = \frac{2\sqrt 2}{3}\)
Geniale mathbells! Grazie a entrambi mi avete snebbiato la vista! Non sapevo proprio più cosa cercare.. Grazie!
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