Dimostrazione energia elettrica di distrubuzione uniforme sferica
Dopo aver calcolato il campo elettrico con Gauss e successivamente il potenziale nei punti interni ed esterni alla sfera, mi chiedo come proseguire per trovare l'energia richiesta dal testo.
Devo integrare nuovamente il potenziale moltiplicato per 1/2 la densità volumetrica (provato ma non mi risulta..) ? E se cosi fosse, c'è un metodo più rapido?
Grazie!
Risposte
Utilizzare la definizione di energia di una distribuzione continua di carica può essere un buon inizio. In ogni caso prova a dare un'occhiata qui.
È quel che scrivevo sopra, il primo tentativo.. Però devo calcolare l' energia per i due casi (interno ed esterno) e sommari? Perché magari sbaglio qualcosa ma non tornano i conti
Se conosci il campo non stare a ricavarti il potenziale che' so no finisci domani con tutti quegli integrali... Usa l'altra formula $U = \frac {\epsilon} 2 \int E^2 d\tau$ e devi integrare su tutto lo spazio... quindi son due integrali: uno dentro e uno fuori.
Ok grazie. Ho provato e mi risulta in questo modo :
\( U_{int} = \frac{\varepsilon _0}{2}\int_{0}^{r_0} {(\frac{Qr}{4\pi r_0^3\varepsilon _0}})^2\, dr = \frac{Q^2}{48\pi^2\varepsilon _0} \)
e
\( U_{ext} = \frac{\varepsilon _0}{2}\int_{r_0}^{\infty } {(\frac{Q}{4\pi r^2\varepsilon _0}})^2\, dr = \frac{Q^2}{96\pi^2r_0^3\varepsilon _0 } \)
Il che non mi porta al risultato esatto.. Sicuramente sbaglio qualcosa nell'integrazione..?
\( U_{int} = \frac{\varepsilon _0}{2}\int_{0}^{r_0} {(\frac{Qr}{4\pi r_0^3\varepsilon _0}})^2\, dr = \frac{Q^2}{48\pi^2\varepsilon _0} \)
e
\( U_{ext} = \frac{\varepsilon _0}{2}\int_{r_0}^{\infty } {(\frac{Q}{4\pi r^2\varepsilon _0}})^2\, dr = \frac{Q^2}{96\pi^2r_0^3\varepsilon _0 } \)
Il che non mi porta al risultato esatto.. Sicuramente sbaglio qualcosa nell'integrazione..?
L'integrale è volumetrico.
Ahhhh ok perfetto. Grazie!!!
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