Dimostrazione moto circolare uniforme in campo magnetico
Salve a tutti... stavo cercando di dimostrare matematicamente che il moto di una carica in un campo magnetico è un moto circolare uniforme.
Dimostrare che il modulo della velocità è sufficientemente semplice, basta ricordare che il campo magnetico non fa lavoro sulla carica, quindi l'energia cinetica $K$ è costante, ovvero $|v|$ è costante.
Inoltre (per semplicità) suppongo che la particella non abbia velocità con componente parallela al campo magnetico, infatti la formula della froza di Lorentz ci insegna che tale componente è ininfluente e non viene modificata, quindi evito di "portarmela dietro" nei conti.
Il problema adesso è dimostrare che la traiettoria percorsa dalla particella è un cerchio, pensavo quindi di cercare di dimostrare che lo spazio percorso in funzione del tempo è della forma $s(t)=k(sin(\omega t + \phi_0),cos(sin(\omega t + \phi_0))$, ovvero (paramentricamente parlando) un cerchio.
Per semplificare la cosa pongo il campo magnetico perpendicolare uscente dal foglio, e la velocità iniziale $\vec v$ della particella uguale a $\vec v=(v_0,0)$ (infatti ci si può sempre rifare ad una situazione del genere ruotando gli assi di riferimento).
so che $\vec s(t)=\int_0^t \vec v(\tau)d\tau$, quindi è necessario trovare come varia il vettore velocità nel tempo
Naturalmente la velocità è l'integrale dell'accelerazione, quindi
$ \vec v(t)=\int_0^t \vec a(\tau)d\tau=1/m \int_0^t \vec F(\tau)d\tau=q/m \int_0^t (\vec v \times \vec B)(\tau) d\tau$
Ma qui arriva il problema: come posso calcolare la velocità se sotto l'integrale... ho la velocità???
Dimostrare che il modulo della velocità è sufficientemente semplice, basta ricordare che il campo magnetico non fa lavoro sulla carica, quindi l'energia cinetica $K$ è costante, ovvero $|v|$ è costante.
Inoltre (per semplicità) suppongo che la particella non abbia velocità con componente parallela al campo magnetico, infatti la formula della froza di Lorentz ci insegna che tale componente è ininfluente e non viene modificata, quindi evito di "portarmela dietro" nei conti.
Il problema adesso è dimostrare che la traiettoria percorsa dalla particella è un cerchio, pensavo quindi di cercare di dimostrare che lo spazio percorso in funzione del tempo è della forma $s(t)=k(sin(\omega t + \phi_0),cos(sin(\omega t + \phi_0))$, ovvero (paramentricamente parlando) un cerchio.
Per semplificare la cosa pongo il campo magnetico perpendicolare uscente dal foglio, e la velocità iniziale $\vec v$ della particella uguale a $\vec v=(v_0,0)$ (infatti ci si può sempre rifare ad una situazione del genere ruotando gli assi di riferimento).
so che $\vec s(t)=\int_0^t \vec v(\tau)d\tau$, quindi è necessario trovare come varia il vettore velocità nel tempo
Naturalmente la velocità è l'integrale dell'accelerazione, quindi
$ \vec v(t)=\int_0^t \vec a(\tau)d\tau=1/m \int_0^t \vec F(\tau)d\tau=q/m \int_0^t (\vec v \times \vec B)(\tau) d\tau$
Ma qui arriva il problema: come posso calcolare la velocità se sotto l'integrale... ho la velocità???
Risposte
prova a calcolare il prodotto vettoriale per componenti, non ci giurerei ma così mi pare che dovrebbe venir fuori qualcosa
[tex]v=\begin{pmatrix}v_x \\ v_y \end{pmatrix}[/tex]
dato che come hai già osservato puoi in qualche modo "trascurare" la componente su [tex]z[/tex] l'asse parallelo al campo [tex]B[/tex]
[tex]v=\begin{pmatrix}v_x \\ v_y \end{pmatrix}[/tex]
dato che come hai già osservato puoi in qualche modo "trascurare" la componente su [tex]z[/tex] l'asse parallelo al campo [tex]B[/tex]
Ci sono tanti modi. Quello tradizionalmente adottato consiste nell'introdurre, in un sistema di riferimento in cui $B$ è orientato lungo $z$, la variabile complessa $z=x+iy$ in riferimento all'equazione del moto $[[\ddot{x}],[\ddot{y}]]=Omega[[\dot{y}],[-\dot{x}]]$, dove $Omega=\frac{qB}{mc}$ è chiamata frequenza di ciclotrone. Tramite $z$ l'equazione del moto può essere scritta $\ddot{z}=-iOmega\dot{z}$, la cui soluzione è della forma $z(t)=Ae^{-iOmegat}$ (più un termine costante, non rilevante ai fini della discussione), che descrive appunto una circonferenza. Di fatto, è una modalità diversa di applicare le equazioni parametriche da te suggerite. Si presuppone un minimo di conoscenza (bastano le poche pagine introduttive che si trovano nei libri di fisica 1) delle equazioni differenziali.
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