Dinamica del Punto
Ragazzi vorrei riportarvi il seguente problema che ho tentato di risolvere nei modi più variegati ma non mi sembra uscire mai.
Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio R=40 cm posta su un piano orizzontale. All'istante t=0 il punto possiede la velocità $v_0 = 2 m/s $; si osserva che dopo aver compiuto un giro tale velocità vale $ v_1 = 0,3 m/s$, la diminuzione essendo dovuta ad una forza di attrito costante. Calcolare: a) l'accellerazione centripeda del punto dopo mezzo giro, b) il tempo che impiega il punto a fare il giro.
Ho guardato le soluzioni del libro e mi da la seguente formula:
$ v^2 = v_0^2 + 2 a_T \pi R^2 $
per trovare la velocità (con la quale poi troviamo la $a_N$)
Capisco che deriva dalla formula
$ a = (v_1^2 - v_0^2)/(2x)$
ma non capisco perchè $x= \pi R^2$
Tra l'altro $a_T$ io l'avrei calcolata con
$ \alpha = (\omega_1^2 - \omega_0^2 )/(2*angolo) $
$a_T = \alpha R $
ma in nessuno di questi casi i risultati tornano simili a quelli del libro. Sbaglio concettualmente, sbalgio i conti o sbaglia il libro? (deve uscire $v=1.43 m/s$)
Grazie in anticipo.
Un punto materiale si muove lungo una circonferenza di raggio R=40 cm posta su un piano orizzontale. All'istante t=0 il punto possiede la velocità $v_0 = 2 m/s $; si osserva che dopo aver compiuto un giro tale velocità vale $ v_1 = 0,3 m/s$, la diminuzione essendo dovuta ad una forza di attrito costante. Calcolare: a) l'accellerazione centripeda del punto dopo mezzo giro, b) il tempo che impiega il punto a fare il giro.
Ho guardato le soluzioni del libro e mi da la seguente formula:
$ v^2 = v_0^2 + 2 a_T \pi R^2 $
per trovare la velocità (con la quale poi troviamo la $a_N$)
Capisco che deriva dalla formula
$ a = (v_1^2 - v_0^2)/(2x)$
ma non capisco perchè $x= \pi R^2$
Tra l'altro $a_T$ io l'avrei calcolata con
$ \alpha = (\omega_1^2 - \omega_0^2 )/(2*angolo) $
$a_T = \alpha R $
ma in nessuno di questi casi i risultati tornano simili a quelli del libro. Sbaglio concettualmente, sbalgio i conti o sbaglia il libro? (deve uscire $v=1.43 m/s$)
Grazie in anticipo.
Risposte
Per trovare la velocità dopo mezzo giro, applicherei il teorema dell'energia cinetica al lavoro compiuto su mezzo giro e su un giro completo e confronterei le espressioni ottenute.
Il lavoro:
su mezzo giro è $L_(1/2) = m*a_t*pi*R$ e quello su un giro completo è $L_(1) = m*a_t*2*pi*R$.
Le variazioni di energia cinetica sono:
quella relativa a mezzo giro $Delta K_(1/2) = 1/2 * m * (v_(1/2)^2 - v_i^2)$ e quella relativa a un giro completo $Delta K_(1) = 1/2 * m * (v_f^2 - v_i^2)$.
Da cui
$L_(1/2) = Delta K_(1/2)$
e cioè
(1) $a_t*pi*R = 1/2 * (v_(1/2)^2 - v_i^2)$
e
$L_(1) = Delta K_(1)$
e cioè
(2) $a_t*2*pi*R = 1/2 * (v_f^2 - v_i^2)$.
Dividendo (1) per (2) si ottiene
$(a_t*pi*R)/(a_t*2*pi*R)=(1/2 * (v_(1/2)^2 - v_i^2))/(1/2 * (v_f^2 - v_i^2))$,
$1/2=(v_(1/2)^2 - v_i^2)/(v_f^2 - v_i^2)$,
$v_(1/2)^2 - v_i^2=(v_f^2 - v_i^2)/2$,
$v_(1/2)^2=(v_f^2 + v_i^2)/2$
e, infine,
$v_(1/2)=sqrt((v_f^2 + v_i^2)/2)=sqrt((2^2+0.3^2)/2)=sqrt((4+0.09)/2)~=1.43 \text( m/s)$.
Il lavoro:
su mezzo giro è $L_(1/2) = m*a_t*pi*R$ e quello su un giro completo è $L_(1) = m*a_t*2*pi*R$.
Le variazioni di energia cinetica sono:
quella relativa a mezzo giro $Delta K_(1/2) = 1/2 * m * (v_(1/2)^2 - v_i^2)$ e quella relativa a un giro completo $Delta K_(1) = 1/2 * m * (v_f^2 - v_i^2)$.
Da cui
$L_(1/2) = Delta K_(1/2)$
e cioè
(1) $a_t*pi*R = 1/2 * (v_(1/2)^2 - v_i^2)$
e
$L_(1) = Delta K_(1)$
e cioè
(2) $a_t*2*pi*R = 1/2 * (v_f^2 - v_i^2)$.
Dividendo (1) per (2) si ottiene
$(a_t*pi*R)/(a_t*2*pi*R)=(1/2 * (v_(1/2)^2 - v_i^2))/(1/2 * (v_f^2 - v_i^2))$,
$1/2=(v_(1/2)^2 - v_i^2)/(v_f^2 - v_i^2)$,
$v_(1/2)^2 - v_i^2=(v_f^2 - v_i^2)/2$,
$v_(1/2)^2=(v_f^2 + v_i^2)/2$
e, infine,
$v_(1/2)=sqrt((v_f^2 + v_i^2)/2)=sqrt((2^2+0.3^2)/2)=sqrt((4+0.09)/2)~=1.43 \text( m/s)$.
Grazie innanzi tutto per la risposta!
Il ragionamento che tu proponi è perfetto, ma c'è una cosa che avrei dovuto dire prima e ho omesso: l'esercizio è nel capitolo delle leggi di newton quindi, diciamo, per stare alle regole del gioco, non dovrei usare la conservazione dell'energia.
Quindi quale è l'altra soluzione?
Il ragionamento che tu proponi è perfetto, ma c'è una cosa che avrei dovuto dire prima e ho omesso: l'esercizio è nel capitolo delle leggi di newton quindi, diciamo, per stare alle regole del gioco, non dovrei usare la conservazione dell'energia.
Quindi quale è l'altra soluzione?
Oppure si può ragionare anche così ...
Il moto tangenziale lungo la circonferenza è uniformemente accelerato, con accelerazione negativa. Quindi valgono le relazioni
(1) $s(t) = v_i * t + 1/2 * a_t * t^2$
e
(2) $v(t)= v_i + a_t *t$.
Poiché è nota la velocità a fine giro, cioè dopo un tempo $t_1$, si può scrivere la (2) come $v(t_1) = v_(f) = v_i + a_t *t_1$, ricavare
$t_1=(v_(f)-v_i)/a_t$
e sostituire nella (1), in cui $s(t_1) = 2*pi*R$. Si ottiene così $2*pi*R=v_i * (v_f-v_i)/a_t + 1/2 * a_t * ((v_f-v_i)/a_t)^2$, da cui si ricava l'accelerazione tangenziale
$a_t=(v_f^2-v_i^2)/(4*pi*R)$.
Quel valore dell'accelerazione, sostituito nelle (1) e (2) ti consente di calcolare ogni cosa del moto.
Se vuoi la velocità a mezzo giro, nella (1) imponi che $s(t_(1/2)) = pi * R = v_i * t_(1/2) + 1/2 * (v_f^2-v_i^2)/(4*pi*R) * (t_(1/2))^2$, risolvi l'equazione in $t_(1/2)$ e sostituisci nella (2).
Il tempo corrispondente a un giro completo è
$t_1=(v_f-v_i)/a_t=(v_f-v_i)/((v_f^2-v_i^2)/(4*pi*R))= (4*pi*R)/(v_f+v_i)$.
Il moto tangenziale lungo la circonferenza è uniformemente accelerato, con accelerazione negativa. Quindi valgono le relazioni
(1) $s(t) = v_i * t + 1/2 * a_t * t^2$
e
(2) $v(t)= v_i + a_t *t$.
Poiché è nota la velocità a fine giro, cioè dopo un tempo $t_1$, si può scrivere la (2) come $v(t_1) = v_(f) = v_i + a_t *t_1$, ricavare
$t_1=(v_(f)-v_i)/a_t$
e sostituire nella (1), in cui $s(t_1) = 2*pi*R$. Si ottiene così $2*pi*R=v_i * (v_f-v_i)/a_t + 1/2 * a_t * ((v_f-v_i)/a_t)^2$, da cui si ricava l'accelerazione tangenziale
$a_t=(v_f^2-v_i^2)/(4*pi*R)$.
Quel valore dell'accelerazione, sostituito nelle (1) e (2) ti consente di calcolare ogni cosa del moto.
Se vuoi la velocità a mezzo giro, nella (1) imponi che $s(t_(1/2)) = pi * R = v_i * t_(1/2) + 1/2 * (v_f^2-v_i^2)/(4*pi*R) * (t_(1/2))^2$, risolvi l'equazione in $t_(1/2)$ e sostituisci nella (2).
Il tempo corrispondente a un giro completo è
$t_1=(v_f-v_i)/a_t=(v_f-v_i)/((v_f^2-v_i^2)/(4*pi*R))= (4*pi*R)/(v_f+v_i)$.
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