Dinamica: equilibrio forze
Ciao a tutti, ho un problema in cui non riesco a trovare l'angolo d'inclinazione di una fune. Mi potreste aiutare? Grazie in anticipo.
Il blocco $B$ ha un peso $P_B =711$ $[N]$ e il coefficiente di attrito statico col piano di appoggio è $\mu_{s} = 0,25$. Trovare il massimo peso del blocco $A$ per cui il sistema sia in equilibrio. Si assuma che la fune ideale attaccata a $B$ sia orizzontale.
Ho eseguito i seguenti calcoli:
Il blocco $B$ ha un peso $P_B =711$ $[N]$ e il coefficiente di attrito statico col piano di appoggio è $\mu_{s} = 0,25$. Trovare il massimo peso del blocco $A$ per cui il sistema sia in equilibrio. Si assuma che la fune ideale attaccata a $B$ sia orizzontale.
Ho eseguito i seguenti calcoli:
[*:z2k0mefi]Blocco $B$
La forza normale $F_N = P_B$
La forza di attrito statico massima $f_{s,max} = \mu_{s}F_N$
La tensione massima $T_B = f_{s,max} = 178$ $[N]$
[/*:m:z2k0mefi]
[*:z2k0mefi]Blocco $A$
La tensione $T_A = P_A$[/*:m:z2k0mefi][/list:u:z2k0mefi]
Poiché il sistema deve essere in equilibrio $T_A + T_B + T_C = 0$. Scomponendo l'equazione per i due assi:
${(T_A + T_C\cos\theta = 0),(), (T_B + T_C\sin\theta = 0):}$
Ma avendo due equazioni e tre incognite non posso risolverlo... a meno che non ci sia un modo per trovare l'angolo.
Risposte
Quando scrivi l'equazione di equilibrio delle forze nel nodo, come questa :
stai scrivendo una equazione vettoriale: la somma dei tre vettori deve essere un vettore nullo. Quindi la devi scrivere così :
$\vecT_A + \vecT_B + \vecT_C = 0$
Quando poi proietti l'equazione detta sui due assi orizzontale e verticale, stai scrivendo due equazioni scalari tra componenti, e le componenti hanno un segno. Quindi, devi scrivere :
${(T_A - T_C\cos\theta = 0),(), (T_B - T_C\sin\theta = 0):}$
Ovvero :
$T_C cos\theta = T_A $
$T_C sen\theta = T_B$
Per cui, quadrando e sommando :
$T_C^2 = T_A^2 + T_B^2 $
"Angel-MK03":
………...
$T_A + T_B + T_C = 0$.
stai scrivendo una equazione vettoriale: la somma dei tre vettori deve essere un vettore nullo. Quindi la devi scrivere così :
$\vecT_A + \vecT_B + \vecT_C = 0$
Quando poi proietti l'equazione detta sui due assi orizzontale e verticale, stai scrivendo due equazioni scalari tra componenti, e le componenti hanno un segno. Quindi, devi scrivere :
${(T_A - T_C\cos\theta = 0),(), (T_B - T_C\sin\theta = 0):}$
Ovvero :
$T_C cos\theta = T_A $
$T_C sen\theta = T_B$
Per cui, quadrando e sommando :
$T_C^2 = T_A^2 + T_B^2 $
Hai ragione, le avevo comunque considerate forze vettoriali. Tutto dipende dall'angolo theta che non conosco... come lo trovo?
Hai afferrato il senso dell'ultima equazione che ti ho scritto? Che cosa c'è nel punto in cui si incontrano le tre funi? Dal disegno non è chiaro.
No. 
Teorema di Pitagora, triangolo rettangolo e un nodo di massa trascurabile... Non l'avrei mai associato con le funi annodate. Utilizzando la definizione delle funzioni trigonometriche posso trovare la tangente dell'angolo, giusto?
Teorema di Pitagora, triangolo rettangolo e un nodo di massa trascurabile... Non l'avrei mai associato con le funi annodate. Utilizzando la definizione delle funzioni trigonometriche posso trovare la tangente dell'angolo, giusto?
Giusto.
Ma pensandoci meglio, mi sa che questo esercizio è indeterminato….Non ci sono misure di lunghezze, vero?
A parità di forza orizzontale $T_B$ esercitata dalla fune che tiene $B$ sul nodo, posso sostenere un carico $P_A$ maggiore se metto una fune diagonale più lunga e l'attacco alla parete più in alto…È questione di triangolo delle forze, che si può sempre chiudere...
Se non ci sono misure, credo non si possa risolvere.
Ma pensandoci meglio, mi sa che questo esercizio è indeterminato….Non ci sono misure di lunghezze, vero?
A parità di forza orizzontale $T_B$ esercitata dalla fune che tiene $B$ sul nodo, posso sostenere un carico $P_A$ maggiore se metto una fune diagonale più lunga e l'attacco alla parete più in alto…È questione di triangolo delle forze, che si può sempre chiudere...
Se non ci sono misure, credo non si possa risolvere.
Leggi la modifica che ho fatto prima del tuo messaggio. Senza misure di lunghezze, questo esercizio è indeterminato.
Purtroppo non ci sono misure, solo il peso del blocco B. E' un esercizio tratto dall'Halliday-Walker. Il risultato approssimato a due cifre è $P_A = 1,0 \cdot 10^2$ $[N]$. Un errore di stampa o lo hanno ricavato? Grazie per la disponibilità.
EDIT: Ho verificato nell'edizione americana $\theta = 30°$... una dimenticanza nell'edizione italiana.
EDIT: Ho verificato nell'edizione americana $\theta = 30°$... una dimenticanza nell'edizione italiana.
"Angel-MK03":
Purtroppo non ci sono misure, solo il peso del blocco B. E' un esercizio tratto dall'Halliday-Walker. Il risultato approssimato a due cifre è $ P_A = 1,0 \cdot 10^2 $ $ [N] $. Un errore di stampa o lo hanno ricavato? Grazie per la disponibilità.
EDIT: Ho verificato nell'edizione americana $ \theta = 30° $... una dimenticanza nell'edizione italiana.
Ah, ecco! Infatti, ti confermo che senza misure di lunghezze, ovvero l'angolo che la fune obliqua forma con un asse, l'esercizio è indeterminato.
Non so se conosci i triangoli delle forze. In ogni caso, se fai il diagramma di corpo libero del nodo, devi disegnare tre forze a partire da uno stesso punto, che esprimono la condizione di equilibrio vettoriale prima scritta.
Disegnata $\vecT_B$ orizzontale, diretta verso sinistra, che mantieni costante, se non conosci l'angolo detto puoi disegnare una qualunque forza verticale, dal punto in basso, che rappresenta $\vecT_A$, e puoi quindi trovare la loro risultante $\vecT_A + \vecT_B = - \vecT_C$ , che è la forza opposta alla tensione esercitata dalla fune obliqua.
Ma se conosci l'angolo, ovvero la lunghezza della fune obliqua, hai una sola soluzione, cioè un solo vettore $\vecT_C$ .
Bene. Abbiamo capito che qualche volta anche i libri sbagliano.
Mai sentito tale termine, solo la regola del parallelogramma per i vettori. Cercando su Google una possibile risoluzione, devo averlo letto da qualche parte. Sono stato reindirizzato a pagine che trattano le "travature reticolari"...
Ho fatto altre ricerche e sono giunto a questo pdf (pagina 5):
http://62.77.39.126/ISN_itgvaccardi_it/ ... 933cda.pdf
Quindi, quando si vogliono equilibrare le forze agenti su un nodo, quest'ultime devono formare un triangolo? Solo per curiosità... avendo più di tre forze cosa accade?
Ho fatto altre ricerche e sono giunto a questo pdf (pagina 5):
http://62.77.39.126/ISN_itgvaccardi_it/ ... 933cda.pdf
Quindi, quando si vogliono equilibrare le forze agenti su un nodo, quest'ultime devono formare un triangolo? Solo per curiosità... avendo più di tre forze cosa accade?
"Angel-MK03":
Mai sentito tale termine, solo la regola del parallelogramma per i vettori.
Il parallelogramma dei vettori, o il triangolo dei vettori che ti dicevo io, sono in pratica la stessa cosa.
Due vettori applicati nello stesso punto hanno per risultante la diagonale del parallelogramma. Ma ti puoi risparmiare mezzo parallelogramma; disegni il primo vettore, poi dal suo secondo estremo (la punta) disegni il secondo vettore : il lato di chiusura non è altro che la diagonale del parallelogramma completo, no? In questo modo, dati due vettori $\vecA$ e $\vecB$ applicati nello stesso punto, il loro risultante è : $\vecR = \vecA + \vecB$ .
È chiaro ora che portando il risultante al secondo membro devo cambiargli il segno : $ \vecA + \vecB -\vecR = 0 $.
Percio il vettore che equilibria i primi due è uguale e opposto al loro risultante, chiaro?
Quindi, quando si vogliono equilibrare le forze agenti su un nodo, quest'ultime devono formare un triangolo? Solo per curiosità... avendo più di tre forze cosa accade?
Devono formare, in generale, un poligono chiuso. Stiamo parlando, per semplicità (perché poi ci sono sempre le complicazioni dietro l'angolo... ma le studierai quando sarà il tempo) di vettori complanari e applicati tutti nello stesso punto, chiaro?
Se in un punto hai più di due vettori complanari applicati, puoi trovare il risultante in due modi :
1) componi il primo vettore col secondo e ne trovi il risultante. Questo lo sommi col terzo e trovi un altro risultante. Questo lo sommi col 4º e trovi ancora un risultante…e così via, fino all'ultimo vettore.
2) oppure, metti uno di seguito all'altro i vettori, fino all'ultimo; poi disegni il vettore che ha origine nel punto comune di applicazione e fine nella punta dell'ultimo: questo è il risultant di tutti, che è uguale a quello ricavato col primo metodo.
È chiaro, da quanto detto nel caso di due soli vettori, che per l'equilibrio il risultante di tutti deve essere nullo. Se non è nullo, e per esempio è $\vecR$ , per equilibrare tutto il sistema devi applicare ancora un vettore uguale a $-\vecR$ .
Ma queste cose le studierai.
"navigatore":
[quote="Angel-MK03"]Mai sentito tale termine, solo la regola del parallelogramma per i vettori.
Il parallelogramma dei vettori, o il triangolo dei vettori che ti dicevo io, sono in pratica la stessa cosa. [...] In questo modo, dati due vettori $\vecA$ e $\vecB$ applicati nello stesso punto, il loro risultante è : $\vecR = \vecA + \vecB$ .
È chiaro ora che portando il risultante al secondo membro devo cambiargli il segno : $ \vecA + \vecB -\vecR = 0 $.
Percio il vettore che equilibria i primi due è uguale e opposto al loro risultante, chiaro?[/quote]
Sì, chiarissimo, grazie! I fondamenti sulle operazioni tra vettori e sugli spazi vettoriali li conoscono (tant'è vero che li ho già applicati in cinematica), ma in questo caso ho pensato che il triangolo di forze si riferisse a un modo particolare di rappresentare i vettori, ad esempio per risparmiare tempo nei calcoli... e mi sono confuso. Nell'equazione precedente non ho utilizzato il simbolo vettoriale perché il LaTeX del forum non accetta \overrightarrow{v} e non sapevo come scriverlo. Grazie ancora per le spiegazioni.
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