Dinamica dell'urto, impulsi

[Infraruiu]

Un'asta omogenea di massa $M=3kg$, lunghezza $l=2m$ e sezione trasversale trascurabile ai fini del problema, ha l'estremità $A$ incernierata senza attrito a un punto $O$ di un'asse verticale. All'estremità $B$ dell'asta è fissato un corpo di massa $m_b=1kg$, approssimabile a un punto materiale. Inizialmente l'asta ruota con velocità angolare $\omega_0$ intorno all'asse verticale, formando con esso un angolo costante $\theta_0$.

a) Si calcoli $\omega_0$.

A un certo istante un punto materiale $C$ di massa $m_c=2kg$ viene posto in quiete sulla traiettoria di $B$: l'urto è completamente anelastico e $C$ rimane attaccato a $B$

b) La velocità angolare $\omega^star$ dell'asta subito dopo l'urto e il modulo $I$ dell'impulso sviluppato nell'urto dalla cerniera.

Ho fatto lo stesso problema con la massa dell'asta trascurabile, ho trovato $\omega_0$ e $\omega^star$ e penso di aver capito la soluzione per l'impulso, per questo però non riesco a trovare la soluzione corretta..inoltre non capisco se ad esempio scrivo il momento di inerzia devo scriverlo rispetto a $O$ oppure all'asse di rotazione...

[rino6999]

per il punto a) l'approccio più semplice è quello di mettersi in un sistema di riferimento che ruoti con velocità angolare $omega_0$ : in esso il sistema asta-massa puntiforme è in equilibrio
le forze agenti sono i 2 pesi e la forza centrifuga
scelto O come polo si ha
$M_1+M_2+M_3=0$
con
$M_1$ momento del peso dell'asta
$M_2$ momento del peso della massa puntiforme
$M_3 $momento della forza centrifuga

$M_1= -Mgfrac{l}{2}sintheta_0$
$M_2= -m_bglsintheta_0$

passiamo ad $M_3$
l'elemento $dM$ che dista $x$ da $O$ subisce la forza centrifuga di modulo $dF=dMomega_0^2xsintheta_0$
la sbarretta è omogenea e quindi $dM=M/l dx$
la forza ha modulo $dF=M/lomega_0^2sintheta_0 cdot xdx$

il momento di $dF$ rispetto ad $O$ ha modulo $dFxsin[pi-(pi/2-theta_0)]=dFxcostheta_0$

$M_3=omega_0^2M/lsintheta_0costheta_0 int_(0)^(l) x^2 dx=omega_0^2l^2/3Msintheta_0costheta_0 $

lascio a te la conclusione

il punto b) mi sembra molto più "malleabile"

[Infraruiu]

ho provato a portare avanti il tuo ragionamento ma il risultato non viene corretto. Il risultato corretto è $\omega_0=sqrt((m_b+M/2)/(m_b+M/3)*g/(lcos\theta_0)$.
per il problema con l'asta senza massa avevo imposto l'equilibrio lungo y e mi era venuto $m_bg=m_b\omega_0^2lcos\theta_0 => \omega_0=sqrt(g/(lcos\theta_0))$ che è corretto. Ho provato a fare la stessa cosa in questo caso tenendo conto dei $dF$ e poi integrando come hai fatto tu ma il risultato non torna..

non mi è chiara una cosa (che credo sia stupida)..la forza centrifuga in che direzione agisce? come l'ho disegnata nel caso 1 o come nel 2 (nel disegno che ho messo in allegato)?
perchè per risolvere il problema precedente ho considerato che agisse lungo la direzione dell'asta (caso 2) mentre mi sembra che nella tua risoluzione la consideri ortogonale all'asse di rotazione (caso 1)..

edit: mi sono accorto che il mio metodo (cioè l'equilibrio lungo y) per il problema con l'asta senza massa potrebbe essere corretto per una "sfortunata coincidenza" nel senso che corrisponde al metodo che mi hai suggerito tu dopo qualche semplificazione..

edit 2 : raf85 ti sei dimenticato di aggiungere il momento dato dalla forza centrifuga del corpo in $B$ (che è $M_4=m_b\omega_0^2l^2sen\theta_0cos\theta_0$)....così torna finalmente

[rino6999]

ho dimenticato di calcolare il momento della forza centrifuga che agisce sulla massa puntiforme
il suo valore è $m_bomega_0^2l^2sintheta_0costheta_0$
se lo aggiungi al resto il risultato è corretto

p.s. è ovvio che la forza centrifuga sia perpendicolare all'asse di rotazione

[Infraruiu]

Credo che tu abbia risposto mentre stavo scrivendo e non l'avevo visto ..
ecco anche la soluzione del punto b) se dovesse servire a qualcuno..

b) conservazione del momento angolare
momento angolare iniziale:
$L_(o,m_b,i)=lm_b*\omega_0lsen\theta_0$ ;
$L_(o,asta,i)=int_0^l(\lambda\omega_0sen\theta_0x^2dx)=M\omega_0sen\theta_0l^2/3$ con $\lambda=M/l$
momento angolare finale:
$L_(o,m_b,f)=l(m_b+m_c)*\omega^star lsen\theta_0$ ;
$L_(o,asta,f)=int_0^l(\lambda\omega^star sen\theta_0x^2dx)=M\omega^star sen\theta_0l^2/3$

quindi si ricava $\omega^star=(M+3m_b)/(M+3(m_b+m_c))\omega_0$

rimane da trovare l'impulso sviluppato dalla cerniera.
$-I=\DeltaQ$ il meno è dovuto al fatto che l'impulso sviluppato DALLA cerniera sull'asta è opposto in verso a quello che l'asta esercita su di lei, per il terzo prinzipio.
quantità di moto iniziale:
$Q_(m_b,i)=m_b*\omega_0lsen\theta_0$ ;
$Q_(asta,i)=int_0^l(\lambda\omega_0sen\theta_0xdx)=M/2\omega_0lsen\theta_0$
quantità di moto finale:
$Q_(m_b,f)=(m_b+m_c)*\omega^star lsen\theta_0$ ;
$Q_(asta,f)=int_0^l(\lambda\omega^star sen\theta_0xdx)=M/2\omega^star lsen\theta_0$

si ricava quindi $I=(lsen\theta_0\omega_0Mm_c)/(2(M+3(m_b+m_c)))$

grazie raf85 per l'aiuto