Dinamica dei sistemi piano inclinato
Salve, non ho mai fatto un problema di dinamica dei sistemi, quindi non so bene come gestirlo.
Un corpo di massa m si trova sopra un piano liscio, inclinato di un angolo $alpha$ rispetto all'orizzontale. Il blocco che costituisce il piano inclinato ha massa M e può scorrere senza attrito sopra un piano orizzontale. Si chiede di calcolare il modulo , F , della forza che applicata al blocco con accelerazione costante di modulo a.
Allora io sicuramente ho sbagliato cmq ho pensato che tutte le forzw in gioco $F_i=a(m+M)$ in problema è che non so se meglio fissare come riferimento uno soliddale con il piano inclinato o con l'asse orizzontale ed inoltre come gestire il blocchetto che giace sul piano inclinato che si muove.
Grazie in anticipo.
Un corpo di massa m si trova sopra un piano liscio, inclinato di un angolo $alpha$ rispetto all'orizzontale. Il blocco che costituisce il piano inclinato ha massa M e può scorrere senza attrito sopra un piano orizzontale. Si chiede di calcolare il modulo , F , della forza che applicata al blocco con accelerazione costante di modulo a.
Allora io sicuramente ho sbagliato cmq ho pensato che tutte le forzw in gioco $F_i=a(m+M)$ in problema è che non so se meglio fissare come riferimento uno soliddale con il piano inclinato o con l'asse orizzontale ed inoltre come gestire il blocchetto che giace sul piano inclinato che si muove.
Grazie in anticipo.
Risposte
"squalllionheart":
....omissis per brevità.....
Un corpo di massa m si trova sopra un piano liscio, inclinato di un angolo $alpha$ rispetto all'orizzontale. Il blocco che costituisce il piano inclinato ha massa M e può scorrere senza attrito sopra un piano orizzontale. Si chiede di calcolare il modulo , F , della forza che applicata al blocco con accelerazione costante di modulo a.
....omissis.......
Descritto così non mi pare chiaro il quesito..si chiede forse di valutare il modulo della forza minima $vec F$ da applicare al corpo di massa $M$ in modo da mantenere in equilibrio il corpo di massa $m$ sopra lo stesso $M$ ?
Comunque nella ricerca della soluzione devi tenere presente che a causa dell'inclinazione sul corpo di massa $m$ agisce la forza di gravità $vec g$ ed è questa componente ( in assenza di forze d'attrito in una situazione ideale) che devi equilibrare...
non so se può esserti d'aiuto tale indicazione ...
ciao.
Mi chiede di trovare il modulo di F tale che faccia scorrere il piano inclinato con accellerazione costante.
F nella figura è in direzione orizzontale e viene applicata al piano inclinato.
F nella figura è in direzione orizzontale e viene applicata al piano inclinato.
"squalllionheart":
Mi chiede di trovare il modulo di F tale che faccia scorrere il piano inclinato con accellerazione costante.
F nella figura è in direzione orizzontale e viene applicata al piano inclinato.
la figura io non la vedo, ma è facilmente immaginabile; comunque se è cosi una parte l'hai già impostata con l'indicazione della forza ( orizzontale ) applicata all'insieme fisico costituito dal piano inclinato di massa M e al blocchetto di massa m; in assenza di altri dati tieni presente il suggerimento che ho dato prima delle forze agenti sul blocchetto m;
Quindi prova a trovare un'espressione del secondo termine dell'uguaglianza $(M+m) vec a= ? $
..pensa ad una situazione d'equilibrio finale stazionaria ( non statica)..
ciao.
Ciao,
da quello che ho capito è probabilmente un problema di statica relativa.
Interpreterei il problema così: il piano inclinato scorre con accelerazione costante $veca$ ed il corpo è in equilibrio sul piano inclinato; quale è il modulo della forza che agisce sul corpo in seguito all'accelerazione costante del piano inclinato?
Vi torna una formulazione di questo tipo?
Ciao
da quello che ho capito è probabilmente un problema di statica relativa.
Interpreterei il problema così: il piano inclinato scorre con accelerazione costante $veca$ ed il corpo è in equilibrio sul piano inclinato; quale è il modulo della forza che agisce sul corpo in seguito all'accelerazione costante del piano inclinato?
Vi torna una formulazione di questo tipo?
Ciao
@jerico: si! ( solo che io direi stazionario, anche se effettavamente all'equilibrio il blocchetto rimane fermo sul piano inclinato in movimento).
Mi pare, tutto sommato, abbastanza semplice, non ci sono neanche forze d'attrito da valutare.
Mi pare, tutto sommato, abbastanza semplice, non ci sono neanche forze d'attrito da valutare.
Goblin il mio problema era proprio quello di capire bene le forze agenti in questa situzione infatti io sono indecisa nella relazione $R=(m+M)a$ dove $R$ è la risultante delle forze in gioco allora vediamo se sono tutte quelle che ho considerato io:
In prima fase ho fissato come riferimento uno solidale con il piano inclinato con $tau$ verso il basso poi ho considerato la forza peso del blocco $P_1=mg$ del piano inclinato $P_2=Mg$ che nel sistema di riferimento $(omega, tau, eta )$ hanno come componenti:
$P_1=sin(alpha)mg\tau-cos(alpha)mg\eta$
$P_2=sin(alpha)Mg\tau-cos(alpha)Mg\eta$
Inoltre devo considerare la forza
$F=cos(alpha)|F|\tau+sin(alpha)|F|\eta$
il problema mi rimane alquanto oscuro ancora... che reazione vincolare devo considerare?
Grazie a presto.
In prima fase ho fissato come riferimento uno solidale con il piano inclinato con $tau$ verso il basso poi ho considerato la forza peso del blocco $P_1=mg$ del piano inclinato $P_2=Mg$ che nel sistema di riferimento $(omega, tau, eta )$ hanno come componenti:
$P_1=sin(alpha)mg\tau-cos(alpha)mg\eta$
$P_2=sin(alpha)Mg\tau-cos(alpha)Mg\eta$
Inoltre devo considerare la forza
$F=cos(alpha)|F|\tau+sin(alpha)|F|\eta$
il problema mi rimane alquanto oscuro ancora... che reazione vincolare devo considerare?
Grazie a presto.
Basandomi sulla formulazione del problema che ho riportato prima:
attenzione che l'equilibrio del corpo è riferito ad un sistema di riferimento solidale con il piano, mentre rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (assoluto) il sistema corpo non sarà in equilibrio (infatti si muoverà con un'accelerazione pari a quella del piano inclinato). Ecco perchè ritengo sia un problema di statica relativa.
In quest'ottica lo affronterei con la trattazione generale della statica relativa:
$vecF+vecPhi = (m+M)* veca^(a)$
Dove $veca^(a)$ è l'accelerazione assoluta, data da:
$veca^(a) = veca^(r) + veca^(tau) + veca^(c)$
i 3 addendi sono la accelerazione relativa, di trascinamento e di coriolis rispettivamente.
Le condizioni di equilibrio relativamente al sistema di riferimento in moto uniformemente accelerato (con modulo e direzione dell'accelerazione coincidenti con quelle del piano inclinato = sistema di riferimento solidale con il piano inclinato, con ascissa lungo il piano e l'ordinata vien da sè) sono:
$veca^(r) = 0$
$vecv^(r) = 0$
da cui (la notazione al primo membro indica somma delle forze attive e vincolari, in questo caso la reazione vincolare è ortogonale alla superficie del vincolo, essendo senza attrito):
$vecF+vecPhi = (m+M)* veca^(tau)$
$vecF+vecPhi + vecF^(tau) = 0$
con
$vecF^(tau) = -(m+M)* veca^(tau)$
Da notare che la forza di trascinamento $vecF^(tau)$ compare in virtù della legge di trasformazione delle accelerazioni tra un sistema di riferimento inerziale ed uno non inerziale (che è diverse da quella delle forze).
Continua tu:
$veca^(tau) =veca_omega +$.......etc etc (termini che coinvolgono $vecomega$ e sua derivata rispetto al tempo, per cui nel caso di questo moto relativo si annullano).
Ciao
attenzione che l'equilibrio del corpo è riferito ad un sistema di riferimento solidale con il piano, mentre rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (assoluto) il sistema corpo non sarà in equilibrio (infatti si muoverà con un'accelerazione pari a quella del piano inclinato). Ecco perchè ritengo sia un problema di statica relativa.
In quest'ottica lo affronterei con la trattazione generale della statica relativa:
$vecF+vecPhi = (m+M)* veca^(a)$
Dove $veca^(a)$ è l'accelerazione assoluta, data da:
$veca^(a) = veca^(r) + veca^(tau) + veca^(c)$
i 3 addendi sono la accelerazione relativa, di trascinamento e di coriolis rispettivamente.
Le condizioni di equilibrio relativamente al sistema di riferimento in moto uniformemente accelerato (con modulo e direzione dell'accelerazione coincidenti con quelle del piano inclinato = sistema di riferimento solidale con il piano inclinato, con ascissa lungo il piano e l'ordinata vien da sè) sono:
$veca^(r) = 0$
$vecv^(r) = 0$
da cui (la notazione al primo membro indica somma delle forze attive e vincolari, in questo caso la reazione vincolare è ortogonale alla superficie del vincolo, essendo senza attrito):
$vecF+vecPhi = (m+M)* veca^(tau)$
$vecF+vecPhi + vecF^(tau) = 0$
con
$vecF^(tau) = -(m+M)* veca^(tau)$
Da notare che la forza di trascinamento $vecF^(tau)$ compare in virtù della legge di trasformazione delle accelerazioni tra un sistema di riferimento inerziale ed uno non inerziale (che è diverse da quella delle forze).
Continua tu:
$veca^(tau) =veca_omega +$.......etc etc (termini che coinvolgono $vecomega$ e sua derivata rispetto al tempo, per cui nel caso di questo moto relativo si annullano).
Ciao
Scusate l'UP così ravvicinato, ma mi è venuta in mente una cosa importante: la massa del piano inclinato.....siamo sicuri che sia importante, ad okkio direi che non lo è (con le modifiche nella trattazione del prec post) .
@GoblinBlue: che ne pensi?
Ciao
@GoblinBlue: che ne pensi?
Ciao
Il problema va studiato analizzando separatamente le forze agenti sui 2 corpi
sulla massa che scivola agiscono forza peso e reazione del piano costituito dal blocco
sul blocco agiscono la forza da applicare ,la reazione del piano orizzontale ,la forza peso e anche la reazione uguale e contraria a quella della massa che scivola(per il principio
azione e reazione in un sistema costituito da massa scivolante e blocco).Queste forze proiettale sugli assi e vediamo come le proietti.Se non e' chiaro chiedi
sulla massa che scivola agiscono forza peso e reazione del piano costituito dal blocco
sul blocco agiscono la forza da applicare ,la reazione del piano orizzontale ,la forza peso e anche la reazione uguale e contraria a quella della massa che scivola(per il principio
azione e reazione in un sistema costituito da massa scivolante e blocco).Queste forze proiettale sugli assi e vediamo come le proietti.Se non e' chiaro chiedi
@squalllionheart: può il disegno rappresentare schematicamente il problema almeno in prima approssimazione ?
Oppure mi sono fatto una rappresentazione totalmente errata del sistema fisico relativo al quesito?
"Jerico":
Scusate l'UP così ravvicinato, ma mi è venuta in mente una cosa importante: la massa del piano inclinato.....siamo sicuri che sia importante, ad okkio direi che non lo è (con le modifiche nella trattazione del prec post) .
@GoblinBlue: che ne pensi?
Ciao
Penso che sia importante in quanto tale piano inclinato poggia su un piano privo di attrito ( situazione del tutto ideale ovviamente) e quindi qualora soggetto anche ad una minima forza, derivante per esempio da una delle componenti agenti sul blocchetto di massa m che vi poggia, sarebbe soggetto ad una (seppur piccola) accelerazione $vec a$ inversamente proporzionale a $M$.
Se invece agisse una forza $vec F$ esterna bisognerebbe considerare la massa totale di tutto il sistema $M+m$ come richiesto nel problema posto.
Quindi nel sistema fisico agirebbero la forza sul blocchetto $m vec g$ che trovandosi sul piano inclinato si scinderebbe nelle varie componenti e la forza normale $Mvecg$ controbilanciata dal vincolo costituito dal piano orizzontale su cui poggia tutto e la forza incognita da calcolare che imprime l'accelerazione costante a tutto il sistema.
Ciao
@goblinblue: ok
@All: dal thread mi sembra che abbiamo la stessa visione, provo a riassumere (per vedere se ho capito bene)
Sul blocchetto agiscono le forze: [Siano $veci , vecj, veck$ i versori di un sistema di riferimento inerziale (assoluto) in cui $veci$ e $vecj$ sono glia ssi x e y rappresentati nella figura di Goblinblue]
$vec(F)_p = $ forza peso $= -m * g*vecj$;
$vecPhi = $ reazione vincolare del piano inclinato, normale al piano stesso in quanto privo di attrito
$vec(F)^(tau) = $ forza di trascinamento dovuto al sistema relativo solidale con il pano inclinato (vedere mio post precedente per spiegazione) oppure come indicato da Legendre: forza dovuta al principio di azione e reazione $ = -m * veca = -m * a veci$
Per la situazione di equilibrio, quindi si dovrà risolvere l'equazione vettoriale e ricavare :
$vec(F)_p + vecPhi + vec(F)^(tau) = 0$
Ponendoci ora in un sistema di riferimento solidale con il piano inclinato e con assi x e y tali che x è lungo il piano ed y normale ad esso, se ho capito bene :
$F = m*g*tgalpha$
@squallionheart: torna?
@All: dal thread mi sembra che abbiamo la stessa visione, provo a riassumere (per vedere se ho capito bene)
Sul blocchetto agiscono le forze: [Siano $veci , vecj, veck$ i versori di un sistema di riferimento inerziale (assoluto) in cui $veci$ e $vecj$ sono glia ssi x e y rappresentati nella figura di Goblinblue]
$vec(F)_p = $ forza peso $= -m * g*vecj$;
$vecPhi = $ reazione vincolare del piano inclinato, normale al piano stesso in quanto privo di attrito
$vec(F)^(tau) = $ forza di trascinamento dovuto al sistema relativo solidale con il pano inclinato (vedere mio post precedente per spiegazione) oppure come indicato da Legendre: forza dovuta al principio di azione e reazione $ = -m * veca = -m * a veci$
Per la situazione di equilibrio, quindi si dovrà risolvere l'equazione vettoriale e ricavare :
$vec(F)_p + vecPhi + vec(F)^(tau) = 0$
Ponendoci ora in un sistema di riferimento solidale con il piano inclinato e con assi x e y tali che x è lungo il piano ed y normale ad esso, se ho capito bene :
$F = m*g*tgalpha$
@squallionheart: torna?
Esatto Goblin è proprio quello in disegno. quindi che mi cnsigliate come riferimento uno solidale conla forza o con il piano inclinato.... sono sempre piùconfusa...in merito...
grazie ancora
grazie ancora
Jerico non ho capito percchè nella penultima reazione hai considerato la situazione di equilibrio quando il piano inclinato scorre con accellerazione costante,o quella è la relazione che descrive llo stato di quiete del blocco sul piano inclinato?
grazie ancora
grazie ancora
Quella è la relazione che descrive lo stato di equilibrio del blocco sul piano inclinato che scorre con accelerazione $a$.
Immagina di essere un osservatore inerziale (assoluto): vedresti il piano inclinato scorrere con accelerazione costante, su questo piano vedresti il blocco appoggiato ma fermo (che non scivola giù per blocco).
La relazione a cui ti riferisci è proprio questo.
Immagina di essere un osservatore inerziale (assoluto): vedresti il piano inclinato scorrere con accelerazione costante, su questo piano vedresti il blocco appoggiato ma fermo (che non scivola giù per blocco).
La relazione a cui ti riferisci è proprio questo.
"squalllionheart":
Esatto Goblin è proprio quello in disegno. quindi che mi cnsigliate come riferimento uno solidale conla forza o con il piano inclinato.... sono sempre piùconfusa...in merito...
grazie ancora
Io ti consiglierei il sistema di riferimento disegnato ovvero solidale con il piano orizzontale sul quale scorre l'insieme fisico (M+m) , una volta applicata la forza esterna $vec F_e$.
Tieni presente che un'espressione di tale forza esterna per conferire un'accelerazione costante al blocco di massa totale $(M+m)$ deve superare la componente di forza del blocchetto di massa $m$ non deve solo equilibrarla sennò il sistema non subirebbe un'accelerazione: Jerico al riguardo ha dato ottime indicazioni.
Ciao.
P.s.: anche le considerazioni di Legendre sono ottime e da considerare...( diamo a cesare quel che è di cesare)
.
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