Dimostrazione d=1/2 a * t^2
Salve,
mi servirebbe una conferma per vedere se ho capito cosa intende il libro quando mi dimostra una data formula.
Voi confermatemi se é giusto quello che dico, se é giusto vuol dire che ho capito.
In qualsiasi moto accelerato la rappresentazione su un piano cartesiano ( y = acc. x = tempo ) porta alla delimitazione di una data area che corrisponde a quella del medesimo moto ma con y = velocità e x = tempo.
Qualora si tratti di un moto uniformemente accelerato ciò permette di dedurre la famosa formula.
1) spazio percorso \(\displaystyle velocità media * t \) ma con acc. costante vmedia corrisponde esattamente a 1/2 della velocità finale.
pertanto si ha \(\displaystyle s= 1/2 v * t. \)
Ma sappiamo anche che \(\displaystyle velocità finale = a * t \) e dunque \(\displaystyle s= 1/2 a * t * t \)
da cui le due formule \(\displaystyle s = 1/2 v * t \) e \(\displaystyle s = 1/2 a *t^2 \)
é per vedere se ho capito la dimostrazione, il punto é la parte grassettata all'inizio.
mi servirebbe una conferma per vedere se ho capito cosa intende il libro quando mi dimostra una data formula.
Voi confermatemi se é giusto quello che dico, se é giusto vuol dire che ho capito.
In qualsiasi moto accelerato la rappresentazione su un piano cartesiano ( y = acc. x = tempo ) porta alla delimitazione di una data area che corrisponde a quella del medesimo moto ma con y = velocità e x = tempo.
Qualora si tratti di un moto uniformemente accelerato ciò permette di dedurre la famosa formula.
1) spazio percorso \(\displaystyle velocità media * t \) ma con acc. costante vmedia corrisponde esattamente a 1/2 della velocità finale.
pertanto si ha \(\displaystyle s= 1/2 v * t. \)
Ma sappiamo anche che \(\displaystyle velocità finale = a * t \) e dunque \(\displaystyle s= 1/2 a * t * t \)
da cui le due formule \(\displaystyle s = 1/2 v * t \) e \(\displaystyle s = 1/2 a *t^2 \)
é per vedere se ho capito la dimostrazione, il punto é la parte grassettata all'inizio.
Risposte
In un moto qualsiasi : $ ds = v*dt$
Nel moto uniformemente accelerato, l'accelerazione $a = (dv)/(dt)$ è costante : $a = v/t$, quindi la velocità è: $v = at$, e cresce linearmente col tempo.
Perciò sostituendo nella precedente :$ ds = v*dt = at*dt$.
Questa relazione va integrata da $0$ a $T$ , dove $T$ rappresenta l'istante finale del moto, per ottenere lo spazio percorso in questo intervallo di tempo con moto uniformemente accelerato : $ S = 1/2*a*T^2$
In un diagramma cartesiano dove sulle ascisse è riportato il tempo e sulle ordinate lo spazio percorso, la curva che rappresenta questa funzione è un arco di parabola.
Forse c'è un po' di confusione in quello che hai scritto, e non penso sia il modo più corretto per dimostrare la formula.
Complimenti per il tuo Italiano, penso tu sia uno studente straniero che studia Medicina in Italia! Dico bene?
Nel moto uniformemente accelerato, l'accelerazione $a = (dv)/(dt)$ è costante : $a = v/t$, quindi la velocità è: $v = at$, e cresce linearmente col tempo.
Perciò sostituendo nella precedente :$ ds = v*dt = at*dt$.
Questa relazione va integrata da $0$ a $T$ , dove $T$ rappresenta l'istante finale del moto, per ottenere lo spazio percorso in questo intervallo di tempo con moto uniformemente accelerato : $ S = 1/2*a*T^2$
In un diagramma cartesiano dove sulle ascisse è riportato il tempo e sulle ordinate lo spazio percorso, la curva che rappresenta questa funzione è un arco di parabola.
Forse c'è un po' di confusione in quello che hai scritto, e non penso sia il modo più corretto per dimostrare la formula.
Complimenti per il tuo Italiano, penso tu sia uno studente straniero che studia Medicina in Italia! Dico bene?
"Cris90":
In qualsiasi moto accelerato la rappresentazione su un piano cartesiano ( y = acc. x = tempo ) porta alla delimitazione di una data area che corrisponde a quella del medesimo moto ma con y = velocità e x = tempo.
Qualora si tratti di un moto uniformemente accelerato ciò permette di dedurre la famosa formula.
In effetti questa e' la descrizione a parole del legame (matematico) tra accelerazione e velocita': la velocita' e' l'integrale dell'accelerazione (cioe' si dice "e' una sua primitiva"). Se sei uno studente di medicina (come dice navigatore) potresti non conoscere (o non conoscere abbastanza bene) l'operazione matematica dell'integrazione.
Ti basta sapere che l'integrale definito di una data funzione tra due estremi assegnati e' uguale all'area della superficie delimitata dall'asse delle ascisse, il grafico della funzione, e le due rette verticali la cui ascissa e' uguale all'ascissa dei due estremi. Per capire meglio guarda la figura in questa pagina (la pagina in italiano e' buona, ma non ha figure...).
Per cui hai questa definizione un po' barocca del tuo libro ("la rappresentazione sul piano cartesiano etc.").
Per completare il collegamento tieni conto che puoi usare l'integrale per calcolare le velocita' medie (percio' puoi vedere dove va a finire l'integrale nel procedimento che hai riportato tu qui sotto).
1) spazio percorso \(\displaystyle velocità media * t \) ma con acc. costante vmedia corrisponde esattamente a 1/2 della velocità finale.
pertanto si ha \(\displaystyle s= 1/2 v * t. \)
Ma sappiamo anche che \(\displaystyle velocità finale = a * t \) e dunque \(\displaystyle s= 1/2 a * t * t \)
da cui le due formule \(\displaystyle s = 1/2 v * t \) e \(\displaystyle s = 1/2 a *t^2 \)
Questo procedimento e' il tentativo di risolvere il problema dell'integrazione senza fare integrali in un caso particolare con dei semplici passaggi algebrici. Devo dire che anche se "funziona" non mi piace un granche', perche' secondo me conviene imparare a fare l'integrale, che "funziona" anche nel caso generale, piuttosto che questo lavorio algebrico (che perde completamente il legame con la fisica del problema - che e' il problema maggiore di questo tipo di approcci).
Pero' se e' per un testo di fisica per studenti di medicina posso capire -pur non condividendo - il motivo per cui si percorre questa strada contorta.
Comunque se ti capita, dai almeno un occhio alle pagine di wikipedia relative all'integrale, almeno la prima parte di quella in italiano sembra abbastanza accessibile per chiunque.
Ciò che dice Yoshiharu è giustissimo.
Comunque Cris, per semplificare e venire incontro alla tua domanda, nel semplice caso in esame si può anche ricorrere a diagrammi cartesiani e aree, nel modo seguente.
Traccia due assi cartesiani $Oxy$, e riporta sulle ascisse i tempi, sulle ordinate le velocità. Nel moto uniformemente accelerato si ha : $v=at$. Questa equazione nel diagramma detto è rappresentata da una retta passante per l'origine, di coefficiente angolare uguale ad $a$. (Spero tu capisca di che cosa parlo). Quindi la velocità aumenta linearmente col tempo.
Sia $T$ l'istante finale del moto. Ad esso corrisponde, sulla retta detta, l'ordinata: $V = aT$.
(Di qui in poi, chiedo scusa ai matematici e fisici, devo semplificare per Cris) .
In un punto qualunque $t$ del segmento (O,T) considera un piccolissimo intervallo di tempo $dt$ : il rettangolino avente per lati $dt$ e $v(t)$ ha un'area che, per definizione, non è altro che : $ds = v*dt$, cioè lo spazio elementare percorso nel tempo $dt$ con la velocità in quell'istante.
Allora, è chiaro che tutta l'area del triangolo rettangolo OTV rappresenta tutta la distanza percorsa dal punto mobile nel moto uniformemente accelerato dall'istante $0$ all'istante $T$.
L'area di un triangolo rettangolo è data dal prodotto dei cateti diviso 2. Perciò lo spazio totale vale :
$S = 1/2*T*V = 1/2*T*aT = 1/2*a*T^2$
che è la famosa formuletta, ricavata nel caso in esame come vuole il tuo libro.
Comunque Cris, per semplificare e venire incontro alla tua domanda, nel semplice caso in esame si può anche ricorrere a diagrammi cartesiani e aree, nel modo seguente.
Traccia due assi cartesiani $Oxy$, e riporta sulle ascisse i tempi, sulle ordinate le velocità. Nel moto uniformemente accelerato si ha : $v=at$. Questa equazione nel diagramma detto è rappresentata da una retta passante per l'origine, di coefficiente angolare uguale ad $a$. (Spero tu capisca di che cosa parlo). Quindi la velocità aumenta linearmente col tempo.
Sia $T$ l'istante finale del moto. Ad esso corrisponde, sulla retta detta, l'ordinata: $V = aT$.
(Di qui in poi, chiedo scusa ai matematici e fisici, devo semplificare per Cris) .
In un punto qualunque $t$ del segmento (O,T) considera un piccolissimo intervallo di tempo $dt$ : il rettangolino avente per lati $dt$ e $v(t)$ ha un'area che, per definizione, non è altro che : $ds = v*dt$, cioè lo spazio elementare percorso nel tempo $dt$ con la velocità in quell'istante.
Allora, è chiaro che tutta l'area del triangolo rettangolo OTV rappresenta tutta la distanza percorsa dal punto mobile nel moto uniformemente accelerato dall'istante $0$ all'istante $T$.
L'area di un triangolo rettangolo è data dal prodotto dei cateti diviso 2. Perciò lo spazio totale vale :
$S = 1/2*T*V = 1/2*T*aT = 1/2*a*T^2$
che è la famosa formuletta, ricavata nel caso in esame come vuole il tuo libro.
ringrazio yoshiharu per avermi detto che sommariamente va bene, il grafico che disegnava il libro portava ad un ragionamento analogo a quello proposto da navigator.
Purtroppo di integrali non ci capisco nulla ed essendo la preparazione per medicina non mi sembra il caso di andarli a studiare visto che probabilmente non li userò mai. Però grazie mi serviva che mi riconfortavate sulla giustezza del mio ragionamento, é un pò astruso ma basta che é giusto
Purtroppo di integrali non ci capisco nulla ed essendo la preparazione per medicina non mi sembra il caso di andarli a studiare visto che probabilmente non li userò mai. Però grazie mi serviva che mi riconfortavate sulla giustezza del mio ragionamento, é un pò astruso ma basta che é giusto
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