Discussione problema statico
Salve. Ho un banale dubbio in merito alla discussione della soluzione di un sistema lineare per la determinazione delle reazioni vincolari (problema statico).
Si può risolvere il problema statico andando a scrivere il sistema lineare da risolvere in forma matriciale e discutendo la soluzione coi metodi della algebra lineare: se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero ho una e una sola soluzione (corpo isostatico); più in generale se ho il rango della completa uguale a quello della incompleta allora ho o infinite soluzioni (corpo iperstatico) o una sola (isostatico). Posso trovare la molteplicità con i metodi della algebra lineare. Altrimenti il sistema è impossibile (trave labile).
E questo, a meno che non abbia fatto errori, mi torna e dovrebbe essere corretto.
Tuttavia mi è stato anche detto che posso stabilire la qualità del problema nei 2 seguenti modi tra loro equivalenti:
1. Se il numero delle equazioni = numero incognite il sistema potrebbe essere isostatico. Se le equazioni sono maggiori delle incognite la trave è labile; se le equazioni sono minori delle incognite il problema è iperstatico.
2. Valgono le stesse considerazioni sopra riportate se sostituiamo a “equazioni” i gradi di libertà del corpo rigido e a “incognite” i gradi di vincolo (numero vincoli semplici).
Ora il mio problema è:
La formulazione 1 mi torna se il “numero di equazioni” è inteso come equazioni indipendenti fra loro, giusto?
Poi: i gradi di libertà del corpo rigido nel piano sono SEMPRE 3; le equazioni indipendenti NON sempre sono 3 nel piano: ci sta siano meno... o no? Quindi come faccio a sostituire nell’enunciato a “equazioni” il numero di gradi di libertà visto che il primo non dovrebbe essere fisso e il secondo lo è?
Spero di essermi spiegato!!
Si può risolvere il problema statico andando a scrivere il sistema lineare da risolvere in forma matriciale e discutendo la soluzione coi metodi della algebra lineare: se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero ho una e una sola soluzione (corpo isostatico); più in generale se ho il rango della completa uguale a quello della incompleta allora ho o infinite soluzioni (corpo iperstatico) o una sola (isostatico). Posso trovare la molteplicità con i metodi della algebra lineare. Altrimenti il sistema è impossibile (trave labile).
E questo, a meno che non abbia fatto errori, mi torna e dovrebbe essere corretto.
Tuttavia mi è stato anche detto che posso stabilire la qualità del problema nei 2 seguenti modi tra loro equivalenti:
1. Se il numero delle equazioni = numero incognite il sistema potrebbe essere isostatico. Se le equazioni sono maggiori delle incognite la trave è labile; se le equazioni sono minori delle incognite il problema è iperstatico.
2. Valgono le stesse considerazioni sopra riportate se sostituiamo a “equazioni” i gradi di libertà del corpo rigido e a “incognite” i gradi di vincolo (numero vincoli semplici).
Ora il mio problema è:
La formulazione 1 mi torna se il “numero di equazioni” è inteso come equazioni indipendenti fra loro, giusto?
Poi: i gradi di libertà del corpo rigido nel piano sono SEMPRE 3; le equazioni indipendenti NON sempre sono 3 nel piano: ci sta siano meno... o no? Quindi come faccio a sostituire nell’enunciato a “equazioni” il numero di gradi di libertà visto che il primo non dovrebbe essere fisso e il secondo lo è?
Spero di essermi spiegato!!
Risposte
"AndrewX":
Ora il mio problema è:
La formulazione 1 mi torna se il “numero di equazioni” è inteso come equazioni indipendenti fra loro, giusto?
Sicuramente, devo essere indipendenti.
Poi: i gradi di libertà del corpo rigido nel piano sono SEMPRE 3; le equazioni indipendenti NON sempre sono 3 nel piano: ci sta siano meno... o no? Quindi come faccio a sostituire nell’enunciato a “equazioni” il numero di gradi di libertà visto che il primo non dovrebbe essere fisso e il secondo lo è?
Spero di essermi spiegato!!
i gradi di libertá nel piano sono tre, d’accordo. Ma che vuoi dire con le equazioni indipendenti NON sempre sono 3 nel piano: ci sta siano meno... o no? Spiegati meglio per favore. Di solito, scrivi due equazioni di equilibrio alla traslazione e una di equilibrio alla rotazione. Che cosa non ti convince?
Esatto in genere scrivo due equazioni alla traslazione e una di rotazione e queste sono sempre indipendenti? Io direi di no perché in un certo senso poi queste sono quelle che compaiono anche nelle righe della espressione matriciale del sistema lineare che, come da analisi di tipo algebrico, possono essere tali per cui alcune righe (cioè equazioni) sono combinazione lineare delle altre.
Il tutto è nato da un esempio che mi è stato fatto:
1. Considero una trave orizzontale con cerniera e carrello agli estremi E carico verticale in mezzeria (in modo tale che la direzione efficace del carrello sia ortogonale alla trave, quindi non passa per la cerniera): il sistema é isostatico.
2. Stessa cosa ma con la direzione efficace del carrello che passa per la cerniera e carico passante per la cerniera. In questo caso mi è stato detto che delle 3 equazioni di equilibrio solo 2 sono indipendenti. Da qua il mio dubbio nel dire che non sempre allora le equazioni di equilibrio sono 3 indipendenti mentre i gradi di libertà sono sempre 3...
Mentre ti torna che se i gradi di libertà sono maggiori dei gradi di vincolo allora il sistema è labile in generale (condizione sufficiente per Labilitá) e se invece i gradi di libertà sono minori dei gradi di vincolo allora è condizione sufficiente per iperstaticità?
Il tutto è nato da un esempio che mi è stato fatto:
1. Considero una trave orizzontale con cerniera e carrello agli estremi E carico verticale in mezzeria (in modo tale che la direzione efficace del carrello sia ortogonale alla trave, quindi non passa per la cerniera): il sistema é isostatico.
2. Stessa cosa ma con la direzione efficace del carrello che passa per la cerniera e carico passante per la cerniera. In questo caso mi è stato detto che delle 3 equazioni di equilibrio solo 2 sono indipendenti. Da qua il mio dubbio nel dire che non sempre allora le equazioni di equilibrio sono 3 indipendenti mentre i gradi di libertà sono sempre 3...
Mentre ti torna che se i gradi di libertà sono maggiori dei gradi di vincolo allora il sistema è labile in generale (condizione sufficiente per Labilitá) e se invece i gradi di libertà sono minori dei gradi di vincolo allora è condizione sufficiente per iperstaticità?
"AndrewX":
Esatto in genere scrivo due equazioni alla traslazione e una di rotazione e queste sono sempre indipendenti? Io direi di no perché in un certo senso poi queste sono quelle che compaiono anche nelle righe della espressione matriciale del sistema lineare che, come da analisi di tipo algebrico, possono essere tali per cui alcune righe (cioè equazioni) sono combinazione lineare delle altre.
Sono indipendenti se il sistema è staticamente determinato. Guarda il fatto fisico, prima di quello algebrico. I tre possibili movimenti nel piano non ti sembrano indipendenti, ben inteso se il sistema è staticamente determinato?
Se, per passare all’algebra, in un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite una è combinazione lineare delle altre due, hai sostanzialmente tre incognite e due sole equazioni indipendenti. In questo caso, se non sbaglio, hai infinite soluzioni. Quindi la struttura è labile, mi sembra.
Il tutto è nato da un esempio che mi è stato fatto:
1. Considero una trave orizzontale con cerniera e carrello agli estremi E carico verticale in mezzeria (in modo tale che la direzione efficace del carrello sia ortogonale alla trave, quindi non passa per la cerniera): il sistema é isostatico.
e questo è giusto, e anche algebricamente hai tre equazioni indipendenti in tre incognite, perfettamente determinato. La soluzione è unica.
2. Stessa cosa ma con la direzione efficace del carrello che passa per la cerniera e carico passante per la cerniera. In questo caso mi è stato detto che delle 3 equazioni di equilibrio solo 2 sono indipendenti. Da qua il mio dubbio nel dire che non sempre allora le equazioni di equilibrio sono 3 indipendenti mentre i gradi di libertà sono sempre 3...
Ma in questo caso la direzione efficace del carrello passa per la cerniera, quindi è consentita (nell’ambito dei piccoli spostamenti) la rotazione della trave attorno alla cerniera, a cui il carrello non si oppone, chiaramente. E che sistema è questo ? É labile mi pare. I gradi di libertà sono sempre tre, ma che c’entra? Stai mischiando concetti diversi. Un’asta poggiata sul piano , libera da vincoli, ha sempre tre gradi di libertà, però non ha vincoli e se nessuno la tocca se ne resta buona dove l’hai poggiata.
Mentre ti torna che se i gradi di libertà sono maggiori dei gradi di vincolo allora il sistema è labile in generale (condizione sufficiente per Labilitá) e se invece i gradi di libertà sono minori dei gradi di vincolo allora è condizione sufficiente per iperstaticità?
Si mi torna.
Allora mi sa che il dubbio di base è il seguente: come faccio a vedere fisicamente che le equazioni all’equilibrio che scrivo siano tutte e tre indipendenti? Ad esempio che è consentita una rotazione infinitesima se la direzione efficace del carrello passa per la cerniera come lo individuo?
Se la direzione efficace del carrello passa per la cerniera, non lo vedi dallo schema? La cerniera consente rotazione, il carrello consente spostamento in direzione parallela al suo piano di appoggio, dunque l’asta così male vincolata può eseguire una rotazione elementare.
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