Dimostrazione criterio di Dirichlet

[Alxxx28]

Ciao ragazzi, sto cercando di capire il criterio in oggetto, ma sto trovando difficoltà.

Partiamo dal supporre che $\bar P$ sia un massimo per il potenziale U

Allora risulta $U(\bar P)>U(P)$ se $P \in I_\delta(\bar P)-\bar P $

Sfruttando la continuità del potenziale U,

$AA \epsilon_0>0$, $EE \delta_0 $ tale che $|P(t)-\bar P|<\delta_0$ implica $|U-U(\bar P)|<\epsilon_0$

posso scrivere $|U_0-U(\bar P)|<\epsilon_0$ dove $U_0=U(0)$

Se i vincoli cui è soggetto il sistema sono lisci e fissi allora posso sfruttare anche la
conservazione dell'energia meccanica.
Quindi

$T(t)+U(\bar P)-U(t)=T_0+U(\bar P)-U_0$ dove con $T$ indico l'energia cinetica
Sempre dalle ipotesi $T_0<\epsilon_0$, di conseguenza $T(t)+U(\bar P)-U(t)<2 \epsilon_0$

Fin qui nessun problema, poi a un certo punto si pone $\epsilon= min{2\epsilon_0 , \mu}$
dove $\mu=min(U(\bar P) -U(P))$. Comunque la tesi è $T < \epsilon$
Qualcuno può aiutarmi a capire quest'ultima parte?
Grazie in anticipo!!

[Alxxx28]

Nel testo di riferimento consigliato dalla prof.ssa (Lezioni di meccanica razionale - Rionero) è fatta
in modo leggermente diverso la dimostrazione, ma anche da lì non riesco a comprendere.