Disco con masse
Questo esercizio è decisamente semplice, almeno dal punto di vista concettuale, tuttavia non riesco a concluderlo perché mi pare che manchi un dato.
Una carrucola, assimilabile ad un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$, può ruotare attorno ad un asse orizzantale passante per il suo centro, ove è sostenuta da un vincolo $T$. Nella gola della carrucola scorre senza strisciare una fune ideale, ai cui estremi $A$ e $B$ sono poste, rispettivamente, due masse $M_A$, inizialmente ferma a terra, ed $M_B$, inizialmente sollevata di un tratto $h$ dal suolo. Si chiede di determinare
1) l'accelerazione del sistema e la velocità con la quale $M_B$ tocca il suolo;
2) la reazione vincolare in $T$, applicata al centro della carrucola;
3) supponendo che al suolo, ove cade $M_B$, sia posta una molla ideale in posizione verticale di costante elastica $\kappa$, determinare la sua compressione massima alla caduta di $M_B$.
I primi due punti credo di averli risolti. Per il primo, ho considerato la prima equazione cardinale ed ho scritto, sui moduli
$(M_A+M_B+M)a = M_B g-M_A g\Rightarrow a=g \frac{M_B-M_A}{M_B+M_A+M}$
Inoltre, utilizzando la conservazione dell'energia, si trova la velocità di impatto di $M_B$ con
$M_B gh = M_A gh + \frac{1}{2} M_B v_B^2+\frac{1}{2} I\omega^2$
Poiché $\omega=\frac{v_B}{R}$, e $I=\frac{1}{2}MR^2$ possiamo scrivere
$\frac{1}{2}M_Bv_B^2+\frac{1}{4}Mv_B^2=(M_B-M_A)gh$
da cui, risolvendo,
$v_B=2\sqrt{\frac{gh(M_B-M_A)}{2M_B+M}}$
Per il punto 2, non sono affatto sicuro di come procedere. Pensavo di utilizzare di nuovo la prima equazione cardinale, ma non sono certo sul dove applicarla; prima di scrivere scempiaggini chiedo il vostro aiuto.
Infine, il vero problema è il punto 3. L'idea più semplice è quella di applicare la conservazione dell'energia, ma non conoscendo la lunghezza a riposo della molla non riesco a trovare di quanto si alza la massa $M_A$ rispetto al suolo. Secondo me manca un dato fondamentale; oppure si deve supporre che la molla sia lunga esattamente $h$, ma non mi pare il caso.
Chiedo gentilmente lumi!
Una carrucola, assimilabile ad un disco omogeneo di raggio $R$ e massa $M$, può ruotare attorno ad un asse orizzantale passante per il suo centro, ove è sostenuta da un vincolo $T$. Nella gola della carrucola scorre senza strisciare una fune ideale, ai cui estremi $A$ e $B$ sono poste, rispettivamente, due masse $M_A$, inizialmente ferma a terra, ed $M_B$, inizialmente sollevata di un tratto $h$ dal suolo. Si chiede di determinare
1) l'accelerazione del sistema e la velocità con la quale $M_B$ tocca il suolo;
2) la reazione vincolare in $T$, applicata al centro della carrucola;
3) supponendo che al suolo, ove cade $M_B$, sia posta una molla ideale in posizione verticale di costante elastica $\kappa$, determinare la sua compressione massima alla caduta di $M_B$.
I primi due punti credo di averli risolti. Per il primo, ho considerato la prima equazione cardinale ed ho scritto, sui moduli
$(M_A+M_B+M)a = M_B g-M_A g\Rightarrow a=g \frac{M_B-M_A}{M_B+M_A+M}$
Inoltre, utilizzando la conservazione dell'energia, si trova la velocità di impatto di $M_B$ con
$M_B gh = M_A gh + \frac{1}{2} M_B v_B^2+\frac{1}{2} I\omega^2$
Poiché $\omega=\frac{v_B}{R}$, e $I=\frac{1}{2}MR^2$ possiamo scrivere
$\frac{1}{2}M_Bv_B^2+\frac{1}{4}Mv_B^2=(M_B-M_A)gh$
da cui, risolvendo,
$v_B=2\sqrt{\frac{gh(M_B-M_A)}{2M_B+M}}$
Per il punto 2, non sono affatto sicuro di come procedere. Pensavo di utilizzare di nuovo la prima equazione cardinale, ma non sono certo sul dove applicarla; prima di scrivere scempiaggini chiedo il vostro aiuto.
Infine, il vero problema è il punto 3. L'idea più semplice è quella di applicare la conservazione dell'energia, ma non conoscendo la lunghezza a riposo della molla non riesco a trovare di quanto si alza la massa $M_A$ rispetto al suolo. Secondo me manca un dato fondamentale; oppure si deve supporre che la molla sia lunga esattamente $h$, ma non mi pare il caso.
Chiedo gentilmente lumi!
Risposte
Nessuno può aiutarmi?
Per il punto 2 avevo pensato di scrivere una cosa del genere: detta $T$ la reazione vincolare al centro del disco, per la prima equazione cardinale
$T-(M_A+M+M_B)g=(M_A+M+M_B)a$
dove $a$ è l'accelerazione del sistema trovata prima. Tuttavia non sono affatto convinto.
Per il punto 2 avevo pensato di scrivere una cosa del genere: detta $T$ la reazione vincolare al centro del disco, per la prima equazione cardinale
$T-(M_A+M+M_B)g=(M_A+M+M_B)a$
dove $a$ è l'accelerazione del sistema trovata prima. Tuttavia non sono affatto convinto.
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