Dinamica
Salve! Ho un problema di dinamica che sembra abbastanza semplice, ma sulle cui soluzioni ho qualche dubbio. Il problema è il seguente :
Una massa, posta alla sommità di un piano inclinato scabro con coefficiente di attrito dinamico pari a 0,3, è fatta partire con una spinta. Se l'altezza a cui si trova l'oggetto è di 2 m e l'angolo di inclinazione è 30° e la velocità finale a cui si trova l'oggetto è 30 m/s calcolare il tempo impiegato dall'oggetto a percorrere il piano e la velocità con cui parte.
Lo svolgimento propone di utilizzare l'equazione E(A) = E(B) ma essendo il piano scabro non dovrebbe valere la conservazione dell'energia meccanica, giusto? In questo caso sarebbe E(A)= E(B) - Forza di attrito ? Potreste aiutarmi a risolvere l'esercizio? Lo svolgimento mi ha un po' confuso!
Una massa, posta alla sommità di un piano inclinato scabro con coefficiente di attrito dinamico pari a 0,3, è fatta partire con una spinta. Se l'altezza a cui si trova l'oggetto è di 2 m e l'angolo di inclinazione è 30° e la velocità finale a cui si trova l'oggetto è 30 m/s calcolare il tempo impiegato dall'oggetto a percorrere il piano e la velocità con cui parte.
Lo svolgimento propone di utilizzare l'equazione E(A) = E(B) ma essendo il piano scabro non dovrebbe valere la conservazione dell'energia meccanica, giusto? In questo caso sarebbe E(A)= E(B) - Forza di attrito ? Potreste aiutarmi a risolvere l'esercizio? Lo svolgimento mi ha un po' confuso!
Risposte
Come giustamente hai osservato l'energia meccanica non viene conservata a causa della forza di attrito.
Calcoliamo il lavoro di tale forza che sappiamo essere uguale alla variazione di energia meccanica
\[-\mu_{d}mgd\cos{\theta}=\frac{1}{2}mv^{2}_{f}-mgh-\frac{1}{2}mv^{2}_{i}\]
ora l'ipotenusa \(d\) del "triangolo" è pari a \(d=\frac{h}{\sin{\theta}}\) quindi sostituiamo e ricaviamo la velocità iniziale
\[v^{2}_{i}=v^{2}_{f}+2gh(\mu_{d}\cot{\theta}-1)\]
A questo punto osserviamo che l'accelerazione è costante
\[a=g(\sin{\theta}-\mu_{d}\cos{\theta})\]
quindi il moto è rettilineo uniformemente accelerato, e il tempo può essere calcolato sia dalla legge oraria che dalla relazione velocità-tempo
\[v_{f}=v_{i}+at\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}t=\frac{v_{f}-v_{i}}{a}\]
Calcoliamo il lavoro di tale forza che sappiamo essere uguale alla variazione di energia meccanica
\[-\mu_{d}mgd\cos{\theta}=\frac{1}{2}mv^{2}_{f}-mgh-\frac{1}{2}mv^{2}_{i}\]
ora l'ipotenusa \(d\) del "triangolo" è pari a \(d=\frac{h}{\sin{\theta}}\) quindi sostituiamo e ricaviamo la velocità iniziale
\[v^{2}_{i}=v^{2}_{f}+2gh(\mu_{d}\cot{\theta}-1)\]
A questo punto osserviamo che l'accelerazione è costante
\[a=g(\sin{\theta}-\mu_{d}\cos{\theta})\]
quindi il moto è rettilineo uniformemente accelerato, e il tempo può essere calcolato sia dalla legge oraria che dalla relazione velocità-tempo
\[v_{f}=v_{i}+at\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}t=\frac{v_{f}-v_{i}}{a}\]
Grazie!
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