Dimostrazione campo magnetico generato da un filo

[qwerty901]

Salve a tutti! Vorrei ripercorrere con voi la dimostrazione (senza teorema di Ampere) per ricavare la formula del campo magnetico generato da un filo rettilineo definito percorso da corrente.




Dalla seconda immagine, non riesco a capire perchè il vettore $vecB$ è orientato in quel modo.
Dalla prima legge elementare di Laplace:
$dB =frac{mu_0}{4pi} * frac{i*ds*sentheta}{r^2}$

$R = r*sen(pi - theta) = r*sentheta$
da cui
$r= R/(sentheta)$
quindi
$1/r^2 = (sen^2theta) / R^2$

$s = r*cos(pi-theta)$
da cui
$r= frac{s}{cos(pi-theta)}$
$R = r*sen(pi - theta)= frac{s*sen(pi-theta)}{cos(pi - theta)}= s*tg(pi - theta) = -s*tg(theta)$
$s=frac{-R}{tg(theta)}= - R*cotg(theta)$
$ds = frac{R*d(theta)}{sen^2theta}$
quindi
$dB = frac{mu_0}{4pi}* frac{iR}{sen^2(theta)}*frac{d(theta)*sen(theta)*sen^2(theta)}{R^2}$
semplificando
$dB= frac{mu_0}{4pi}* frac{i*sen(theta) * d(theta)}{R}
Adesso devo integrare per metà triangolo in $d(theta)$(poi alla fine moltiplico per 2). Ma non capisco bene l'intervallo di integrazine da considerare.

integrando per metà triangolo:
$B=frac{mu_0 * i}{4pi*R} *int_(pi/2)^((theta)^*) sen(theta)*d(theta)$
uno degli estremi di integrazione è $theta$ con l'asterisco.
In ogni caso non ho capito perché questi estremi di integrazione.

Calcolando l'integrale:
$B = 2B_1 = -frac{mu_0 * i}{2pi*R} * cos(theta)^* $

$cos(theta)^* = cos(pi - theta_1) = - cos(theta_1)$
$s= r*cos(theta_1)$
$cos(theta_1) = s/r = frac{s}{sqrt(R^2 + s^2)}

$B = -frac{mu_0 * i}{2pi*R} * frac{s}{sqrt(R^2 + s^2)}$
fine.

In poche parole non mi è chiaro perchè il campo magnetico è orientato in quel modo e gli estremi di integrazione.
Ringrazio tutti coloro che me lo spiegheranno.
Ciao

[qwerty901]

up..
Ho capito gli estremi di integrazione ma perchè B è orientato in quel modo?Ah forse dal prodotto vettoriale nella prima legge elementare di laplace?

[Maurizio Zani]

Esatto