Dimostrare che una forza è conservativa

[Ermete22]

Ciao a tutti, sono qui per una domanda di fisica, un concetto che vorrei chiarire meglio

Mi viene data questa forza generia (indicando con ux e uy i versori degli assi)

F = a ux + b uy

E mi viene chiesto di dimostrare che è conservativa
Io ho deciso quindi di fare un po' come si fa per la forza peso e la forza elastico è ho fatto l'integrale in questo modo

$ int_(A)^(B) (a ux + buy) * ds $

$ int_(A)^(B) (a ux + buy) * (dx ux + dyuy + dzuz) $

$ int_(A)^(B) adx + bdy $

$ int_(Xa)^(Xb) adx + int_(Ya)^(Yb)bdy $

$ a(Xb-Xa)*b(Yb-Ya) $

Però c'è qualcosa che non mi convince molto
Mentre nella forza peso e nella forza elastica si otteneva che il lavoro dipendeva solo dallo spostamento lungo uno degli assi, qui invece compare sia lo spostamento lungo X che lo spostamento lungo Y

La mia ipotesi è che la forza si consideri conservativa perchè dato un punto di partenza e uno di arrivo non importa in che modo mi muovo lungo l'asse z ma il tutto dipende esclusivamente dal moto lungo x e y
Avrei dunque delle superfici equipotenziali oblique
voi che ne pensate?

[mgrau]

Se sei arrivato a $L = a(X_b-X_a)*b(Y_b-Y_a) $ hai dimostrato che il lavoro dipende solo dalle posizioni iniziali e finali (a parte che vedrei meglio un + invece che un *); cosa vuoi di più?

[Ermete22]

Non riesco a capire se effettivamente è corretto il mio modo di integrare.
Non mi è chiaro ad esempio come siano posizionate le superfici equipotenziali e mi sembra che la forza sia conservativa solo nel senso che per andare da A a B posso muovermi su Z come voglio ma non so se posso muovermi anche sul piano xy come voglio

[Ermete22]

Faccio l'esempio con la forza di attrito (non conservativa)

$ int_(A)^(B) mu N *ds $

$ mu N int_(A)^(B) dxux+dyuy+dzuz $

$ mu N * ((Xb-Xa)+(Yb-Ya)+(Zb-Za)) $

Scritta così anche la forza di attrito risulta dipendere solo dalla posizione iniziale e finale ma chiaramente è sbagliato, quindi c'è qualcosa che non va nel modo di integrare

[professorkappa]

Affinche sia consrvatva deve essere

$ (partial f_x)/(partial y)=(partial f_y)/(partial x) $, cosa che e' vera nel tuo caso: la forza e' conservativa.