Dinamica e cinematica

[Luca114]

Salve a tutti, ho due esercizi da farvi vedere. Il primo dice:

Mattia lancia un pallone verso l'alto, lungo una rampa incinata di $30°$ con una velocità iniziale di $10 m/s$. Se il pallone striscia lungo la rampa con coefficiente di attrito uguale a $0,20$ a quale altezza $h$ rispetto al piano orizzontale si ferma?

Sono ad un passo dalla soluzione ma mi manca $m$. Qualcuno mi dice come calcolarla?

[Sk_Anonymous]

Dovresti postare la tua soluzione come da regolamento se vuoi un aiuto!
Cos' è m la massa? Se si, non occorre si elide nei calcoli.

[Luca114]

"ignorante":Dovresti postare la tua soluzione come da regolamento se vuoi un aiuto!
Cos' è m la massa? Se si, non occorre si elide nei calcoli.

Non capisco... cosa vuol dire elide?
Comunque non posto tutti i calcoli... dico solo che uso le formule della cinematica, ma occorre l'accelerazione. Quindi ricorro alla seconda legge della dinamica. La risultante delle forze, però, è la forza d'attrito, che per calcolarla occorre la massa, ovvero il peso, in quanto la forza perpendicolare da utilizzare nella formula sarà la componente verticale di esso...

[Cuspide83]

Elìde significa che si cancella. Il problema lo risolvi calcolando il lavoro compiuto dalla forza di attrito

\[-\mu_{d}mg\cos{(\theta)}d=-\frac{1}{2}mv^{2}_{i}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}d\cos{\theta}=h=\frac{v^{2}_{i}}{2g\mu_{d}}\]

[Luca114]

"Cuspide83":Elìde significa che si cancella. Il problema lo risolvi calcolando il lavoro compiuto dalla forza di attrito

\[-\mu_{d}mg\cos{(\theta)}d=-\frac{1}{2}mv^{2}_{i}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}d\cos{\theta}=h=\frac{v^{2}_{i}}{2g\mu_{d}}\]

Ok... se io non conosco quelle formule, c'è qualche altro metodo un po' più banale o l'unica alternativa è facilitarmi l'esercizio dandomi una massa?

[Sk_Anonymous]

$ m $ = massa palla (poi si elide, ovvero si elimina)

$ \theta = 30° $

$ h $ = altezza dal piano orizzontale

$ l = h/sin(\theta) $

$ v = 10 m/s $

$ k = 0.20 $

$ L = m*g*cos(\theta)*k*l $ ( lavoro disperso in attrito per far salire la palla lungo il piano )

$ E = mv^2/2 $ ( energia iniziale con cui sale la palla )

$ Ep = mgh $ ( energia potenziale )

L' energia cinetica iniziale viene interamente convertita in energia potenziale e lavoro e la palla si ferma:

$ E = Ep + L $
$ m*v^2/2 = m*g*h + m*g*cos(\theta)*k*h/sin(\theta) $

semplificando la massa:

$ v^2/2 = g*h + g*cos(\theta)*k*h/sin(\theta) $

dividendo per g:

$ h + cos(\theta)*k*h/sin(\theta) = v^2/(2g) $

raccogliendo h e risolvendo rispetto a questa ottieni:

$ h = v^2/{2g[1 + cot(\theta) * k]} $

$ h = 10^2 / [ 2 * 9.8 * (1 + 1.7320 * 0.2) ] = 3.79 m $

dovrebbe essere giusto

[Luca114]

Si, ci sei arrivato ($3,8m$)
Comunque non ho fatto nè l'energia potenziale nè cinetica nè ho visto il concetto di lavoro, chiedevo solo se c'era un modo per risolverlo semplicemente con le leggi della dinamica... Evidentemente ho preso l'esercizio sbagliato (quelli riassuntivi a fine unità non sai mai bene quello che contengono...)

[Cuspide83]

Si può fare anche non utilizzando il concetto di lavoro. L'equazione del moto proiettata lungo la stessa direzione è

\[-mg\sin{\theta}-\mu_{d}mg\cos{\theta}=ma\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}a=-g(\sin{\theta}+\mu_{d}\cos{\theta})\]
ovvero l'accelerazione è costante, cioè ancora il moto è rettilineo uniforme, quindi puoi usare "la formula" dell'accelerazione in funzione della posizione

\[ad=-gd(\sin{\theta}+\mu_{d}\cos{\theta})=-\frac{1}{2}v^{2}_{i}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}d=\frac{v^{2}_{i}}{2g(\sin{\theta}+\mu_{d}\cos{\theta})}\]