Dinamica rotazionale Puleggia
Ciao a tutti, sono bloccato su questo esercizio da oramai un giorno.. Vi propongo il testo:
Due masse m1 = 1.4 kg e m2 = 4.2 kg sono connesse da una corda che gira
senza attrito attorno ad un piolo fisso, come rappresentato in figura. La
massa m2 è poi connessa ad una terza massa, m3 da una corda che gira senza
scivolare attorno ad una carrucola di raggio R = 10 cm e massa M = 1.0 kg.
Entrambe le corde sono inestensibili e di massa trascurabile.
Il coefficiente
di attrito dinamico tra tutte le superfici `e pari a 0.3.
a) Trovare il valore della massa m3, necessaria per muovere il sistema
con accelerazione pari a 3 m/s2.
b) Calcolare la tensione della corda che connette m1 e m2 nel caso
individuato al punto a)
figura problema:
Mi è chiaro tutto il diagramma delle forze, sia di attrito che di tensione, l'unico ostacolo per me è come utilizzare la carrucola e il suo contributo nel movimento del sistema. Avevo pensato che il punto di contatto della carrucola fosse anche il punto di applicazione della tensione T2, che tira verso destra, la quale sostiene m3; D'altra parta verso sinistra ci deve essere una forza che ostacola il movimento (oltre alla forza di attrito) che supponga sia T1(?). Ad ogni modo se potreste aiutarmi a capire come utilizzare la carrucola mi fareste un grande favore.
Un saluto,
Stefano.
Due masse m1 = 1.4 kg e m2 = 4.2 kg sono connesse da una corda che gira
senza attrito attorno ad un piolo fisso, come rappresentato in figura. La
massa m2 è poi connessa ad una terza massa, m3 da una corda che gira senza
scivolare attorno ad una carrucola di raggio R = 10 cm e massa M = 1.0 kg.
Entrambe le corde sono inestensibili e di massa trascurabile.
Il coefficiente
di attrito dinamico tra tutte le superfici `e pari a 0.3.
a) Trovare il valore della massa m3, necessaria per muovere il sistema
con accelerazione pari a 3 m/s2.
b) Calcolare la tensione della corda che connette m1 e m2 nel caso
individuato al punto a)
figura problema:
Mi è chiaro tutto il diagramma delle forze, sia di attrito che di tensione, l'unico ostacolo per me è come utilizzare la carrucola e il suo contributo nel movimento del sistema. Avevo pensato che il punto di contatto della carrucola fosse anche il punto di applicazione della tensione T2, che tira verso destra, la quale sostiene m3; D'altra parta verso sinistra ci deve essere una forza che ostacola il movimento (oltre alla forza di attrito) che supponga sia T1(?). Ad ogni modo se potreste aiutarmi a capire come utilizzare la carrucola mi fareste un grande favore.
Un saluto,
Stefano.
Risposte
Il diagramma delle forze e' semplice:
Orientando l'asse orizzontale x verso destra e quello verticale y verso l'alto e le rotazioni in senso antiorario
Per il corpo 1
$F_1-T_1=m_1ddotx_1$ (tensione della fune e attrito)
Per il corpo 2
$T_3-T_2-F_1-F_2=m_2ddotx_2$ (tensione delle funi a dx e a sx, F sono le forze di attrito sopra e sotto il corpo)
Per la carrucola 3
$(T_4-T_3)R=Iddottheta$ (tensione delle funi orizzontale e verticale)
Per il corpo 3
$T_4-m_3g=m_3ddoty$ (Tensione della fune verticale e peso)
Sono 4 equazioni con 8 incognite: le T (pedici da 1 a 4), le $ddotx$ (pedici 1 e 2), la $ddottheta$ e la $ddoty$.
$F_1$ ed $F_2$ sono le forze d'attrito, facilmente calcolabili (quindi le considero note).
Ti mancano 4 equazioni per risolvere il sistema e trovare le risposte alle domande: quali sono?
Orientando l'asse orizzontale x verso destra e quello verticale y verso l'alto e le rotazioni in senso antiorario
Per il corpo 1
$F_1-T_1=m_1ddotx_1$ (tensione della fune e attrito)
Per il corpo 2
$T_3-T_2-F_1-F_2=m_2ddotx_2$ (tensione delle funi a dx e a sx, F sono le forze di attrito sopra e sotto il corpo)
Per la carrucola 3
$(T_4-T_3)R=Iddottheta$ (tensione delle funi orizzontale e verticale)
Per il corpo 3
$T_4-m_3g=m_3ddoty$ (Tensione della fune verticale e peso)
Sono 4 equazioni con 8 incognite: le T (pedici da 1 a 4), le $ddotx$ (pedici 1 e 2), la $ddottheta$ e la $ddoty$.
$F_1$ ed $F_2$ sono le forze d'attrito, facilmente calcolabili (quindi le considero note).
Ti mancano 4 equazioni per risolvere il sistema e trovare le risposte alle domande: quali sono?
Grazie mille per la risposta, kappa.
Non mi è chiaro perché ci siano tante Tensioni diverse dato che nella seconda domanda chiede di calcolare la Tensione che connette m1 e m2, che in teoria dovrebbe essere un unico valore (non mi chiede di calcolare 2 tensioni diverse per m1 e m2) al contrario di come suggerisci tu, dove m2 è soggetta a T2, diversa da T1, verso sinistra.
Vorrei chiederti inoltre come mai introduci accelerazioni diverse per ogni corpo, dal momento che il problema puntualizza un'accelerazione pari a 3 m/s2 per l'intero sistema. Se così fosse, visto che la corda è inestensibile, potrei sostituire l'accelerazione angolare α della carrucola con a/R, dove "a" è l'accelerazione data dal problema, poiché ad una rotazione della carrucola dy=R*dθ, corrisponde un movimento della della fune (lungo l'asse y) dy collegata a m3, quindi: dy/dt = R*dθ/dt --> v(y) = R*ω ---> a(y) = R*α --> α = a/R.
Grazie per la disponibilità,
Stefano.
Non mi è chiaro perché ci siano tante Tensioni diverse dato che nella seconda domanda chiede di calcolare la Tensione che connette m1 e m2, che in teoria dovrebbe essere un unico valore (non mi chiede di calcolare 2 tensioni diverse per m1 e m2) al contrario di come suggerisci tu, dove m2 è soggetta a T2, diversa da T1, verso sinistra.
Vorrei chiederti inoltre come mai introduci accelerazioni diverse per ogni corpo, dal momento che il problema puntualizza un'accelerazione pari a 3 m/s2 per l'intero sistema. Se così fosse, visto che la corda è inestensibile, potrei sostituire l'accelerazione angolare α della carrucola con a/R, dove "a" è l'accelerazione data dal problema, poiché ad una rotazione della carrucola dy=R*dθ, corrisponde un movimento della della fune (lungo l'asse y) dy collegata a m3, quindi: dy/dt = R*dθ/dt --> v(y) = R*ω ---> a(y) = R*α --> α = a/R.
Grazie per la disponibilità,
Stefano.
Non e' guardando le domande del testo che imposti l'esercizio:
In generale, le 2 tensioni sono diverse. In questo caso particolare, una delle 4 equazioni mancanti e' proprio $T_1=T_2$ dal momento che la carrucola fissa agisce da semplice rinvio senza cambiare la tensione della fune.
Ora ti mancano altre 3 equazioni: di nuovo, in generale, le accelerazioni dei corpi sono diverse, ma essendo il sistema formato da 4 corpi ed avendo un grado di liberta, esisteranno 3 equazioni cinematiche che correlano le 4 accelerazioni. Sono prorpio queste che vai cercando.
Per esempio, $ddotx_1=-ddotx_2$ e' una di queste 3 equazioni.
La seconda l'hai scritta tu $Rddottheta=ddoty$
La terza qual e'?
In generale, le 2 tensioni sono diverse. In questo caso particolare, una delle 4 equazioni mancanti e' proprio $T_1=T_2$ dal momento che la carrucola fissa agisce da semplice rinvio senza cambiare la tensione della fune.
Ora ti mancano altre 3 equazioni: di nuovo, in generale, le accelerazioni dei corpi sono diverse, ma essendo il sistema formato da 4 corpi ed avendo un grado di liberta, esisteranno 3 equazioni cinematiche che correlano le 4 accelerazioni. Sono prorpio queste che vai cercando.
Per esempio, $ddotx_1=-ddotx_2$ e' una di queste 3 equazioni.
La seconda l'hai scritta tu $Rddottheta=ddoty$
La terza qual e'?
Ti ringrazio ancora, kappa.
Secondo quanto ho inteso, dovrebbe essere x(1) = -x(2) = y.
Un'ultimo chiarimento: sulla carrucola agiscono dunque due forze, una che tira verso destra data dalla tensione T4 e una verso sinistra che sarebbe T3. Dunque se ricavo T3 dall'equazione precedente (su m2) il gioco dovrebbe essere fatto.
Secondo quanto ho inteso, dovrebbe essere x(1) = -x(2) = y.
Un'ultimo chiarimento: sulla carrucola agiscono dunque due forze, una che tira verso destra data dalla tensione T4 e una verso sinistra che sarebbe T3. Dunque se ricavo T3 dall'equazione precedente (su m2) il gioco dovrebbe essere fatto.
Non capisco cosa intendi per il gioco e' fatto.
L'ultima equazione mancante e' quella che lega $ddotx_2$ a $Rddottheta$; nella fattispecie $ddotx_2=-Rddottheta$.
Ora hai tutte le equazione, in un sistema univocamente determinato, che ti permette di trovare tutto quello che il testo chiede, incluso, ovviamente, la massa da appendere per far andare tutto a 3m/s^2.
La soluzione del sistema a me da (a meno di errori di calcolo):
$2F_1+F_2-m_3g=(m_1+m_2+m_3/2)Rddottheta$
Dato che $Rddottheta=3.2m/s^2$, ricavi facilmente $m_3$
L'ultima equazione mancante e' quella che lega $ddotx_2$ a $Rddottheta$; nella fattispecie $ddotx_2=-Rddottheta$.
Ora hai tutte le equazione, in un sistema univocamente determinato, che ti permette di trovare tutto quello che il testo chiede, incluso, ovviamente, la massa da appendere per far andare tutto a 3m/s^2.
La soluzione del sistema a me da (a meno di errori di calcolo):
$2F_1+F_2-m_3g=(m_1+m_2+m_3/2)Rddottheta$
Dato che $Rddottheta=3.2m/s^2$, ricavi facilmente $m_3$
Sì kappa, intendevo proprio con y l'accelerazione verticale di m3, ovvero R*α.
Alla fine mi risulta m3 = ((3m1 + m2)µg + (m1 + m2 + M/2)a)/g − a
Alla fine mi risulta m3 = ((3m1 + m2)µg + (m1 + m2 + M/2)a)/g − a
Se non usi l'editor viene male a capire. A me risulta:
$m_3=2[(3m_1+m_2)mug-(m_1+m_2)a]/[a+2g]$
$m_3=2[(3m_1+m_2)mug-(m_1+m_2)a]/[a+2g]$
Scusa kappa, non è da prendere in considerazione la massa della carrucola ?
Se il momento vale:
Mo = (T3 - T2)R = I*α = (1/2)*M*R^2 * α = M*R*a/2, dove M è la massa della carrucola
Se il momento vale:
Mo = (T3 - T2)R = I*α = (1/2)*M*R^2 * α = M*R*a/2, dove M è la massa della carrucola
Si, mi e' scappato il pedice e la massa della carrucola e' diventata per errore $m_3$, da cui poi e' saltato fuori il 2g a denominatore.
La relazione corretta dovrebbe essere:
$m_3=[2(3m_1+m_2)mug-(2m_1+2m_2+M)a]/[2(a+g)]$
La relazione corretta dovrebbe essere:
$m_3=[2(3m_1+m_2)mug-(2m_1+2m_2+M)a]/[2(a+g)]$
Esatto, grazie mille kappa per il tuo aiuto.
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