Dinamica punto materiale con forza centripeta 2

[Gost91]

Salve a tutti!

Questo è un altro esercizio che mi torna un po' poco:



il testo continua in questo modo:

"tale. Un chiodo, posto a distanza d sotto al vincolo fa ruotare la massa lungo il cammino mostrato in figura dalla linea tratteggiata. Trovare la distanza minima $d_min$ tale che la massa possa compiere un giro completo sulla circonferenza tratteggiata. [$d_min=16,2$ cm]"


La prima considerazione che mi viene da fare è che la massa, per poter effettuare il giro completo, dovrà essere sottoposta nel punto più alto della circonferenza tratteggiata a una forza centripeta maggiore della sua forza peso.
Quindi, in funzione della velocità con cui arriva nel punto più basso della circonferenza tratteggiata, si dovrà scegliere d in modo che:

$f_c>=P$ $=>$ $v^2/r>=g$ $=>$ $r<=v^2/g$

dove:

$f_c$ è la forza centripeta a cui è sottoposta la massa

$P$ è la forza peso a cui è sottoposta la massa

$v$ è la velocità con cui si muove la massa

$r$ è il raggio della circonferenza su cui si muove la massa (quella tratteggiata)

$g$ è l'accelerazione di gravità terrestre

A questo punto noto che $r=L-d$, quindi ottengo la relazione:

$d>=L-v^2/g$


Il problema quindi sta tutto nel determinare v, e qui mi sorgono i primi dubbi.
Molto probabilmente da questo punto in poi scriverò una marea di baggianate, quindi perdonatemi se alla fine sarà così.

Definito $\alpha$ l'angolo tra L e d, abbiamo che per i primi 90° il sistema costituisce un pendolo semplice, quindi applicando le equazioni proprie del moto del pendolo ho:

$\alpha(t)=\alpha_0sin(\omega t +\phi)$

$v(t)=L\omega\alpha_0cos(omegat+\phi)$

con:

$omega=sqrt(g/L)$

Dalle condizioni inziali ricavo che $\alpha_0=90°$ e $\phi=90°$ quindi:

$\alpha(t)=pi/2sin(\omega t+pi/2)$

A questo punto posso ricavarmi l'istante in cui la massa giunge nel punto più basso della circonferenza tratteggiata, cioè quando $\alpha=0$:

$pi/2sin(\omega t+pi/2)=0$ $=>$ $\omegat+pi/2=pi$ $=>$ $t=pi/(2\omega)$

$=>t=\pi/2sqrt(L/g)$

Arriverei ad affermare che la velocità cercata corrisponde a:

$v=-Lsqrt(g/L)pi/2$



Quindi concluderei che:

$d>=L(1-pi^2/4)$

risultato completamente sballato numericamente (addirittura risulta <0).


Se qualcuno fosse in grado di farmi capire dove è che sbaglio ne sarei molto grato.
Come sempre ringrazio in anticipo tutti.

[Sk_Anonymous]

Gost,

sicuramente la massa, quando il filo descrive i primi $90°$, ha un moto "pendolare" ...ma non è tanto "semplice" questo pendolo! Non si sa integrare l'eq differenziale del moto del pendolo, se non quando l'angolo è piccolo, e metti $\theta$ al posto di $sen\theta$.
Puttosto, calcola la velocità nel punto $P$ più basso col principio di conservazione dell'energia meccanica, e trovi che vale: $v_P = sqrt(2gL)$ , ovviamente.

Poi da questo punto in avanti, la traiettoria è una circonferenza di centro $O$ e raggio $ r=L-d$, l'energia cinetica che ha la massa nel punto più basso si trasforma parzialmente di nuovo in energia potenziale, diminuendo la cinetica.

In un punto $Q$ generico, dove il raggio vettore $OQ$ forma l'angolo $\theta$ con la verticale ( angolo $\theta$ crescente da $0$ a $\pi$ ) , l'energia meccanica totale è sempre somma didue termini. Perciò risulta, facendo i calcoli:

$ v_Q^2 = 2g(L-r(1-cos\theta))$

Quando $\theta = \pi$ , $ cos \theta = -1$ .

Per cui nel punto più alto della traiettoria deve essere : $ v_Q = sqrt(2g(2d-L))$

Stabilito ciò, in questo punto dovrà essere : $v_Q^2/r >= g $

PErciò risulta, col segno di uguaglianza, che : $5d = 3L $ , da ci si ricava il valore : $ d= 3/5L$

[Gost91]

Grazie mille navigatore!