Disco rotante e condensatore in campo magnetico
Buonasera, sto avendo problemi ad impostare questo esercizio.
"Un disco conduttore di raggio R = 5 cm ruota intorno al suo asse con velocità angolare costante w = 600 rad/s immerso in un campo magnetico B = 0,1 T parallelo all'asse di rotazione. Il perno e il bordo del disco sono connessi tramite due contatti striscianti alle armature di un condensatore di capacità C = 10 µF. Calcolare, a regime, valore e segno della carica sull'armatura A del condensatore."
Avevo pensato a vari approcci per fare questo esercizio ma nessuno sembra fare al caso mio.
Inizialmente avevo pensato di calcolare il flusso di B, ma non sapevo rispetto a quale superficie calcolarlo e ho rinunciato. Avevo pensato di calcolarlo rispetto al disco ma non penso abbia senso, visto che il campo magnetico non può passarci in mezzo come avviene per una spira.
Poi ho pensato di calcolare il campo elettrico come $ v xx B $, ma pure qui non avrei saputo bene come proseguire e ho rinunciato.
Come posso impostare un esercizio del genere?
"Un disco conduttore di raggio R = 5 cm ruota intorno al suo asse con velocità angolare costante w = 600 rad/s immerso in un campo magnetico B = 0,1 T parallelo all'asse di rotazione. Il perno e il bordo del disco sono connessi tramite due contatti striscianti alle armature di un condensatore di capacità C = 10 µF. Calcolare, a regime, valore e segno della carica sull'armatura A del condensatore."
Avevo pensato a vari approcci per fare questo esercizio ma nessuno sembra fare al caso mio.
Inizialmente avevo pensato di calcolare il flusso di B, ma non sapevo rispetto a quale superficie calcolarlo e ho rinunciato. Avevo pensato di calcolarlo rispetto al disco ma non penso abbia senso, visto che il campo magnetico non può passarci in mezzo come avviene per una spira.
Poi ho pensato di calcolare il campo elettrico come $ v xx B $, ma pure qui non avrei saputo bene come proseguire e ho rinunciato.
Come posso impostare un esercizio del genere?
Risposte
L'ultimo approccio è il migliore. Considera che ogni elemento dr a distanza r dal centro e quindi il dV = E dr. Per questo elemento la velocità è definita e quindi puoi calcolare il dV ed integrando la ddp totale.
Beh, l'integrale può essere evitato e direi che in questo caso sia più corretto parlare di tensione che di differenza di potenziale. 
Sono quasi riuscito a risolvere il problema.
Ho fatto il prodotto vettoriale $ v xx B $ trovando come modulo di E $ \omegarB $
Ho calcolato $ \DeltaV = int_()^() E dr =int_(0)^(R) \omegarBdr=(\omegaR^2B)/2 = 0.075 V $
In seguito usando la formula $ Q=C\DeltaV $ ho trovato il risultato che cercavo, ovvero $ 0.75*10^-6 $
Tuttavia, nel risultato dovrebbe esserci un segno e non me lo spiego.
O meglio, la mia ipotesi è che il meno sia dovuto al fatto che il campo elettrico generato da $ v xx B $ sia un campo non conservativo, e dunque dobbiamo calcolare il potenziale su un altro campo di origine elettrostatica (dunque conservativo) che agisce con segno opposto a quello elettromotore.
E' corretta la mia ipotesi?
Ho fatto il prodotto vettoriale $ v xx B $ trovando come modulo di E $ \omegarB $
Ho calcolato $ \DeltaV = int_()^() E dr =int_(0)^(R) \omegarBdr=(\omegaR^2B)/2 = 0.075 V $
In seguito usando la formula $ Q=C\DeltaV $ ho trovato il risultato che cercavo, ovvero $ 0.75*10^-6 $
Tuttavia, nel risultato dovrebbe esserci un segno e non me lo spiego.
O meglio, la mia ipotesi è che il meno sia dovuto al fatto che il campo elettrico generato da $ v xx B $ sia un campo non conservativo, e dunque dobbiamo calcolare il potenziale su un altro campo di origine elettrostatica (dunque conservativo) che agisce con segno opposto a quello elettromotore.
E' corretta la mia ipotesi?
Verifica il segno della ddp tra le due armature, ovvero Vb-Va e tieni presente che ti chiede la carica in A.
Se devo usare la definizione di ddp: $ V(A)-V(B)=int_(A)^(B) E*dr $
mettendo a 0 il potenziale di B, il potenziale di A risulta positivo e pari alla ddp calcolata su.
Non ho proprio idea di cosa stia sbagliando...
mettendo a 0 il potenziale di B, il potenziale di A risulta positivo e pari alla ddp calcolata su.
Non ho proprio idea di cosa stia sbagliando...
Ti chiedo: qual è il verso del campo elettrico nel disco, ovvero di $\vec v \times \vec B$ ?
Anche se dal testo non lo potresti capire, dalla figura lo vedi subito no?
Anche se dal testo non lo potresti capire, dalla figura lo vedi subito no?
"RenzoDF":Ho fatto il prodotto vettoriale tra $ v $ e $ B $ : $ [ ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( 0 , omegaR , 0),( 0 , 0 , B ) ] = \omegaRBhat(i)$
Ti chiedo: qual è il verso del campo elettrico nel disco, ovvero di $ \vec v \times \vec B $ ?
Anche se dal testo non lo potresti capire, dalla figura lo vedi subito no?
Forse R è in realtà negativo secondo il mio sistema di riferimento, e quindi la velocità è in direzione $ -hat(j) $ ?
Dunque il vettore velocità sarebbe $ -omegarhat(j) $ e non $ omegarhat(j) $?
Dunque il vettore velocità sarebbe $ -omegarhat(j) $ e non $ omegarhat(j) $?
Il campo E creato dal movimento del disco è diretto verso B. Prende le cariche positive e le trasporta in B creando una ddp positiva tra B e A (fem indotta). Si tratta insomma di un vero generatore di tensione continua (generatore omopolare di Faraday https://en.wikipedia.org/wiki/Homopolar_generator). Da un punto di vista circuitale, si ha un generatore di tensione con polo positivo in B connesso in parallelo ad un condensatore, che quindi avrà carica positiva in B e carica negativa in A.
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