Disco rotante che viene lasciato cadere.
Ho un disco di raggio $R$, massa $M$ che ruota con velocità angolare $\omega_0$ attorno a un asse orizzontale passante per il suo centro di massa. A un certo istante il disco viene lasciato cadere. Dopo avere percorso una distanza (verticale) $h$ viene agganciato da un piolo distante $R$ dal centro di massa e comincia a ruotare attorno a esso.
Devo calcolare la velocità angolare del disco dopo l'urto, l'impulso che il piolo ha esercitato sul disco durante l'urto, la reazione vincolare quando il disco ha il centro di massa sopra la verticale del piolo, e infine la velocità angolare iniziale necessaria perché il disco risulti istantaneamente fermo dopo l'urto.
La mia idea era quella di usare la conservazione del momento angolare nell'urto:
$MvR = \frac{3}{2} MR^2\omega_1$
dove $v$, la velocità un istante prima dell'urto, si ricava utilizzando la conservazione dell'energia:
$Mgh + \frac{1}{2} MR^2\omega_0^2 = \frac{1}{2} Mv^2$.
Ora, dato che $\omega_1 = \frac{v_1}{R}$, posso calcolare l'impulso $I = m(v_1 - v)$.
Per la reazione vincolare, ho pensato che quando il disco si trova in quella posizione, il peso agisce verso il basso, la reazione vincolare verso l'alto, e la risultante è la forza centripeta:
$M\omega_1^2 R = Mg - N$.
Fin qui pensavo di stare facendo bene (spero che sia così altrimenti non ho capito proprio niente), ma l'ultima domanda proprio non la capisco. Mi potreste aiutare?
Devo calcolare la velocità angolare del disco dopo l'urto, l'impulso che il piolo ha esercitato sul disco durante l'urto, la reazione vincolare quando il disco ha il centro di massa sopra la verticale del piolo, e infine la velocità angolare iniziale necessaria perché il disco risulti istantaneamente fermo dopo l'urto.
La mia idea era quella di usare la conservazione del momento angolare nell'urto:
$MvR = \frac{3}{2} MR^2\omega_1$
dove $v$, la velocità un istante prima dell'urto, si ricava utilizzando la conservazione dell'energia:
$Mgh + \frac{1}{2} MR^2\omega_0^2 = \frac{1}{2} Mv^2$.
Ora, dato che $\omega_1 = \frac{v_1}{R}$, posso calcolare l'impulso $I = m(v_1 - v)$.
Per la reazione vincolare, ho pensato che quando il disco si trova in quella posizione, il peso agisce verso il basso, la reazione vincolare verso l'alto, e la risultante è la forza centripeta:
$M\omega_1^2 R = Mg - N$.
Fin qui pensavo di stare facendo bene (spero che sia così altrimenti non ho capito proprio niente), ma l'ultima domanda proprio non la capisco. Mi potreste aiutare?
Risposte
Ciao SugarRayLeonard, benvenuto nel Forum.
Non sono sicuro della corretta interpretazione del testo del problema.
Era accompagnato anche da una figura? In caso affermativo, potresti postarla?
Non sono sicuro della corretta interpretazione del testo del problema.
Era accompagnato anche da una figura? In caso affermativo, potresti postarla?
Premesso che, durante la caduta, la velocità angolare non cambia, per determinare la velocità del centro di massa un istante prima dell'urto:
Inoltre, per determinare la velocità angolare un istante dopo l'urto, è necessario conservare il momento angolare rispetto al piolo applicando correttamente il terzo teorema del centro di massa:
Ho supposto che, nell'istante dell'urto, il piolo abbia la stessa altezza del centro di massa.
$Mgh=1/2Mv_(CM)^2$
Inoltre, per determinare la velocità angolare un istante dopo l'urto, è necessario conservare il momento angolare rispetto al piolo applicando correttamente il terzo teorema del centro di massa:
$Mv_(CM)R+1/2MR^2\omega_0=3/2MR^2\omega_1$
"SugarRayLeonard":
... viene agganciato da un piolo distante $R$ dal centro di massa ...
Ho supposto che, nell'istante dell'urto, il piolo abbia la stessa altezza del centro di massa.
@Noodles
Credo che l'equazione di conservazione del momento angolare, se scritta in termini di moduli, abbia in questo caso una differenza e non una somma, il che giustificherebbe l'ultima domanda, ma per esserne certi bisognerebbe avere una figura del problema. Cosa ne pensi?
Credo che l'equazione di conservazione del momento angolare, se scritta in termini di moduli, abbia in questo caso una differenza e non una somma, il che giustificherebbe l'ultima domanda, ma per esserne certi bisognerebbe avere una figura del problema. Cosa ne pensi?
Ciao ingres. Mi era sfuggito questo aspetto. Insomma, ho dato per scontato che lo scenario richiedesse una somma. Invece, soprattutto alla luce dell'ultima domanda, come hai doverosamente osservato, si deve presumere una differenza. Grazie della correzione.
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