Dimostrare che una forza è conservativa
allora... sapendo che una forza è conservativa quando il lavoro dipende solo dalla pos. finale e iniziale, una volta che ho dimostrato che la forza peso compie un lavoro
$-mg(y_(f)-y_(i))$
ho praticamente anche dimostrato che è conservativa, giusto?
Questo vale anche per la forza elastica... ?
$-mg(y_(f)-y_(i))$
ho praticamente anche dimostrato che è conservativa, giusto?
Questo vale anche per la forza elastica... ?
Risposte
No, in effetti ha dimostrato solo che la forza peso compie lavoro, cosa ovvia, ogni forza può compiere lavoro.
Quello che devi fare è scrivere il rotore della forza peso e vedere se si annulla.
Quello che devi fare è scrivere il rotore della forza peso e vedere se si annulla.
Per dire che una forza è conservativa devi dimostrare che il lavoro su un qualsiasi cammino chiuso è nullo. Tu hai dimostrato che il lavoro su un cammino chiuso verticale è nullo.
Per dimostrare che una forza è conservativa, secondo me, è meglio non dimostrare che il lavoro è nullo su ogni cammino chiuso, ma analizzare la forma della forza. Come dice Biggest condizione necessaria e sufficiente affinchè una forza sia conservativa è che il suo rotore sia nullo, ma in questo caso credo sia più semplice dimostrare che la forza è esprimibile mediante un potenziale:
$F=-mg$ ==> $V=-\int_0^ymgdy=mgy$
Quindi è possibile trovare un potenziale e la forza è conservativa.
Per dimostrare che una forza è conservativa, secondo me, è meglio non dimostrare che il lavoro è nullo su ogni cammino chiuso, ma analizzare la forma della forza. Come dice Biggest condizione necessaria e sufficiente affinchè una forza sia conservativa è che il suo rotore sia nullo, ma in questo caso credo sia più semplice dimostrare che la forza è esprimibile mediante un potenziale:
$F=-mg$ ==> $V=-\int_0^ymgdy=mgy$
Quindi è possibile trovare un potenziale e la forza è conservativa.
"lucagalbu":
Per dire che una forza è conservativa devi dimostrare che il lavoro su un qualsiasi cammino chiuso è nullo. Tu hai dimostrato che il lavoro su un cammino chiuso verticale è nullo.
Per dimostrare che una forza è conservativa, secondo me, è meglio non dimostrare che il lavoro è nullo su ogni cammino chiuso, ma analizzare la forma della forza. Come dice Biggest condizione necessaria e sufficiente affinchè una forza sia conservativa è che il suo rotore sia nullo, ma in questo caso credo sia più semplice dimostrare che la forza è esprimibile mediante un potenziale:
$F=-mg$ ==> $V=-\int_0^ymgdy=mgy$
Quindi è possibile trovare un potenziale e la forza è conservativa.
quindi non posso dimostrarlo semplicemente facendo tale integrale?
$L_ab=-\int_((c)_a)^b-mgdy$?
Sì, sì.. puoi farlo anche così, basta che come c prendi una generica curva.
Ma tu hai già studiato gli integrali su curve e superfici e le forme differenziali? Perchè, ad esempio, nella mia facoltà le forze conservative le fai al primo anno, mentre gli integrali curvilinei li fai al secondo anno. E' per questo che ti dicevo di cercare il potenziale, perchè al primo anno non saresti in grado di risolvere quell'integrale su una generica curva chiusa.
Ma tu hai già studiato gli integrali su curve e superfici e le forme differenziali? Perchè, ad esempio, nella mia facoltà le forze conservative le fai al primo anno, mentre gli integrali curvilinei li fai al secondo anno. E' per questo che ti dicevo di cercare il potenziale, perchè al primo anno non saresti in grado di risolvere quell'integrale su una generica curva chiusa.
In effetti, non so fare entrambe le cose! XD
La professoressa ha mostrato solo che il lavoro della forza peso è uguale a quanto detto, dicendo che è una forza conservativa. Il libro fa un esempio che non è una vera e propria dimostrazione...
Vabbe', penso che come al solito sto andando aldilà di ciò che dovrei sapere!
La professoressa ha mostrato solo che il lavoro della forza peso è uguale a quanto detto, dicendo che è una forza conservativa. Il libro fa un esempio che non è una vera e propria dimostrazione...
Vabbe', penso che come al solito sto andando aldilà di ciò che dovrei sapere!
Aspetta, aspetta... ho fatto confusione io, scusami 
Volevo fare un tipo di discorso, ma ho sbagliato a impostare la risposta eheh.
Dunque... reset... ripartendo da capo, la risposta alla tua domanda originale è: sì, quella formula è sufficiente per dire che la forza è conservativa, perchè dimostra che il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziali e finali.
Se però vogliamo essere precisi precisi e mettere i puntini sulle i, allora bisogna fare questo discorso (se quello che segue ti manda in confusione, lascia perdere, sono solo piccoli dettagli):
se tu dimostri che il lavoro dipende solo dalla pos. finale e iniziale, allora puoi dire che la forza è conservativa. Il problema è come tu hai ricavato quella formula per il lavoro. Cioè, sei sicuro che quella formula vale per ogni percorso? Che non ci siano percorsi particolari per i quali il lavoro dipende dal percorso oltre che dalle posizioni iniziali e finali?
Di solito al liceo (almeno, io l'avevo vista così) si sceglie un percorso particolare e si trova che il lavoro è
$L=-mg(y_b-y_a)$
però quello è il lavoro compiuto su quel particolare percorso, e non su un percorso generico! Di solito il percorso che viene scelto è fatto da tratti orizzontali e tratti verticali, si dimostra poi che sui tratti orizzontali il lavoro è nullo e quindi l'unico contributo è dato dai tratti verticali. Ma se il percorso del mio corpo è una circonferenza? O una parabola?
Se la vostra prof ha ricavato la formula del lavoro per un generico percorso (comprese quindi anche circonferenze, parabole, iperboli....) allora puoi dire che il lavoro della forza peso su una generica curva chiusa è nullo (il che equivale a dire che il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale e non dal percorso) e quindi la forza è conservativa. Ma se la formula è stata ricavata a partire da un percorso "squadrato" fatto da tratti verticali e orizzontali, allora non pui dire che la forza è conservativa, ma solo che il lavoro su un percorso chiuso "squadrato" è nullo; ma non sai dire niente sul lavoro fatto su un altro tipo di percorso chiuso che non sia squadrato.
Capito cosa intendo?
Comunque guarda, anch'io al liceo "andavo sempre aldilà di ciò che dovevo sapere"
Per questo provo a farti vedere come si dimostra che la formula che hai trovato vale non solo per un percorso squadrato, ma per una qualsiasi curva $gamma$:
In generale una forza sarà un vettore $\vecF=(F_x, F_y, F_z)$ però la forza peso gode di due proprietà:
1) ha solo la componente verticale $F_y$ e le altre due sono nulle, quindi abbiamo: $\vecF=(0,F_y,0)$
2) in generale hai che la forza dipende dalle tre variabili spaziali, invece la forza peso è costante: $F_y(x,y,z)=-mg=cost$.
Ora, il lavoro di una forza generica è definito come $L=\int_\gamma \vecF*d\vecx$ dove $\gamma$ è la curva lungo la quale si muove il corpo e $d\vecx$ è il vettore $(dx,dy,dz)$.
La forza peso ha solo la componente verticale y, quindi il prodotto scalare sotto l'integrale diventa $\vecF*d\vecx=F_ydy$ e il lavoro è:
$L=\int_\gamma F_ydy$ (attento che questo è un integrale di linea, non è un semplice integrale)
La seconda proprietà della forza peso è che è costante, questo fa sì che l'integrale di linea si trasformi in un normale integrale (in realtà basta che la forza non dipenda da x o z):
$L=\int_{y_a}^{y_b}F_ydy$
dove $y_b$ è la quota di partenza del punto, e $y_a$ la quota di arrivo.
Così ottieni che il lavoro della forza su una curva generica è (sostituendo l'espressione per $F_y$ e integrando):
$L=-mg(y_b-y_a)$
e adesso puoi concludere che la forza è conservativa perchè questa formula mostra il lavoro compiuto su una generica traiettoria $\gamma$ del corpo e si vede che se la traiettoria è chiusa, il lavoro è nullo.
Volevo fare un tipo di discorso, ma ho sbagliato a impostare la risposta eheh.
Dunque... reset... ripartendo da capo, la risposta alla tua domanda originale è: sì, quella formula è sufficiente per dire che la forza è conservativa, perchè dimostra che il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziali e finali.
Se però vogliamo essere precisi precisi e mettere i puntini sulle i, allora bisogna fare questo discorso (se quello che segue ti manda in confusione, lascia perdere, sono solo piccoli dettagli):
se tu dimostri che il lavoro dipende solo dalla pos. finale e iniziale, allora puoi dire che la forza è conservativa. Il problema è come tu hai ricavato quella formula per il lavoro. Cioè, sei sicuro che quella formula vale per ogni percorso? Che non ci siano percorsi particolari per i quali il lavoro dipende dal percorso oltre che dalle posizioni iniziali e finali?
Di solito al liceo (almeno, io l'avevo vista così) si sceglie un percorso particolare e si trova che il lavoro è
$L=-mg(y_b-y_a)$
però quello è il lavoro compiuto su quel particolare percorso, e non su un percorso generico! Di solito il percorso che viene scelto è fatto da tratti orizzontali e tratti verticali, si dimostra poi che sui tratti orizzontali il lavoro è nullo e quindi l'unico contributo è dato dai tratti verticali. Ma se il percorso del mio corpo è una circonferenza? O una parabola?
Se la vostra prof ha ricavato la formula del lavoro per un generico percorso (comprese quindi anche circonferenze, parabole, iperboli....) allora puoi dire che il lavoro della forza peso su una generica curva chiusa è nullo (il che equivale a dire che il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale e non dal percorso) e quindi la forza è conservativa. Ma se la formula è stata ricavata a partire da un percorso "squadrato" fatto da tratti verticali e orizzontali, allora non pui dire che la forza è conservativa, ma solo che il lavoro su un percorso chiuso "squadrato" è nullo; ma non sai dire niente sul lavoro fatto su un altro tipo di percorso chiuso che non sia squadrato.
Capito cosa intendo?
Comunque guarda, anch'io al liceo "andavo sempre aldilà di ciò che dovevo sapere"
Per questo provo a farti vedere come si dimostra che la formula che hai trovato vale non solo per un percorso squadrato, ma per una qualsiasi curva $gamma$:In generale una forza sarà un vettore $\vecF=(F_x, F_y, F_z)$ però la forza peso gode di due proprietà:
1) ha solo la componente verticale $F_y$ e le altre due sono nulle, quindi abbiamo: $\vecF=(0,F_y,0)$
2) in generale hai che la forza dipende dalle tre variabili spaziali, invece la forza peso è costante: $F_y(x,y,z)=-mg=cost$.
Ora, il lavoro di una forza generica è definito come $L=\int_\gamma \vecF*d\vecx$ dove $\gamma$ è la curva lungo la quale si muove il corpo e $d\vecx$ è il vettore $(dx,dy,dz)$.
La forza peso ha solo la componente verticale y, quindi il prodotto scalare sotto l'integrale diventa $\vecF*d\vecx=F_ydy$ e il lavoro è:
$L=\int_\gamma F_ydy$ (attento che questo è un integrale di linea, non è un semplice integrale)
La seconda proprietà della forza peso è che è costante, questo fa sì che l'integrale di linea si trasformi in un normale integrale (in realtà basta che la forza non dipenda da x o z):
$L=\int_{y_a}^{y_b}F_ydy$
dove $y_b$ è la quota di partenza del punto, e $y_a$ la quota di arrivo.
Così ottieni che il lavoro della forza su una curva generica è (sostituendo l'espressione per $F_y$ e integrando):
$L=-mg(y_b-y_a)$
e adesso puoi concludere che la forza è conservativa perchè questa formula mostra il lavoro compiuto su una generica traiettoria $\gamma$ del corpo e si vede che se la traiettoria è chiusa, il lavoro è nullo.
è chiarissimo, grazie... gentilissimo!
Figurati
Vale anche per la forza elastica... come nel caso della forza peso, hai due possibilità: 1) vedi se esiste un potenziale 2) vedi se il lavoro lungo qualsiasi curva chiusa è nullo.
1) Il potenziale V è tale che $F(x)=-kx=-\frac{dV}{dx}$. Dato che F è integrabile trovi che il potenziale esiste ed è: $V=\frac{1}{2}kx^2$
2) Il lavoro è $L=\int_\gamma \vecF*d\vecx$. Dato che $\vecF=(-kx,0,0)$ si ha: $L=\int_\gammaF_xdx=\int_\gamma-kxdx$
Come nel caso della forza peso, la forza dipende solo dalla variabile x quindi l'integrale sulla curva si riduce ad un normale integrale i cui estremi di integrazione sono le ascisse degli estremi della curva:
$L=\int_{x_0}^{x_1}-kxdx=-k(x_1^2-x_0^2)$
Come si vede il lavoro dipende solo dagli estremi della traiettoria ma non dalla forma traiettoria e in particolare il lavoro lungo una curva chiusa $(x_1=x_0)$ è nullo. Guarda caso si è anche trovato che il lavoro è uguale a $-\DeltaV=-\(V(x_1)-V(x_0))$, come c'era da aspettarsi, visto che se esiste un potenziale, il lavoro è uguale all'opposto della variazione del potenziale agli estremi.
"Nausicaa91":
allora... sapendo che una forza è conservativa quando il lavoro dipende solo dalla pos. finale e iniziale, una volta che ho dimostrato che la forza peso compie un lavoro
$-mg(y_(f)-y_(i))$
ho praticamente anche dimostrato che è conservativa, giusto?
Questo vale anche per la forza elastica... ?
Vale anche per la forza elastica... come nel caso della forza peso, hai due possibilità: 1) vedi se esiste un potenziale 2) vedi se il lavoro lungo qualsiasi curva chiusa è nullo.
1) Il potenziale V è tale che $F(x)=-kx=-\frac{dV}{dx}$. Dato che F è integrabile trovi che il potenziale esiste ed è: $V=\frac{1}{2}kx^2$
2) Il lavoro è $L=\int_\gamma \vecF*d\vecx$. Dato che $\vecF=(-kx,0,0)$ si ha: $L=\int_\gammaF_xdx=\int_\gamma-kxdx$
Come nel caso della forza peso, la forza dipende solo dalla variabile x quindi l'integrale sulla curva si riduce ad un normale integrale i cui estremi di integrazione sono le ascisse degli estremi della curva:
$L=\int_{x_0}^{x_1}-kxdx=-k(x_1^2-x_0^2)$
Come si vede il lavoro dipende solo dagli estremi della traiettoria ma non dalla forma traiettoria e in particolare il lavoro lungo una curva chiusa $(x_1=x_0)$ è nullo. Guarda caso si è anche trovato che il lavoro è uguale a $-\DeltaV=-\(V(x_1)-V(x_0))$, come c'era da aspettarsi, visto che se esiste un potenziale, il lavoro è uguale all'opposto della variazione del potenziale agli estremi.
ho capito!
Ho un ultimo dubbio... per dimostrare che la forza gravitazionale è conservativa, il libro svolge questo prodotto scalare
$vecr*del(vecs)=delr$
dove r è il versore della direzione radiale... ma perché lo pone uguale a $delr$?
Ho un ultimo dubbio... per dimostrare che la forza gravitazionale è conservativa, il libro svolge questo prodotto scalare
$vecr*del(vecs)=delr$
dove r è il versore della direzione radiale... ma perché lo pone uguale a $delr$?
Uhm... in questo caso intendi la forza gravitazionale vera e propria e non il peso, giusto? Cioè, intendi F=GmM/r^2 ?
Nella formula che hai scritto, cos'è s? Riusciresti a postare qualche riga di dimostrazione in più? Perchè non riesco a capire da dove salta fuori quella formula...
Nella formula che hai scritto, cos'è s? Riusciresti a postare qualche riga di dimostrazione in più? Perchè non riesco a capire da dove salta fuori quella formula...
$L_ab=\int_((c)_a)^b-(vecr Gm_1m_2)/(r^2)*del(vecs)$
$L_ab=-( G*m_1m_2)\int_((c)_a)^b1/r^2*vecr* del(vecs)$
da qui quel prodotto scalare... scusa se non l'ho fatto prima, avrei dovuto essere più chiara, grazie per la disponibilità.
$L_ab=-( G*m_1m_2)\int_((c)_a)^b1/r^2*vecr* del(vecs)$
da qui quel prodotto scalare... scusa se non l'ho fatto prima, avrei dovuto essere più chiara, grazie per la disponibilità.
La tua forza F in coordinate sferiche diventa: $\vecF=(F_r,F_\theta,F_\phi)=(F_r,0,0)$
Il lavoro è definito come il vettore forza moltiplicato per lo spostamento infinitesimo $d\vecs=(dr,d\theta,\dphi)$.
In notazione vettoriale il prodotto scalare diventa:
$vecF*d\vecs=(F_r,0,0)*(dr,d\theta,d\phi)=F_rdr$
La scrittura $\vecr\*d\vecs=\dr$ deriva dal fatto che in coordinate sferiche un generico vettore lo puoi scrivere come:
$\vecv=(v_r,v_\theta,v_\phi)=v_r\hatr+v_\theta\hat\theta+v_\phi\hat\phi$ dove $\hatr,\hat\theta,\hat\phi$ sono i versori che puntano nelle direzioni radiale, polare e azimutale.
Ne caso della forza gravitazionale:
$\vecF=(F_r,0,0)=F_r\hatr$ e quindi $\vecF*d\vecs=F_r\hatr*d\vecs=F_rdr$ (è più giusto scrivere $\hatr$ e non $\vecr$, per indicare che r è un versore).
Non so però perchè il libro scriva $\partial\vecs$ al posto di $d\vecs$, credo che sia qualche sottigliezza matematica
Il lavoro è definito come il vettore forza moltiplicato per lo spostamento infinitesimo $d\vecs=(dr,d\theta,\dphi)$.
In notazione vettoriale il prodotto scalare diventa:
$vecF*d\vecs=(F_r,0,0)*(dr,d\theta,d\phi)=F_rdr$
La scrittura $\vecr\*d\vecs=\dr$ deriva dal fatto che in coordinate sferiche un generico vettore lo puoi scrivere come:
$\vecv=(v_r,v_\theta,v_\phi)=v_r\hatr+v_\theta\hat\theta+v_\phi\hat\phi$ dove $\hatr,\hat\theta,\hat\phi$ sono i versori che puntano nelle direzioni radiale, polare e azimutale.
Ne caso della forza gravitazionale:
$\vecF=(F_r,0,0)=F_r\hatr$ e quindi $\vecF*d\vecs=F_r\hatr*d\vecs=F_rdr$ (è più giusto scrivere $\hatr$ e non $\vecr$, per indicare che r è un versore).
Non so però perchè il libro scriva $\partial\vecs$ al posto di $d\vecs$, credo che sia qualche sottigliezza matematica
Sì, ho capito. Anche se quelle coordinate mi spaventano, perché non le ho mai usate! Ma ho capito il concetto
Forse però il mio libro, siccome pone $vecr*d(vecs)=ds*cosalfa=dr$ dove alfa è l'angolo compreso tra lo spostamento e il versore, non c'è un modo più semplice di spiegarlo, caso mai me lo chiedesse? Ho capito ciò che hai scritto in coordinate, ma sono cose che lei non ha neanche citato, che conserverò per me perché mi rendono chiaro il concetto, ma che forse non posso esporre...
Forse però il mio libro, siccome pone $vecr*d(vecs)=ds*cosalfa=dr$ dove alfa è l'angolo compreso tra lo spostamento e il versore, non c'è un modo più semplice di spiegarlo, caso mai me lo chiedesse? Ho capito ciò che hai scritto in coordinate, ma sono cose che lei non ha neanche citato, che conserverò per me perché mi rendono chiaro il concetto, ma che forse non posso esporre...
Sissi... c'è un altro metodo. Quello che ti ho fatto è l'approccio vettoriale, altrimenti c'è l'approccio geometrico. Tutto si basa sul fatto che il prodotto scalare lo puoi vedere in due modi:
$\vecV*\vecW=V_xW_x+V_yW_y+V_zW_z$ (approccio vettoriale)
oppure:
$\vecV*\vecW=|V|*|W|*cos\alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo formato dai due vettori (approccio geometrico)
Ora, tu devi fare $\vecr*d\vecs=|r||ds|cos\alpha=|d\vecs|cos\alpha$
ma $|\dvecs|cos\alpha$ ti dà la proiezione di $d\vecs$ lungo la direzione indicata dal versore $\vecr$, quindi è la componente radiale di $d\vecs$ che il libro chiama dr.
Ho provato a farti un disegno per spiegarti perchè $|d\vecs|cos\alpha$ è la proiezione di ds lungo la direzione data da $\vecr$... non è venuto molto bene (tra l'altro non so perchè, ma è gigante), prova a vedere se ci capisci qualcosa
http://img227.imageshack.us/i/imgxfa.jpg/
$\vecV*\vecW=V_xW_x+V_yW_y+V_zW_z$ (approccio vettoriale)
oppure:
$\vecV*\vecW=|V|*|W|*cos\alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo formato dai due vettori (approccio geometrico)
Ora, tu devi fare $\vecr*d\vecs=|r||ds|cos\alpha=|d\vecs|cos\alpha$
ma $|\dvecs|cos\alpha$ ti dà la proiezione di $d\vecs$ lungo la direzione indicata dal versore $\vecr$, quindi è la componente radiale di $d\vecs$ che il libro chiama dr.
Ho provato a farti un disegno per spiegarti perchè $|d\vecs|cos\alpha$ è la proiezione di ds lungo la direzione data da $\vecr$... non è venuto molto bene (tra l'altro non so perchè, ma è gigante), prova a vedere se ci capisci qualcosa
http://img227.imageshack.us/i/imgxfa.jpg/
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