Dilatazione dei tempi

[Søren13]

Dovrei svolgere questo esercizio: Un astronave viaggia a $3/5c$. Quando l'orologio dell'astronave indica che è passata un'ora viene lanciato un segnale luminoso. Secondo l'osservatore sull'astronave quanto tempo dopo la partenza il segnale arriva a Terra?

Ho provato a svolgerlo in questo modo: $s_a=vt_a=3/5c *1h$, dove con $t_a$ e $s_a$ intendo il tempo e lo spazio misurati dall'astronave. Ottengo quindi che il tempo totale è dato da $1h+3/5h=8/5h$.

Secondo il professore dovrebbe venire $5/2h$. Quindi ho provato a farlo in un altro modo.
Ho lavorato dal punto di vista della terra. Quando passa un'ora per l'astronave per la Terra passano $1*5/4h=5/4h$ (gamma vale $5/4$). Inoltre lo spazio percorso dal segnale secondo la terra è $s_t=s_a* gamma=3/4c*1h$. Quindi per la terra il segnale arriva dopo $5/4+3/4=2h$. Inoltre $t_t=gamma * t_a$, quindi il tempo per l'astronave è $2*4/5=8/5h$.

Non capisco cosa sbaglio. In entrambi i modi in cui ho provato mi viene $8/5$ invece di $5/2$.

[Studente Anonimo]

Tralasciando le unità di misura e procedendo mediante le trasformazioni di Lorentz:

Passo 1

Trasformazioni di Lorentz dal sistema S' (astronave) al sistema S (Terra)

$[bart_1=1] ^^ [barx_1=0] rarr [t_1=(bart_1+v/c^2barx_1)/sqrt(1-v^2/c^2)=5/4] ^^ [x_1=(vbart_1+barx_1)/sqrt(1-v^2/c^2)=vt_1=3/4c]$

Passo 2

Trasformazioni di Lorentz dal sistema S (Terra) al sistema S' (astronave)

$[t_2=5/4+3/4=2] ^^ [x_2=0] rarr [bart_2=(t_2-v/c^2x_2)/sqrt(1-v^2/c^2)=5/2]$

[Shackle]

Riporto il diagramma di Minkowski [nota]Non sono bravo come @anonymous_0b37e9 a disegnare, anche se conosco Geogebra, ma non ne ho voglia...percio' spesso vado a mano libera.[/nota] relativo al riferimento Terra, e qualche spiegazione più fisica , anche se breve.

Con riferimento al disegnino allegato :

il punto (evento) P sull'asse $bart$ della nave (linea di universo della nave) e' l'istante di tempo-nave in cui viene emesso il segnale luminoso. Quindi:

$bart_P = 1h$ .

Il contemporaneo tempo-terra e' : $ t_P = gammabart_P = 1.25h$ . Per arrivare in $P$ la nave ha percorso, rispetto alla terra, la distanza :

$x_P = vt_P$

Il segnale luminoso torna verso terra (linea rossa) con velocità $c$ , percorrendo la distanza $x_P $ in senso inverso, mentre la nave prosegue il suo viaggio lungo la sua linea di universo, cioè sull'asse $bart$ . La luce torna a terra nell'evento $Q$ , a cui corrisponde il tempo-terra $t_Q$ . Evidentemente , il tempo-terra impiegato dalla luce a percorrere tale distanza vale :

$t_Q-t_P = x_P/c = 0.75h$

Perciò : $t_Q = t_P+(t_Q-t_P) = (1.25 +0.75)h = 2h$ ( tempo-terra ) .

L'astronauta ritiene pero' che l'evento $Q$ giaccia sulla sua linea di contemporaneità, passante per $Q$, parallela al suo asse spaziale $barx$ , che interseca l'asse temporale $bart$ nell'istante :

$bart_Q = gammat_Q = 1.25*2h = 2.5h$

L'ultima scritta non e' altro che la TL del tempo, applicata all'evento $Q$ , che ha coordinate $Q(0,t_Q)$ nel riferimento terrestre.

Vorrei anche aggiungere una considerazione , forse non condivisibile.

Il testo , nel fare la domanda :

Secondo l'osservatore sull'astronave quanto tempo dopo la partenza il segnale arriva a Terra?

è infelice. Mi sembra fatta ad arte per confondere le idee.

Per essere più chiaro , avrebbe dovuto fare, a mio parere , due domande :

1) In quale istante di tempo terrestre il segnale arriva a terra?
2) Quale tempo segna l'orologio della nave, contemporaneo all'arrivo del segnale a terra ?

Poi dicono che gli studenti non capiscono la relatività ... La chiarezza , specie nei primi problemi, è essenziale !