Dinamica punto materiale con forza centripeta

[Gost91]

Salve a tutti!

Ultimamente ho avuto delle difficoltà nel risolvere esercizi riguardante la dinamica di punti materiali e corpi rigidi, quindi per cercare di colmare le lacune posterò le soluzioni errate/incomplete che ho ottenuto.

Il primo esercizio è il seguente:




Per prima cosa noto che sulla biglia agiscono la forze:

1) Peso $P=mg$, con direzione opposta alla verticale

2) Reazione del piano $N$, con direzione parallela e verso opposto al vettore $\vecR$ di figura

3) Centripeta $f_c$, con direzione parallela e verso opposto al raggio $\vecr$ di figura

Scomponendole, utilizzando l'angolo $\alpha$ di figura, ottengo le relazioni:

${(x:Nsin\alpha=f_c),(y:Ncos\alpha=P):}$

con x direzione orizzontale e y direzione verticale.

Quindi:

${(Nsin\alpha=m\omega^2r),(Ncos\alpha=mg):}=>$

${(N=(mg)/(cos\alpha)),(g tan\alpha=\omega^2r):}=>$

$ tan\alpha=(\omega^2r)/g$$=>$

$\alpha=arctan((\omega^2r)/g)$

dove:

$r=0,13$ $[m]$: raggio della curva su cui si muove la biglia

$\omega=9,6$ $[(rad)/s]$: velocità angolare della biglia

$g=9,81$ $[m/s^2]$: accelerazione di gravità terrestre

Già qui qualcosa che non quadra c'è, in quanto l'argomento dell'arcotangente ha le dimensioni di $[rad^2]$ se non erro.

Numericamente ottengo:

$\alpha=0.88$ $[rad]=50,42°$

Una volta trovato $\alpha$ il problema diventa puramente geometrico.

Ora mi chiedevo dove è che ho sbagliato, in quanto il grosso dell'esercizio sta nel individuare quell'angolo.

Ringrazio tutti in anticipo.

[mircoFN1]

"Gost91":
Già qui qualcosa che non quadra c'è, in quanto l'argomento dell'arcotangente ha le dimensioni di $[rad^2]$ se non erro.

un passo alla volta. Cominciamo col dire che i radianti sono adimensionali

[Faussone]

A parte l'osservazione sui radianti lo svolgimento è corretto.
Fa' attenzione che il raggio dato forse è il raggio del semiguscio sferico, non il raggio della traiettoria circolare disegnata dalla biglia.

[Gost91]

Effettivamente l'ho sparata un po' fuori quella sui radianti...
Comunque Faussone hai ragione e ora mi torna anche l'esercizio.

Detto $R$ il raggio del semiguscio, abbiamo che la biglia si muove su una circonferenza di raggio $r=Rsin\alpha$, quindi sfruttando la precedente relazione:

$tan \alpha=(\omega^2Rsin\alpha)/g$ $=>cos\alpha=g/(\omega^2R)$

$=> \alpha=arccos(g/(\omega^2R))$

e numericamente:

$\alpha=35.03°$