Dimostrazione teorema della circolazione
Il teorema della circolazione di Kelvin, dimostra che la derivata lagrangiana rispetto al tempo della circolazione è uguale a zero.
$ D/(Dt) ointvec(V) \cdot dvec(l) =oint(D vec(V))/(Dt) dvec(l)+ oint vec(V)(D vec(l))/(D t) $
L'ultimo integrale è oggetto di alcuni passaggi che non riesco a comprendere. Per prima cosa si identifica la derivata lagrangiana con il differenziale della velocità: $ (D vec(l))/(D t)=dvec(v) $ e poi si fanno le seguenti sostituzioni all'interno dell'integrale,
$ oint vec(v) \cdot dvec(v) = oint d((v^2)/2) $
a questo punto alcuni testi concludono che avendo di fronte un differenziale esatto l'integrale si annulla, altri invece scrivono che avendo una funzione monodroma l'integrale vale zero.
Io non capisco come si ottiene quel differenziale, che mi appare di strano tipo e soprattutto come faccio a capire che è esatto (non posso verificare l'uguaglianza delle derivate miste).
E ancora, perché non si risolve semplicemente l'integrale dato che si ottiene $ ((v^2)/2) $ che valutata negli stessi punti varrà zero?
Grazie del vostro tempo.
$ D/(Dt) ointvec(V) \cdot dvec(l) =oint(D vec(V))/(Dt) dvec(l)+ oint vec(V)(D vec(l))/(D t) $
L'ultimo integrale è oggetto di alcuni passaggi che non riesco a comprendere. Per prima cosa si identifica la derivata lagrangiana con il differenziale della velocità: $ (D vec(l))/(D t)=dvec(v) $ e poi si fanno le seguenti sostituzioni all'interno dell'integrale,
$ oint vec(v) \cdot dvec(v) = oint d((v^2)/2) $
a questo punto alcuni testi concludono che avendo di fronte un differenziale esatto l'integrale si annulla, altri invece scrivono che avendo una funzione monodroma l'integrale vale zero.
Io non capisco come si ottiene quel differenziale, che mi appare di strano tipo e soprattutto come faccio a capire che è esatto (non posso verificare l'uguaglianza delle derivate miste).
E ancora, perché non si risolve semplicemente l'integrale dato che si ottiene $ ((v^2)/2) $ che valutata negli stessi punti varrà zero?
Grazie del vostro tempo.
Risposte
Provo a risponderti, e ti segnalo altri post sull'argomento
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8520772
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8274280
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8259359
Riguardo al primo dubbio, se consideriamo 2 punti sul dominio di integrazione $vec x$ e $vec x+vec (dl)$ si avrà rispettivamente
$vec v=(d vec x)/dt$
$vec v + d vec v = (d vec x + vec(dl))/dt$
da cui $(vec(dl))/dt = d vec v$
Sostituendo ed osservando che $vec v*d vec v = d(v^2/2)$ si arriva all'integrale in questione.
A questo punto il problema si fa più complicato. In generale nel caso di un campo vettoriale per avere circuitazione nulla non basta avere una primitiva e che gli estremi di integrazione coincidano. Ad es. consideriamo il campo espresso in coordinate polari $vec F = 1/(2pi r) vec u_theta$ integrato sul cerchio r=R centrato nell'origine. Risulterà che il cammino si può scrivere $d vec l = R d theta*vec u_theta$ e quindi l'integrale diviene
$int_0^(2pi) 1/(2pi) * d theta = 1$
Si può verificare che ponendo F in coordinate cartesiane e facendo le derivate miste queste sono uguali per cui si può definire una primitiva e derivare una forma differenziale su porzioni connesse del dominio, entro le quali la circuitazione su una linea chiusa è effettivamente nulla. Ma come visto non lo è dappertutto.
Solo quando per ogni percorso chiuso la circuitazione è nulla allora la forma differenziale si dice esatta
https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale
ed è derivabile da un potenziale scalare ovvero una primitiva definita in tutto il dominio (un modo alternativo di vedere le cose è lavorare nel piano complesso e verificare che la funzione sia monodroma ovvero non abbia singolarità, nel caso precedente z=0, ruotando attorno alle quali cambi di valore). Nel caso del T. di Kelvin la forma differenziale è esatta e pertanto l'integrale è nullo.
Spero di esserti stato di aiuto.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8520772
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Riguardo al primo dubbio, se consideriamo 2 punti sul dominio di integrazione $vec x$ e $vec x+vec (dl)$ si avrà rispettivamente
$vec v=(d vec x)/dt$
$vec v + d vec v = (d vec x + vec(dl))/dt$
da cui $(vec(dl))/dt = d vec v$
Sostituendo ed osservando che $vec v*d vec v = d(v^2/2)$ si arriva all'integrale in questione.
A questo punto il problema si fa più complicato. In generale nel caso di un campo vettoriale per avere circuitazione nulla non basta avere una primitiva e che gli estremi di integrazione coincidano. Ad es. consideriamo il campo espresso in coordinate polari $vec F = 1/(2pi r) vec u_theta$ integrato sul cerchio r=R centrato nell'origine. Risulterà che il cammino si può scrivere $d vec l = R d theta*vec u_theta$ e quindi l'integrale diviene
$int_0^(2pi) 1/(2pi) * d theta = 1$
Si può verificare che ponendo F in coordinate cartesiane e facendo le derivate miste queste sono uguali per cui si può definire una primitiva e derivare una forma differenziale su porzioni connesse del dominio, entro le quali la circuitazione su una linea chiusa è effettivamente nulla. Ma come visto non lo è dappertutto.
Solo quando per ogni percorso chiuso la circuitazione è nulla allora la forma differenziale si dice esatta
https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale
ed è derivabile da un potenziale scalare ovvero una primitiva definita in tutto il dominio (un modo alternativo di vedere le cose è lavorare nel piano complesso e verificare che la funzione sia monodroma ovvero non abbia singolarità, nel caso precedente z=0, ruotando attorno alle quali cambi di valore). Nel caso del T. di Kelvin la forma differenziale è esatta e pertanto l'integrale è nullo.
Spero di esserti stato di aiuto.
Grazie per la risposta. Mi rimane oscuro il perché e in base a cosa $ d(v^2) $ risulti un differenziale esatto.
"cla29":
Mi rimane oscuro il perché e in base a cosa $d(v^2)$ risulti un differenziale esatto.
Le spiegazioni un poco più elaborate che ho trovato partono dal fatto che risulta $d(v^2) = grad(v^2)*d vecl$ (es. https://farside.ph.utexas.edu/teaching/ ... ode63.html) e in base a questa relazione concludono che l'integrale è sempre nullo, e quindi si tratta di un differenziale esatto, per applicazione del T. del Gradiente https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_gradiente.
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