Distacco da una superficie sferica
Caro forum, vi chiedo ancora una volta un aiuto 
Stavo provando a risolvere un problema, ma sono arrivato ad un punto morto, probabilmente ho sbagliato qualche considerazione:
Un ragazzino si trova sulla sommità di una semisfera di raggio R. Il ragazzo riceve una lievissima spinta e inizia a scivolare. Considerando nulli gli attriti, dire a che altezza il bimbo si stacca dalla sfera.
IL MIO RAGIONAMENTO:
Il ragazzetto casca a terra quando la forza normale è minore della forza centripeta.
Considerando un angolo $\theta$ qualsiasi, avremo:
$mgcos\theta
l'energia cinetica iniziale è zero, per il momento di distacco scrivo:
$mg(R-x)=1/2mv^2$
dove x è appunto l'altezza alla quale si stacca il pargolo.
sostituendo ottengo:
$mgcos\theta<2mg(R-x)/R$
$cos\theta<2(R-x)/R$
a questo punto ho pensato di sostiruire $x=Rsin\theta$ e ricavarmi l'angolo, quindi x.
Purtroppo il risultato non coincide con quello del libro...
Mi dareste una mano?
Stavo provando a risolvere un problema, ma sono arrivato ad un punto morto, probabilmente ho sbagliato qualche considerazione:
Un ragazzino si trova sulla sommità di una semisfera di raggio R. Il ragazzo riceve una lievissima spinta e inizia a scivolare. Considerando nulli gli attriti, dire a che altezza il bimbo si stacca dalla sfera.
IL MIO RAGIONAMENTO:
Il ragazzetto casca a terra quando la forza normale è minore della forza centripeta.
Considerando un angolo $\theta$ qualsiasi, avremo:
$mgcos\theta
l'energia cinetica iniziale è zero, per il momento di distacco scrivo:
$mg(R-x)=1/2mv^2$
dove x è appunto l'altezza alla quale si stacca il pargolo.
sostituendo ottengo:
$mgcos\theta<2mg(R-x)/R$
$cos\theta<2(R-x)/R$
a questo punto ho pensato di sostiruire $x=Rsin\theta$ e ricavarmi l'angolo, quindi x.
Purtroppo il risultato non coincide con quello del libro...
Mi dareste una mano?
Risposte
scusate ho considerato una volta l'angolo complementare e un'altra quello da considerare realmente... Ora viene tutto
scusate il disturbo! Potete tranquillamente chiudere chiedo ancora scusa
scusate il disturbo! Potete tranquillamente chiudere
chiedo ancora scusa
Se ti vuoi divertire ancora di più, considera il caso in cui anche la semisfera, di massa [tex]M[/tex], possa muoversi senza attrito su un piano orizzontale (è un problema di ammissione alla SNS di qualche anno fa). Qui (su OLIMAT o OLIFIS) trovi la discussione. Se frequenti Fisica o Matematica te lo consiglio, per altri CdL può essere eccessivo.
-mi hai fatto incuriosire. Io studio Ingegneria, ma mi sono sempre piaciute le questioni "difficili" -non per altro! giusto ad "assaggiarne" la difficoltà. Ora semmai ci lavoro.
visto che ci sei perché non considerare anche l'attrito sul contatto inferiore della sfera?
Ho usato la meccanica Lagrangiana, ma ovviamente si sarebbero avuti gli stessi risultati usando la Meccanica Newtoniana.
Sia $x$ una coordinata in orizzontale, e $\theta$ l'angolo tra il raggio dal centro della sfera, di raggio $R$, di cui stiamo considerando semisfera ed il
punto materiale che scivoli sulla sua superficie.
$M$ sia la massa della semisfera, ed $m$ la massa del punto materiale.
Lagrangiana:
$L=M/2\dotx^2+m/2(R^2\dot\theta^2+2r\dot\theta\dotxcos\theta)-mgRcos\theta$
Versione senza attrito tra il piano e la semisfera:
Ho immediatamente l'integrale primo
$\del_\dotxL=M\dotx+mR\dot\thetacos\theta=cost.=0$
E l'integrale primo di conservazione dell'energia meccanica:
$M/2\dotx^2+m/2(R^2\dot\theta^2+2r\dot\theta\dotxcos\theta) +mgRcos\theta=cost.=mgR$
Con questi, posso "ridurre alle quadrature" avendo:
$\dot\theta^2=(2gM/R(1-cos\theta)/(M-mcos^2\theta))$ (equazione$(A$)
Non giuro sui conti! ma mi sembrano
giusti considerando che per $M->\infty$ (quindi sfera ferma) ad occhio
ho qualcosa come l'equazione del pendolo.
Comunque ora è il procedimento concettuale che mi interessa.
Dall'equazione comunque ottengo equazione che mi servirà in seguito:
$\ddot\theta=gM/R "d"/("d"\theta)(1-cos\theta)/(M-mcos^2\theta)$ (equazione $(B$).
Si ha distacco quando l'accelerazione centrifuga eguagli in modulo l'accelerazione centripeta.
Ora, l'accelerazione centripeta è data da $gcos\theta$ come quando la semisfera è vincolata a non spostarsi,
più (vettorialmente) la proiezione lungo la normale della accelerazione relativa orizzontale (per la forza apparente di inerzia) del punto materiale
in un riferimento solidale alla semisfera:
$1/R(R^2\dot\theta^2+2r\dot\theta\dotxcos\theta)=gcos\theta-(-\ddotx)sin\theta$ (equazione $(C$)
Qui appare (come intuitivo) che il distacco avviene per un angolo minore che a semisfera ferma -essendo il secondo termine a secondo membro minore di zero.
So già formulare $\dotx$ in funzione di $\dot\theta$ e di funzioni trigonometriche di $\theta$
E, derivando la $(A$, posso allora formulare anche $\ddotx$ in funzione di $\ddot\theta$,$\dot\theta$ e funzioni trigonometriche di $\theta$.
Con la $(A$ e la $(B$ quindi posso riformulare la $(C$ solo in funzione di funzioni trigonometriche di $\theta$.
Sulla eventuale solubilità analitica dell'espressione risultante, non saprei -perchè onestamente non mi sono messo a scriverla.
Ma, anche ai termini del quesito di ammissione, non importerebbe.
Non so se si possano avere espressioni più semplici, nè se sono io ad averla fatta complicata, mentre c'era qualche idea semplificatrice_ ma non so -in linea di principio mi sembra corretto il procedimento.
Se considero l'attrito, la cosa un po' si complica
Sia $x$ una coordinata in orizzontale, e $\theta$ l'angolo tra il raggio dal centro della sfera, di raggio $R$, di cui stiamo considerando semisfera ed il
punto materiale che scivoli sulla sua superficie.
$M$ sia la massa della semisfera, ed $m$ la massa del punto materiale.
Lagrangiana:
$L=M/2\dotx^2+m/2(R^2\dot\theta^2+2r\dot\theta\dotxcos\theta)-mgRcos\theta$
Versione senza attrito tra il piano e la semisfera:
Ho immediatamente l'integrale primo
$\del_\dotxL=M\dotx+mR\dot\thetacos\theta=cost.=0$
E l'integrale primo di conservazione dell'energia meccanica:
$M/2\dotx^2+m/2(R^2\dot\theta^2+2r\dot\theta\dotxcos\theta) +mgRcos\theta=cost.=mgR$
Con questi, posso "ridurre alle quadrature" avendo:
$\dot\theta^2=(2gM/R(1-cos\theta)/(M-mcos^2\theta))$ (equazione$(A$)
Non giuro sui conti! ma mi sembrano
giusti considerando che per $M->\infty$ (quindi sfera ferma) ad occhio
ho qualcosa come l'equazione del pendolo.
Comunque ora è il procedimento concettuale che mi interessa.
Dall'equazione comunque ottengo equazione che mi servirà in seguito:
$\ddot\theta=gM/R "d"/("d"\theta)(1-cos\theta)/(M-mcos^2\theta)$ (equazione $(B$).
Si ha distacco quando l'accelerazione centrifuga eguagli in modulo l'accelerazione centripeta.
Ora, l'accelerazione centripeta è data da $gcos\theta$ come quando la semisfera è vincolata a non spostarsi,
più (vettorialmente) la proiezione lungo la normale della accelerazione relativa orizzontale (per la forza apparente di inerzia) del punto materiale
in un riferimento solidale alla semisfera:
$1/R(R^2\dot\theta^2+2r\dot\theta\dotxcos\theta)=gcos\theta-(-\ddotx)sin\theta$ (equazione $(C$)
Qui appare (come intuitivo) che il distacco avviene per un angolo minore che a semisfera ferma -essendo il secondo termine a secondo membro minore di zero.
So già formulare $\dotx$ in funzione di $\dot\theta$ e di funzioni trigonometriche di $\theta$
E, derivando la $(A$, posso allora formulare anche $\ddotx$ in funzione di $\ddot\theta$,$\dot\theta$ e funzioni trigonometriche di $\theta$.
Con la $(A$ e la $(B$ quindi posso riformulare la $(C$ solo in funzione di funzioni trigonometriche di $\theta$.
Sulla eventuale solubilità analitica dell'espressione risultante, non saprei -perchè onestamente non mi sono messo a scriverla.
Ma, anche ai termini del quesito di ammissione, non importerebbe.
Non so se si possano avere espressioni più semplici, nè se sono io ad averla fatta complicata, mentre c'era qualche idea semplificatrice_ ma non so -in linea di principio mi sembra corretto il procedimento.
Se considero l'attrito, la cosa un po' si complica
p.s. mi scuso in anticipo per evntuali arrori di calcolo, battitura, o sviste: ora non ho tempo a rivedere.
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