Dipolo magnetico
Ciao ragazzi, forse faccio una domanda stupida, ma è da giorni che ci penso.
Tutti sappiamo ( o dovremmo ) che le linee di campo magnetico di un dipolo magnetico hanno l'andamento qualitativo di figura; ma mi domando: c'è un modo per calcolare l'espressione analitica di queste linee, assegnato il dipolo?
Tutti sappiamo ( o dovremmo ) che le linee di campo magnetico di un dipolo magnetico hanno l'andamento qualitativo di figura; ma mi domando: c'è un modo per calcolare l'espressione analitica di queste linee, assegnato il dipolo?
Risposte
Dato il campo magnetico $B$ prodotto dal dipolo magnetico, puoi assegnare un problema per la ricerca di curve dello spazio del tipo:
$ \frac{dx}{ds} = B_x ; \frac{dy}{ds} = B_y ; \frac{dz}{ds}= B_z $
che significa cercare le curve $( x(s),y(s),z(s))$ dello spazio nel parametro $s$ che ammettono il vettore $B$ come tangente in ogni punto. Queste sono le curve che rappresenti in figura e chiami "linee del campo". Il problema di integrare quelle equazioni non so quanto sia complicato, se ci provi sarei curioso di sapere cosa esce.
$ \frac{dx}{ds} = B_x ; \frac{dy}{ds} = B_y ; \frac{dz}{ds}= B_z $
che significa cercare le curve $( x(s),y(s),z(s))$ dello spazio nel parametro $s$ che ammettono il vettore $B$ come tangente in ogni punto. Queste sono le curve che rappresenti in figura e chiami "linee del campo". Il problema di integrare quelle equazioni non so quanto sia complicato, se ci provi sarei curioso di sapere cosa esce.
Il vettore induzione magnetica $bar(B)$ è dato da:
$ bar(B)(bar(r))=mu_0/(4pi)((3bar(r)(bar(m)*bar(r)))/r^5-bar(m)/r^3) $
è giusto?
$ bar(B)(bar(r))=mu_0/(4pi)((3bar(r)(bar(m)*bar(r)))/r^5-bar(m)/r^3) $
è giusto?
"D4lF4zZI0":
è giusto?
Sì, nel limite in cui le dimensioni del dipolo sono trascurabili rispetto ad $r$
Ok. Dunque se, per semplicità, considero il caso piano, posso porre:
$ { ( bar(d)=dhat(j) ),( bar(m)=pbar(d)=pdhat(j) ),( bar(r)=chat(i)+bhat(j) ):} $
si ha:
$ bar(r)(bar(m)*bar(r))=bar(r)(pdhat(j)*(chat(i)+bhat(j)))=pdb bar(r) $
Quindi:
$ B_x=bar(B)*hat(i)=mu_0/(4pi)((3bar(r)(bar(m)*bar(r)))/r^5-bar(m)/r^3)*hat(i)=mu_0/(4pi)( (3pdb bar(r))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(i)=mu_0/(4pi)( (3pdb (chat(i)+bhat(j)))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(i)=mu_0/(4pi)( (3pdbc)/r^5) $
mentre:
$ B_y=bar(B)*hat(j)=mu_0/(4pi)((3bar(r)(bar(m)*bar(r)))/r^5-bar(m)/r^3)*hat(j)=mu_0/(4pi)( (3pdb bar(r))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(j)=mu_0/(4pi)( (3pdb (chat(i)+bhat(j)))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(j)=mu_0/(4pi)( (3pdb^2)/r^5-(pd)/r^3) $
Riassumendo:
$ { ( B_x=mu_0/(4pi)( (3pdbc)/r^5) ),( B_y=mu_0/(4pi)( (3pdb^2)/r^5-(pd)/r^3) ):} $
Ammesso di non aver commesso errori, come potrei continuare?
$ { ( bar(d)=dhat(j) ),( bar(m)=pbar(d)=pdhat(j) ),( bar(r)=chat(i)+bhat(j) ):} $
si ha:
$ bar(r)(bar(m)*bar(r))=bar(r)(pdhat(j)*(chat(i)+bhat(j)))=pdb bar(r) $
Quindi:
$ B_x=bar(B)*hat(i)=mu_0/(4pi)((3bar(r)(bar(m)*bar(r)))/r^5-bar(m)/r^3)*hat(i)=mu_0/(4pi)( (3pdb bar(r))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(i)=mu_0/(4pi)( (3pdb (chat(i)+bhat(j)))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(i)=mu_0/(4pi)( (3pdbc)/r^5) $
mentre:
$ B_y=bar(B)*hat(j)=mu_0/(4pi)((3bar(r)(bar(m)*bar(r)))/r^5-bar(m)/r^3)*hat(j)=mu_0/(4pi)( (3pdb bar(r))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(j)=mu_0/(4pi)( (3pdb (chat(i)+bhat(j)))/r^5-(pdhat(j))/r^3)*hat(j)=mu_0/(4pi)( (3pdb^2)/r^5-(pd)/r^3) $
Riassumendo:
$ { ( B_x=mu_0/(4pi)( (3pdbc)/r^5) ),( B_y=mu_0/(4pi)( (3pdb^2)/r^5-(pd)/r^3) ):} $
Ammesso di non aver commesso errori, come potrei continuare?
"D4lF4zZI0":
Ammesso di non aver commesso errori, come potrei continuare?
Non ho controllato i calcoli. Comunque, se il tuo scopo era quello di determinare il campo magnetico, direi che hai finito.
Veramente volevo determinare le equazioni delle linee di campo. Qualche suggerimento su come proseguire?
"D4lF4zZI0":
Veramente volevo determinare le equazioni delle linee di campo
ah scusa...non avevo capito
Le equazioni per le linee di campo sono quelle che ti ho scritto, devi sostituire il campo che hai scritto tu.
GianlucaN ci avevo pensato, ma il dubbio che ho è che avendo posto $ bar(r)=chat(i)+bhat(j) $, mica posso porre:
$ { ( dx/(ds)=mu_0/(4pi)(3pdbc)/r^5 ),( dy/(ds)=mu_0/(4pi)((3pdb^2)/r^5-(pd)/r^3 )):} $
?
$ { ( dx/(ds)=mu_0/(4pi)(3pdbc)/r^5 ),( dy/(ds)=mu_0/(4pi)((3pdb^2)/r^5-(pd)/r^3 )):} $
?
per consistenza tra la mia proposta e la tua basta chiamare $\vec{r}=x \hat{i} + y \hat{j} $
Come pensavo; ora però è finita la parte facile. Devo trovare una strada per integrare
"D4lF4zZI0":
Devo trovare una strada per integrare
Credo che l'unica strada sia una integrazione numerica. Quello è un sistema di due equazioni differenziali "molto" non lineari e per di più "molto" accoppiate. Non credo si possano risolvere analiticamente. E' solo una sensazione la mia eh...
La tua sensazione è anche la mia. Il punto è che non saprei neanche integrarle numericamente 
. Non pensavo che questa mia curiosità fosse così complicata, uff....
. Non pensavo che questa mia curiosità fosse così complicata, uff....
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