Dilemma su dimostrazione equazione di Bernoulli
Ciao a tutti!
Vi scrivo perchè ho un dubbio sulla dimostrazione che il mio libero propone per l'equazione di Bernoulli, e anche cercando sul web non sono riuscita a chiarirmi molto le idee...
Supponiamo di avere un tubo con sezione variabile all'interno del quale scorre un fluido ideale, e supponiamo inoltre che il lavoro compiuto dalle forze non conservative sia trascurabile (e qui io puntualizzo: lavoro forze non conservative=$DeltaE_(mecc)$ quindi se è trascurabile $Delta E_(mecc)=0$ giusto???)
Determiniamo il lavoro compiuto in un breve intervallo di tempo $Delta t$ sul fluido che si trova inizialmente in una certa porzione di tubo delimitata dalle sezioni $A_1, A_2$ e successivamente dalle sezioni $A_1', A_2'$.
La forza esercitata sulla superficie $A_1$ dal fluido retrostante è $p_1*A_1$, il lavoro compiuto da questa forza è dato dal prodotto di forza per spostamento $W_1=p_1*A_1*v_1*Deltat$. Analogamente in $A_2$ la pressione compie un lavoro $W_2=-p_2*A_2*v_2*Deltat$.
Il lavoro totale compiuto sul fluido è dato da
$W=p_1*A_1*v_1*Deltat-p_2*A_2*v_2*Deltat$ e il lavoro della forza peso ???
In base all'equazione di continuità per un fluido incomprimibile si ha $v_1*A_1=v_2*A_2$ quindi $v_1*A_1*Deltat=v_2*A_2*Deltat=DeltaV$ è il volume compreso tra $A_1$ e $A_1'$ oppure tra $A_2$ e $A_2'$.
In definitiva $W=(p_1-p_2)*DeltaV$.
Il teorema lavoro-energia indica che questo lavoro è pari alla variazione di energia meccanica (ma non è nulla la variazione di energia meccanica visto che abbiamo trascurato le forse non conservative???).
La variazione dell'energia meccanica è
$DeltaE_(mecc)=[(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2] - [(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2].
Essendo $W=DeltaE_(mecc)$ (io veramente sapevo che $W=DeltaE_k$...)
$(p_1-p_2)*DeltaV=[(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2] - [(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2]$
dividendo per $DeltaV$ e tenendo presente che $rho=(Deltam)/(DeltaV)$ si ottiene
$p_1+rhogy_1+1/2rho(v_1)^2=p_2+rhogy_2+1/2rho(v_2)^2$
E' corretta secondo voi questa dimostrazione??
Per me nel calcolare il lavoro bisognava tenere conto anche del lavoro svolto dalla forza peso, quindi il lavoro totale sarebbe dato da lavoro della pressione e lavoro della forza peso.
Infine avrei eguagliato il lavoro alla variazione di energia cinetica, ottenendo comunque lo stesso risultato.
Qualcuno mi sa chiarire la cosa?
Grazie mille
Vi scrivo perchè ho un dubbio sulla dimostrazione che il mio libero propone per l'equazione di Bernoulli, e anche cercando sul web non sono riuscita a chiarirmi molto le idee...
Supponiamo di avere un tubo con sezione variabile all'interno del quale scorre un fluido ideale, e supponiamo inoltre che il lavoro compiuto dalle forze non conservative sia trascurabile (e qui io puntualizzo: lavoro forze non conservative=$DeltaE_(mecc)$ quindi se è trascurabile $Delta E_(mecc)=0$ giusto???)
Determiniamo il lavoro compiuto in un breve intervallo di tempo $Delta t$ sul fluido che si trova inizialmente in una certa porzione di tubo delimitata dalle sezioni $A_1, A_2$ e successivamente dalle sezioni $A_1', A_2'$.
La forza esercitata sulla superficie $A_1$ dal fluido retrostante è $p_1*A_1$, il lavoro compiuto da questa forza è dato dal prodotto di forza per spostamento $W_1=p_1*A_1*v_1*Deltat$. Analogamente in $A_2$ la pressione compie un lavoro $W_2=-p_2*A_2*v_2*Deltat$.
Il lavoro totale compiuto sul fluido è dato da
$W=p_1*A_1*v_1*Deltat-p_2*A_2*v_2*Deltat$ e il lavoro della forza peso ???
In base all'equazione di continuità per un fluido incomprimibile si ha $v_1*A_1=v_2*A_2$ quindi $v_1*A_1*Deltat=v_2*A_2*Deltat=DeltaV$ è il volume compreso tra $A_1$ e $A_1'$ oppure tra $A_2$ e $A_2'$.
In definitiva $W=(p_1-p_2)*DeltaV$.
Il teorema lavoro-energia indica che questo lavoro è pari alla variazione di energia meccanica (ma non è nulla la variazione di energia meccanica visto che abbiamo trascurato le forse non conservative???).
La variazione dell'energia meccanica è
$DeltaE_(mecc)=[(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2] - [(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2].
Essendo $W=DeltaE_(mecc)$ (io veramente sapevo che $W=DeltaE_k$...)
$(p_1-p_2)*DeltaV=[(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2] - [(Deltam)gy_2+1/2(Deltam)(v_2)^2]$
dividendo per $DeltaV$ e tenendo presente che $rho=(Deltam)/(DeltaV)$ si ottiene
$p_1+rhogy_1+1/2rho(v_1)^2=p_2+rhogy_2+1/2rho(v_2)^2$
E' corretta secondo voi questa dimostrazione??
Per me nel calcolare il lavoro bisognava tenere conto anche del lavoro svolto dalla forza peso, quindi il lavoro totale sarebbe dato da lavoro della pressione e lavoro della forza peso.
Infine avrei eguagliato il lavoro alla variazione di energia cinetica, ottenendo comunque lo stesso risultato.
Qualcuno mi sa chiarire la cosa?
Grazie mille
Risposte
Ma scusa, mi pare che la dimostrazione tenga conto della forza peso!
Faccio un altro esempio semplice tanto per capirci.
Supponiamo di avere un cubo che scivola lungo uno scivolo inclinato senza attrito, e supponiamo che oltre al proprio peso questo cubo venga spinto da una forza esterna che lo spinge in giù applicata alla faccia a monte e che venga anche spinto da una forza resistente che tenta di impedirgli di scendere applicata sulla faccia a valle. Chiamiamo $F_1$ la prima e $F_2$ la seconda. Chiamiamo amche $F_p$ la forza peso che agisce sul corpo in senso parallelo al piano inclinato (cioè la forza utile che lo muove).
Il bilancio meccanico a queto punto è:
$F_1-F_2+F_p=ma$
ovvero
$(F_1-F_2+F_p)ds=mvdv$
Integrando tra un punto iniziale un punto finale del moto si ha:
$(F_1-F_2)\Deltas+mg(h_i-h_f)=1/2m(v_f^2-v_i^2)$
$W_1+mgh_i+1/2mv_i^2=W_2+mgh_f)+1/2mv_f^2$
(i pedici i e f significano iniziale e finale e si riferiscono al punto di inizio e di fine del moto considerato)
dove $W_1$ è il lavoro totale fatto dalla forza che spinge da monte e $W_2$ è il lavoro totale fatto contro la forza resistente a valle.
Come vedi il lavoro della forza peso alla fine è stato semplicemente rappresentato come differenza di energie potenziali, ma nel bilancio c'è.
Come vedi la formula finale è uguale a quella che hai scritto tu: basta dividere questa formula per $\DeltaV=A\Deltas$ (dove A è l'area della faccia del cubo e $Deltas$ è il tratto di cui si è spostato) ed esce la formula tua.
Faccio un altro esempio semplice tanto per capirci.
Supponiamo di avere un cubo che scivola lungo uno scivolo inclinato senza attrito, e supponiamo che oltre al proprio peso questo cubo venga spinto da una forza esterna che lo spinge in giù applicata alla faccia a monte e che venga anche spinto da una forza resistente che tenta di impedirgli di scendere applicata sulla faccia a valle. Chiamiamo $F_1$ la prima e $F_2$ la seconda. Chiamiamo amche $F_p$ la forza peso che agisce sul corpo in senso parallelo al piano inclinato (cioè la forza utile che lo muove).
Il bilancio meccanico a queto punto è:
$F_1-F_2+F_p=ma$
ovvero
$(F_1-F_2+F_p)ds=mvdv$
Integrando tra un punto iniziale un punto finale del moto si ha:
$(F_1-F_2)\Deltas+mg(h_i-h_f)=1/2m(v_f^2-v_i^2)$
$W_1+mgh_i+1/2mv_i^2=W_2+mgh_f)+1/2mv_f^2$
(i pedici i e f significano iniziale e finale e si riferiscono al punto di inizio e di fine del moto considerato)
dove $W_1$ è il lavoro totale fatto dalla forza che spinge da monte e $W_2$ è il lavoro totale fatto contro la forza resistente a valle.
Come vedi il lavoro della forza peso alla fine è stato semplicemente rappresentato come differenza di energie potenziali, ma nel bilancio c'è.
Come vedi la formula finale è uguale a quella che hai scritto tu: basta dividere questa formula per $\DeltaV=A\Deltas$ (dove A è l'area della faccia del cubo e $Deltas$ è il tratto di cui si è spostato) ed esce la formula tua.
Certo, ho visto che comunque la forza peso viene considerata, anche perchè altrimenti non si sarebbe giunti allo stesso risultato.
Quello che non capisco è perchè si eguaglia la variazione di energia meccanica con il lavoro, quando la variazione di energia meccanica è uguale al solo lavoro delle forze NON conservative, che olretutto qui sono trascurate... Dovrebbe essere $Delta E_(mecc)=W_(non cons)=0$ e $W_(cons)=-DeltaU=DeltaE_k$
Quello che non capisco è perchè si eguaglia la variazione di energia meccanica con il lavoro, quando la variazione di energia meccanica è uguale al solo lavoro delle forze NON conservative, che olretutto qui sono trascurate... Dovrebbe essere $Delta E_(mecc)=W_(non cons)=0$ e $W_(cons)=-DeltaU=DeltaE_k$
"manuxy84":
Certo, ho visto che comunque la forza peso viene considerata, anche perchè altrimenti non si sarebbe giunti allo stesso risultato.
Quello che non capisco è perchè si eguaglia la variazione di energia meccanica con il lavoro, quando la variazione di energia meccanica è uguale al solo lavoro delle forze NON conservative, che olretutto qui sono trascurate... Dovrebbe essere $Delta E_(mecc)=W_(non cons)=0$ e $W_(cons)=-DeltaU=DeltaE_k$
Non so se ho capito la domanda, ma provo a chiarire quello che mi sembra sia il tuo dubbio.
La variazione di energia meccanica è uguale a zero nel caso in cui il corpo sia soggetto a sole forze conservative la cui azione viene sintetizzata nel concetto di energia potenziale, per cui la variazione di energia cinetica corrisponde alla variazione di tale energia potenziale.
In questo caso invece, pur non essendoci forze di attrito, oltre alla forza della gravità che è conservativa nel senso che per essa si può definire un potenziale, esistono anche delle forze esterne che agiscono sull'elemento di massa considerato e sulle quali non si può fare nessuna ipotesi di conservatività perché sono imposte al nostro elemento di massa dal resto del circuito idraulico nel quale può succedere di tutto: esse sono le forze alla sezione d'ingresso e alla sezione d'uscita del tubo (in sostanza la pressione per l'area della sezione). Di questo lavoro comunicato dall'esterno noi non sappiamo niente, né se sia conservativo né se non lo sia, ma la cosa non ci deve interessare perché noi siamo concentrati solo sul nostro piccolo elemento e queste forze le vediamo come dei dati di input esterni. Dunque questo lavoro fatto dall'esterno viene comunicato all'elemento di massa e quindi va considerato come qualcosa che altera l'energia meccanica, esattamente come se ci fosse dell'attrito che può essere anch'esso visto come un lavoro comunicato (o meglio assorbito in questo caso) da una forza esterna.
Era esattamente il mio dubbio, non capivo come dovevo considerare le forze esterne e perchè all'inizio mi parlava di conservaziome dell'energia meccanica se poi non si conservava!
Grazie mille
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