Dinamica dei sistemi, urto centrale, centro di massa
Vorrei proporre una situazione per capirci qualcosa in più.
Abbiamo un urto centrale elastico tra due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ e velocità $v_1$ e $v_2$ (versi opposti) al primo è connessa una molla (solidale a $m_1$) di massa trascurabile di costante elastica $k$ che nell'urto si comprime. Vorrei calcolare la massima compressione della molla.
Allora per definizione si conservano la quantità di moto e l'energia cinetica. Siccome tutti e due i corpi sono in movimento (di solito uno è sempre fermo) il centro di massa si muove ed ha una velocità diversa dai due corpi.
Si sa che la quantità di moto sarebbe $m_1v_1 - m_2v_2$ ma è anche parti all'intera massa del sistema per la velocità del centro di massa, per cui:
$m_1v_1 - m_2v_2 = (m_1 + m_2) v_{c}$ giusto?
mentre per l'energia cinetica vale:
$1/2 m_1 v_1^2 + 1/2 m_2v_2^2 + 1/2 (m_1 + m_2) v_c^2 = 1/2 k \Delta \x^2$
Sul libro la soluzione è diversa e non capisco dove sbaglio, mi spiegate?
Grazie mille
Abbiamo un urto centrale elastico tra due corpi di massa $m_1$ e $m_2$ e velocità $v_1$ e $v_2$ (versi opposti) al primo è connessa una molla (solidale a $m_1$) di massa trascurabile di costante elastica $k$ che nell'urto si comprime. Vorrei calcolare la massima compressione della molla.
Allora per definizione si conservano la quantità di moto e l'energia cinetica. Siccome tutti e due i corpi sono in movimento (di solito uno è sempre fermo) il centro di massa si muove ed ha una velocità diversa dai due corpi.
Si sa che la quantità di moto sarebbe $m_1v_1 - m_2v_2$ ma è anche parti all'intera massa del sistema per la velocità del centro di massa, per cui:
$m_1v_1 - m_2v_2 = (m_1 + m_2) v_{c}$ giusto?
mentre per l'energia cinetica vale:
$1/2 m_1 v_1^2 + 1/2 m_2v_2^2 + 1/2 (m_1 + m_2) v_c^2 = 1/2 k \Delta \x^2$
Sul libro la soluzione è diversa e non capisco dove sbaglio, mi spiegate?
Grazie mille
Risposte
Si può risolvere anche considerando l'urto nel sistema del centro di massa:
$[v_G=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)]$
In quel sistema, i due corpi hanno le seguenti velocità:
$[V_1=v_1-v_G=(m_2(v_1-v_2))/(m_1+m_2)] ^^ [V_2=v_2-v_G=(m_1(-v_1+v_2))/(m_1+m_2)]$
Quindi, conservando l'energia meccanica:
$[1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2=1/2kDeltax^2] rarr$
$rarr [1/2m_1(m_2^2(v_1-v_2)^2)/(m_1+m_2)^2+1/2m_2(m_1^2(-v_1+v_2)^2)/(m_1+m_2)^2=1/2kDeltax^2] rarr$
$rarr [Deltax=|v_1-v_2|sqrt((m_1m_2)/(k(m_1+m_2)))]$
Dovresti ottenere lo stesso risultato nel sistema del laboratorio, considerando che l'energia cinetica del centro di massa non può trasformarsi in energia potenziale elastica:
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2kDeltax^2+1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
$[v_G=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)]$
In quel sistema, i due corpi hanno le seguenti velocità:
$[V_1=v_1-v_G=(m_2(v_1-v_2))/(m_1+m_2)] ^^ [V_2=v_2-v_G=(m_1(-v_1+v_2))/(m_1+m_2)]$
Quindi, conservando l'energia meccanica:
$[1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2=1/2kDeltax^2] rarr$
$rarr [1/2m_1(m_2^2(v_1-v_2)^2)/(m_1+m_2)^2+1/2m_2(m_1^2(-v_1+v_2)^2)/(m_1+m_2)^2=1/2kDeltax^2] rarr$
$rarr [Deltax=|v_1-v_2|sqrt((m_1m_2)/(k(m_1+m_2)))]$
Dovresti ottenere lo stesso risultato nel sistema del laboratorio, considerando che l'energia cinetica del centro di massa non può trasformarsi in energia potenziale elastica:
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2kDeltax^2+1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
così come l'ho fatto io perchè il termine $1/2 (m_1 + m_2) v_c^2$ ha segno opposto al tuo? sarebbe l'energia cinetica del centro di massa, perchè non può trasformarsi in energia potenziale elastica?
Grazie mille
Grazie mille
La tua equazione non ha proprio senso. Nel sistema del laboratorio, l'energia meccanica prima dell'urto vale:
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2]$
Dopo l'urto, la massima energia potenziale non si ha per energia cinetica nulla, ma per energia cinetica uguale a quella del centro di massa:
$[1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
Questo termine non può essere nullo: il centro di massa si muoveva prima dell'urto e deve muoversi anche dopo l'urto con la stessa velocità. Ergo, questa energia cinetica è "indisponibile", te la devi ritrovare anche dopo l'urto. Quando l'energia potenziale è massima, l'energia cinetica è minima ma pari a questo contributo indisponibile. Infine, conservando l'energia meccanica:
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2kDeltax^2+1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
Se proprio vuoi rifarti al caso in cui l'energia potenziale è massima quando l'energia cinetica è nulla, devi lavorare nel sistema del centro di massa, come ho fatto nel primo messaggio. In questo caso, l'energia cinetica del centro di massa è sempre nulla, prima e dopo l'urto. In altri termini: l'energia cinetica del sistema è la somma di due contributi, quella del centro di massa:
$[1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
e quella relativa al centro di massa:
$[1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2]$
dove $[V_1]$ e $[V_2]$ sono le velocità nel sistema del centro di massa, quelle calcolate nel primo messaggio per intenderci. Mentre il primo contributo è indisponibile, il secondo può convertirsi integralmente in energia potenziale elastica:
$[1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2=1/2kDeltax^2]$
Dopo aver compreso il problema in entrambi i sistemi, quello del laboratorio e quello del centro di massa, come risolverlo è solo questione di gusti.
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2]$
Dopo l'urto, la massima energia potenziale non si ha per energia cinetica nulla, ma per energia cinetica uguale a quella del centro di massa:
$[1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
Questo termine non può essere nullo: il centro di massa si muoveva prima dell'urto e deve muoversi anche dopo l'urto con la stessa velocità. Ergo, questa energia cinetica è "indisponibile", te la devi ritrovare anche dopo l'urto. Quando l'energia potenziale è massima, l'energia cinetica è minima ma pari a questo contributo indisponibile. Infine, conservando l'energia meccanica:
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2kDeltax^2+1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
Se proprio vuoi rifarti al caso in cui l'energia potenziale è massima quando l'energia cinetica è nulla, devi lavorare nel sistema del centro di massa, come ho fatto nel primo messaggio. In questo caso, l'energia cinetica del centro di massa è sempre nulla, prima e dopo l'urto. In altri termini: l'energia cinetica del sistema è la somma di due contributi, quella del centro di massa:
$[1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
e quella relativa al centro di massa:
$[1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2]$
dove $[V_1]$ e $[V_2]$ sono le velocità nel sistema del centro di massa, quelle calcolate nel primo messaggio per intenderci. Mentre il primo contributo è indisponibile, il secondo può convertirsi integralmente in energia potenziale elastica:
$[1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2=1/2kDeltax^2]$
Dopo aver compreso il problema in entrambi i sistemi, quello del laboratorio e quello del centro di massa, come risolverlo è solo questione di gusti.
Allora grazie mille per la pazienza. Nel sistema del laboratorio:
$1/2m_1v_1^2 + 1/2 m_2v_2^2$
è l'energia meccanica prima dell'urto. Si muove anche il centro di massa, perchè non è presente nella formula?
perchè?
$1/2m_1v_1^2 + 1/2 m_2v_2^2$
è l'energia meccanica prima dell'urto. Si muove anche il centro di massa, perchè non è presente nella formula?
"speculor":
Dopo l'urto, la massima energia potenziale non si ha per energia cinetica nulla, ma per energia cinetica uguale a quella del centro di massa
perchè?
"smaug":
Nel sistema del laboratorio:
$1/2m_1v_1^2 + 1/2 m_2v_2^2$
è l'energia meccanica prima dell'urto. Si muove anche il centro di massa, perchè non è presente nella formula?
Non ho capito, secondo te il sistema è costituito dalla massa $[m_1]$, dalla massa $[m_2]$ e dal centro di massa? Stai prendendo una cantonata pazzesca. Sono due modi diversi di scrivere l'energia cinetica. Nel sistema del laboratorio, si lavora con le velocità assolute:
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2]$
Nel sistema del centro di massa si lavora con le velocità relative:
$[1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2]$
Le due grandezze sono legate tra loro se si considera l'energia cinetica del centro di massa:
$[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=1/2m_1V_1^2+1/2m_2V_2^2+1/2(m_1+m_2)v_G^2]$
Insomma, il termine $[1/2(m_1+m_2)v_G^2]$ è già compreso in $[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2]$. Del resto, si tratta del teorema di Koenig, l'energia cinetica di un sistema può essere considerata la somma di due contributi: quella del centro di massa più quella relativa al centro di massa. Il sistema è sempre e solo costituito da due masse.
"speculor":
La tua equazione non ha proprio senso.
Non a caso la tua equazione è assolutamente priva di senso. Ti consiglio di ripassarti un po' di teoria, hai scritto un'enormità.
"smaug":
[quote="speculor"]
Dopo l'urto, la massima energia potenziale non si ha per energia cinetica nulla, ma per energia cinetica uguale a quella del centro di massa.
Perchè?
[/quote]
Sei riuscito a rispondere a questa domanda?
perchè se l'energia cinetica è uguale a quella del centro di massa,per trasformarla tutta, vuol dire che i corpi devono muoversi con la stessa velocità del centro di massa, cosa che succede in un urto anelastico
"smaug":
perchè se l'energia cinetica è uguale a quella del centro di massa,per trasformarla tutta, vuol dire che i corpi devono muoversi con la stessa velocità del centro di massa, cosa che succede in un urto anelastico
Mi sembra che tu stia procedendo a ritroso. Inoltre, non si tratta di un urto anelastico. Più semplicemente, considerando per esempio l'urto nel sistema del centro di massa, quando le due masse raggiungono la minima distanza relativa, la loro velocità relativa deve essere nulla. Ma siccome nel sistema del centro di massa le loro velocità sono opposte, l'unica soluzione è quella corrispondente ad entrambe le velocità nulle. Effettivamente, ciò implica che, nel sistema del laboratorio, entrambe le masse abbiano la stessa velocità del centro di massa.
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