Dischi sul ghiaccio
Salve,
a vostro parere come si comporterebbe un disco in quiete (su una superficie senza attriti) che viene colpito da un altro disco di ugual massa $m$ e in moto con una certa velocità $vecv_0$? E come si comporterebbe il primo disco?
Vedendo casi sperimentali riconducibili alla domanda sopra riportata, noto che il secondo disco prende a muoversi, mentre il primo si arresta. E il terzo principio di Newton? dove va a finire?
La domanda, a primo impatto molto banale, mi serve invece per capire cosa accade alla quantità di moto del primo disco, a quella del secondo e a quella totale del sistema. La formulazione semplice (quasi infantile) della domanda è volontaria: vorrei capire da una situazione estremamente semplice cosa accade.
Vi ringrazio
a vostro parere come si comporterebbe un disco in quiete (su una superficie senza attriti) che viene colpito da un altro disco di ugual massa $m$ e in moto con una certa velocità $vecv_0$? E come si comporterebbe il primo disco?
Vedendo casi sperimentali riconducibili alla domanda sopra riportata, noto che il secondo disco prende a muoversi, mentre il primo si arresta. E il terzo principio di Newton? dove va a finire?
La domanda, a primo impatto molto banale, mi serve invece per capire cosa accade alla quantità di moto del primo disco, a quella del secondo e a quella totale del sistema. La formulazione semplice (quasi infantile) della domanda è volontaria: vorrei capire da una situazione estremamente semplice cosa accade.
Vi ringrazio
Risposte
se non sbaglio è il caso tipico dell'urto elastico di due masse uguali, dove si conserva tutta l'energia e la quantità di moto.
questo lo so. . . . .
Se sai che nell'urto elastico si conserva la quantità di moto totale ( ma questa si conserva in qualsiasi urto, non ci sono forze esterne infatti che agiscono sul sistema) e si conserva l'energia, sai praticamente tutto.
La quantità di moto totale del sistema, prima dell'urto, è ascrivibile al solo corpo in moto, poichè l'altro è fermo.
Dopo l'urto, siccome la qdm totale deve conservarsi, e i due corpi hanno massa uguale, il primo si ferma e l'altro parte, con la stessa velocità che aveva il primo. Questo si vede chiaramente dalle equazioni, e dall'animazione in questo link.
http://it.wikipedia.org/wiki/Urto_elastico
Che cosa è che non ti è chiaro? Io lo immagino, ma aspetto che tu me lo chieda.
La quantità di moto totale del sistema, prima dell'urto, è ascrivibile al solo corpo in moto, poichè l'altro è fermo.
Dopo l'urto, siccome la qdm totale deve conservarsi, e i due corpi hanno massa uguale, il primo si ferma e l'altro parte, con la stessa velocità che aveva il primo. Questo si vede chiaramente dalle equazioni, e dall'animazione in questo link.
http://it.wikipedia.org/wiki/Urto_elastico
Che cosa è che non ti è chiaro? Io lo immagino, ma aspetto che tu me lo chieda.
Ciao Navigatore,
proviamo a ragionare insieme..
Dunque indicando con il pedice $1$ e il pedice $2$ le grandezze rispettivamente relative al primo corpo (in moto nell'istante iniziale) e quelle relative al secondo corpo, si ha:
Conservazione qtà di moto $->$ $mv_1 + 0 = mv'_1 + mv'_2$ $=>$ $v_1 + 0 = v'_1 + v'_2$
dove con l'apice ho indicato le grandezze dopo l'urto.
nell'equazione precedente ho considerato il caso generale, per cui, se vogliamo che tutta la velocità del primo corpo venga trasferita al secondo, si deve necessariamente avere $v'_1 = 0$.
Ma questo è ciò che vogliamo dimostrare..
proviamo a ragionare insieme..
Dunque indicando con il pedice $1$ e il pedice $2$ le grandezze rispettivamente relative al primo corpo (in moto nell'istante iniziale) e quelle relative al secondo corpo, si ha:
Conservazione qtà di moto $->$ $mv_1 + 0 = mv'_1 + mv'_2$ $=>$ $v_1 + 0 = v'_1 + v'_2$
dove con l'apice ho indicato le grandezze dopo l'urto.
nell'equazione precedente ho considerato il caso generale, per cui, se vogliamo che tutta la velocità del primo corpo venga trasferita al secondo, si deve necessariamente avere $v'_1 = 0$.
Ma questo è ciò che vogliamo dimostrare..
Ciao Dino.
Come è ben descritto nel paragrafo sull'urto elastico monodimensionale del link che ti ho messo, innanzitutto diciamo che ti occorrono due equazioni per determinare le due incognite, e cioè le due velocità finali, dopo l'urto, dei corpi 1 e 2 :
1) l'equazione della conservazione della qdm ( il sistema è isolato)
2)l'equazione della conservazione dell'energia ( l'urto è completamente elastico, non c'è dissipazione di energia).
Alla fine hai due equazioni per le velocità finali(non farmi scrivere tutti passaggi, ti prego, è scritto già lí bene),che sono:
$v_(1f) = ((m_1 - m_2)*v_(1i) + 2m_2*v_(2i))/(m_1 + m_2)$ -------(1)
$v_(2f) = ((m_2 - m_1)*v_(2i) + 2m_1*v_(1i))/(m_1 + m_2)$ -------(2)
Ora, se le due masse sono uguali : $m_1 = m_2 = m$ , non devi far altro che imporre questa condizione nelle (1) e (2), e ottieni:
$v_(1f) = v_(2i) $ ------(3)
$v_(2f) = v_(1i) $ ------(4)
Da queste, vedi subito che se il corpo 2 era inizialmente in quiete, cioè $v_(2i) = 0$ , il corpo 1 dopo l'urto si ferma [equazione (3)], , e il corpo 2 acquista la velocità $v_(2f) $ che aveva inizialmente il corpo 1 [equazione (4)].
Io pensavo in verità che il tuo dubbio fosse un altro...che fine ha fatto Newton col suo terzo principio?
Te lo dico : è rimasto schiacciato...tra le palle che si urtano! (C'è poco da ridere....è proprio lí in mezzo, Newton!)
Come è ben descritto nel paragrafo sull'urto elastico monodimensionale del link che ti ho messo, innanzitutto diciamo che ti occorrono due equazioni per determinare le due incognite, e cioè le due velocità finali, dopo l'urto, dei corpi 1 e 2 :
1) l'equazione della conservazione della qdm ( il sistema è isolato)
2)l'equazione della conservazione dell'energia ( l'urto è completamente elastico, non c'è dissipazione di energia).
Alla fine hai due equazioni per le velocità finali(non farmi scrivere tutti passaggi, ti prego, è scritto già lí bene),che sono:
$v_(1f) = ((m_1 - m_2)*v_(1i) + 2m_2*v_(2i))/(m_1 + m_2)$ -------(1)
$v_(2f) = ((m_2 - m_1)*v_(2i) + 2m_1*v_(1i))/(m_1 + m_2)$ -------(2)
Ora, se le due masse sono uguali : $m_1 = m_2 = m$ , non devi far altro che imporre questa condizione nelle (1) e (2), e ottieni:
$v_(1f) = v_(2i) $ ------(3)
$v_(2f) = v_(1i) $ ------(4)
Da queste, vedi subito che se il corpo 2 era inizialmente in quiete, cioè $v_(2i) = 0$ , il corpo 1 dopo l'urto si ferma [equazione (3)], , e il corpo 2 acquista la velocità $v_(2f) $ che aveva inizialmente il corpo 1 [equazione (4)].
Io pensavo in verità che il tuo dubbio fosse un altro...che fine ha fatto Newton col suo terzo principio?
Te lo dico : è rimasto schiacciato...tra le palle che si urtano! (C'è poco da ridere....è proprio lí in mezzo, Newton!)
Sì infatti, la mia vera piaga era capire che fine avesse fatto il principio di newton! ahah e che vuol dire che è rimasto "schiacciato"? Questo è conseguenza del fatto che l'urto può essere considerato istantaneo?
La mia era una battutaccia, in quanto a schiacciamenti di sfere oggi c'è solo l'imbarazzo della scelta.
Bravo, ha intuito quello che volevo dire, e provo a spiegarti.
La massa $m_1$ si muove tranquillamente con velocità $v_(1i)$, fin quando non ha la disgrazia di scontrarsi con la massa $m_2$ uguale,che è ferma. Quanto dura lo scontro? Non lo sappiamo in realtà, ma molto poco comunque, diciamo un $\Deltat$ piccolissimo.
In questo tempo, la massa $m_2$, che era ferma, cambia la sua velocità da $0$ al valore $v_(2f)$. Insomma c'è una variazione di velocità $\Deltav$ di $m_2$, e questo significa appunto la variazione di quantità di moto $m_2*\Deltav$. Questa variazione è stata causata dalla forza impulsiva $F$ comunicata da $m_1$, che ha agito per il tempo $\Deltat$.
Se esamini la seconda equazione della Dinamica la puoi scrivere, ragionando in termini finiti ma brevi di tempo, durante il quale ritieni costante la forza ( qui sai anche che la massa è costante) :
$F = m_2 (\Deltav)/(\Deltat)$ , da cui puoi scrivere : $F*\Deltat = m_2*\Deltav $
E questa si legge cosi: " l'impulso della forza (1º membro) è uguale alla variazione della quantità di moto della massa $m_2$
Eccola qui, la forza. È stata impressa dalla massa urtante alla massa urtata, e ne ha fatto cambiare la qdm nel tempo $\Deltat$ cambiandone la velocità da zero al valore finito $v_(2f)$. Questa forza è dunque "l'azione" che cercavi.
E la reazione? Beh, sei un ragazzo sveglio, dovresti ripetere il ragionamento su quello che succede alla massa $m_1$ per effetto della massa $m_2$, tenendo presente che la variazione della qdm di $m_1$ è un vettore uguale e contrario a quello di prima.
La "reazione" che $m_2$ applica nell'urto a $m_1$ la arresta, cioè nello stesso tempo detto fa variare la velocità di $m_1$ dal valore $v_(i1)$ a zero.
Bravo, ha intuito quello che volevo dire, e provo a spiegarti.
La massa $m_1$ si muove tranquillamente con velocità $v_(1i)$, fin quando non ha la disgrazia di scontrarsi con la massa $m_2$ uguale,che è ferma. Quanto dura lo scontro? Non lo sappiamo in realtà, ma molto poco comunque, diciamo un $\Deltat$ piccolissimo.
In questo tempo, la massa $m_2$, che era ferma, cambia la sua velocità da $0$ al valore $v_(2f)$. Insomma c'è una variazione di velocità $\Deltav$ di $m_2$, e questo significa appunto la variazione di quantità di moto $m_2*\Deltav$. Questa variazione è stata causata dalla forza impulsiva $F$ comunicata da $m_1$, che ha agito per il tempo $\Deltat$.
Se esamini la seconda equazione della Dinamica la puoi scrivere, ragionando in termini finiti ma brevi di tempo, durante il quale ritieni costante la forza ( qui sai anche che la massa è costante) :
$F = m_2 (\Deltav)/(\Deltat)$ , da cui puoi scrivere : $F*\Deltat = m_2*\Deltav $
E questa si legge cosi: " l'impulso della forza (1º membro) è uguale alla variazione della quantità di moto della massa $m_2$
Eccola qui, la forza. È stata impressa dalla massa urtante alla massa urtata, e ne ha fatto cambiare la qdm nel tempo $\Deltat$ cambiandone la velocità da zero al valore finito $v_(2f)$. Questa forza è dunque "l'azione" che cercavi.
E la reazione? Beh, sei un ragazzo sveglio, dovresti ripetere il ragionamento su quello che succede alla massa $m_1$ per effetto della massa $m_2$, tenendo presente che la variazione della qdm di $m_1$ è un vettore uguale e contrario a quello di prima.
La "reazione" che $m_2$ applica nell'urto a $m_1$ la arresta, cioè nello stesso tempo detto fa variare la velocità di $m_1$ dal valore $v_(i1)$ a zero.
Ti ringrazio Navigatore: la tua spiegazione è ESATTAMENTE ciò che mi serviva. Mi era venuto questo dubbio e non riuscivo a venirne a capo; ora, grazie alla tua spiegazione, ho capito quel che bisognava capire.
Mi scuso per il ritardo della risposta: sono stato molto impegnato.
Nuovamente grazie
Mi scuso per il ritardo della risposta: sono stato molto impegnato.
Nuovamente grazie
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