DIMOSTRAZIONE PROPRIETA' DISTRIBUTIVA PER PRODOTTO SCALARE RISPETTO ALLA SOMMA

[lovato1]

Sto studiando i vettori in fisica e, più in particolare, il prodotto scalare.
Dopo averne dato la definizione e verificato la proprietà commutativa, come utile esercizio mi si chiede di verificare la proprietà distributiva rispetto alla somma.
Quindi verificare che:
$ \vec a * (\vec b + \vec c) = \vec a * \vec b + \vec a * \vec c $
La dimostrazione dovrebbe (dato l'argomento trattato) non coinvolgere argomenti di geometria...
Sviluppando quanto sopra si può arrivare a tale eguaglianza:
$ \hat a * (\vec b + \vec c) = (\hat a * \vec b) + (\hat a * \vec c) $
Cioè la componente ortogonale del vettore somma di $ \vec b + \vec c $ corrisponderebbe alla somma della componente ortogonale del vettore $ \vec b $ lungo la retta del vettore $ \vec a $ e della componente ortogonale del vettore $ \vec c $ lungo la retta del vettore $ \vec a $.
Qualcuno ha qualche idea di come verificare tale eguaglianza? C'è qualche altro modo per effettuare tale esercizio?

[ingres]

Si può effettivamente partire dalla dimostrazione che la proiezione ortogonale della somma di due vettori è pari alla somma delle rispettive proiezioni ortogonali (per la dimostrazione vedi ad es. http://www.peliti.org/Notes/vectors.pdf pag.7), da cui poi deriva facilmente la tesi (pag. 8).

In alternativa se si usa la rappresentazione cartesiana (supponiamo vettori nello spazio)

$vec a = (a_x, a_y, a_z)$
$vec b = (b_x, b_y, b_z)$
$vec c =(c_x, c_y, c_z)$

e ricordando che
$vec a + vec b = (a_x+ b_x , a_y + b_y , a_z +b_z)$
$vec a * vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

si ha:

$vec a*(vec b + vec c) = (a_x, a_y, a_z)*(b_x+c_x, b_y+c_y, b_z+c_z)=$
$=a_x(b_x+c_x) +a_y( b_y+c_y)+a_z( b_z+c_z)=$
$=(a_x b_x +a_y b_y+ a_z b_z)+(a_x c_x +a_y c_y+ a_z c_z)=$
$=vec a*vec b + vec a*vec c$