Difficoltà Parentesi di Poisson
Dimostrare che
{f,$M_z$}=[f n]
dove f è una funzione vettoriale delle coordinate e dell'impulso di una particella, ed n il versore dell'asse z.
Soluzione
Ogni vettore f (r,p) può essere scritto nella forma f= r $φ_1$ + p $φ_2$ + [rp] $φ_3$ dove $φ_1$ , $φ_2$ , $φ_3$ sono funzioni scalari.
La relazione considerata si verifica con un calcolo diretto per mezzo delle formule
{$f_1$$f_2$, g}=$f_1${$f_2$g} + $f_2$ { $f_1$g}
{f $q_k$}= $(delf)/(delp_k)$
{f $p_k$}= - $(delf)/(delq_k)$
e della formula dello sviluppo della Parentesi di Poisson:
{f , g}= $\sum_{k}$ ($(delf)/(delp_k)$ $(delg)/(delq_k)$ - $(delf)/(delq_k)$ $(delg)/(delp_k)$)
Questo sopraindicato è il problema. Vi ringrazio dinuovo anticipatamente e vi prego di darmi una mano.
Ciao
{f,$M_z$}=[f n]
dove f è una funzione vettoriale delle coordinate e dell'impulso di una particella, ed n il versore dell'asse z.
Soluzione
Ogni vettore f (r,p) può essere scritto nella forma f= r $φ_1$ + p $φ_2$ + [rp] $φ_3$ dove $φ_1$ , $φ_2$ , $φ_3$ sono funzioni scalari.
La relazione considerata si verifica con un calcolo diretto per mezzo delle formule
{$f_1$$f_2$, g}=$f_1${$f_2$g} + $f_2$ { $f_1$g}
{f $q_k$}= $(delf)/(delp_k)$
{f $p_k$}= - $(delf)/(delq_k)$
e della formula dello sviluppo della Parentesi di Poisson:
{f , g}= $\sum_{k}$ ($(delf)/(delp_k)$ $(delg)/(delq_k)$ - $(delf)/(delq_k)$ $(delg)/(delp_k)$)
Questo sopraindicato è il problema. Vi ringrazio dinuovo anticipatamente e vi prego di darmi una mano.
Ciao
Risposte
non ho letto bene il problema... 
però ti dico subito che nella definizione di parentesi di Poisson devi invertire la p con la q...perchè sono anticommutative
però ti dico subito che nella definizione di parentesi di Poisson devi invertire la p con la q...perchè sono anticommutative
Sinceramente non riesco a capire che cosa c'entra l'anticommutatività di p e q con il loro ordine, comunque io ho tratto la formula di definizione di parentesi di Poisson, che ho indicato nel primo post, dal libro MECCANICA Fisica teorica 1 (Lev D. Landau - Evgenij M. Lifsits).
Spero ancora nel vostro aiuto e vi auguro un buon week end.
Spero ancora nel vostro aiuto e vi auguro un buon week end.
Bisogna calcolare $[\vecf,M_z] = [\vecr\phi_1+\vecp\phi_2+\vec\r\xx\vecp\phi_3,M_z] = [\vecr\phi_1,M_z] + [\vecp\phi_2,M_z] + [\vec\r\xx\vecp\phi_3,M_z]$.
Come suggerisce il testo utilizzo $[f_1f_2,g] = f_1[f_2,g]+[f_1,g]f_2$. Ottengo:
$\vecr[\phi_1,M_z] + [\vecr,M_z]\phi_1 + \vecp[\phi_2,M_z] + [\vecp,M_z]\phi_2 + \vec\r\xx\vecp[\phi_3,M_z] + [\vec\r\xx\vecp,M_z]\phi_3$
Dal momento che nella soluzione suggerisce di utilizzare il risultato del problema precedente assumo che $\phi_1,\phi_2,\phi_3$ abbiano simmetria sferica. Allora rimane:
$[\vecr,M_z]\phi_1 + [\vecp,M_z]\phi_2 + [\vec\r\xx\vecp,M_z]\phi_3$
Riscrivo questa equazione vettoriale per componenti e tenendo conto che $(\veca\xx\vecb)_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k$:
$[q_i,xp_y-yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y-yp_x]\phi_2 + [\epsilon_{ijk}q_jp_k,xp_y-yp_x]\phi_3 =$
$[q_i,xp_y]\phi_1 - [q_i,yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y]\phi_2 - [p_i,yp_x]\phi_2 + \epsilon_{ijk}[q_jp_k,xp_y]\phi_3 - \epsilon_{ijk}[q_jp_k,yp_x]\phi_3$
Calcolo questo pezzo:
$[q_i,xp_y]\phi_1 - [q_i,yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y]\phi_2 - [p_i,yp_x]\phi_2 =$
$x[q_i,p_y]\phi_1 + [q_i,x]\phi_1p_y - y[q_i,p_x]\phi_1 - [q_i,y]\phi_1p_x + x[p_i,p_y]\phi_2 + [p_i,x]\phi_2p_y - y[p_i,p_x]\phi_2 - [p_i,y]\phi_2p_x =$
$-xphi_1\delta_{iy} + yphi_1\delta_{ix} + p_y\phi_2\delta_{ix} - p_x\phi_2\delta_{iy} = \phi_1(y\delta_{ix}-x\delta_{iy}) + \phi_2(p_y\delta_{ix} - p_x\delta_{iy})$
E poi anche l'altro:
$\phi_3\epsilon_{ijk}{[q_jp_k,xp_y] - [q_jp_k,yp_x]} = \phi_3\epsilon_{ijk}{x[q_jp_k,p_y] + [q_jp_k,x]p_y - y[q_jp_k,p_x] - [q_jp_k,y]p_x} =$
$phi_3\epsilon_{ijk}{xq_j[p_k,p_y] + x[q_j,p_y]p_k + q_j[p_k,x]p_y + [q_j,x]p_yp_k - yq_j[p_k,p_x] - y[q_j,p_x]p_k - q_j[p_k,y]p_x - [q_j,y]p_xp_k} =$
$\phi_3\epsilon_{ijk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky})$
Mettendo tutto insieme:
$[f_x,M_z] = y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xyz}(-xp_z\delta_{yy} + yp_y\delta_{zx} + yp_z\delta_{yx} - yp_x\delta_{zy}) + \phi_3\epsilon_{xzy}(-xp_y\delta_{zy} + zp_y\delta_{yx} + yp_y\delta_{zx} - zp_x\delta_{yy}) =$
$y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xyz}(-xp_z) + \phi_3\epsilon_{xzy}(- zp_x) = y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3(zp_x-xp_z)$
$[f_y,M_z] = - x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$- x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yxz}(-xp_z\delta_{xy} + xp_y\delta_{zx} + yp_z\delta_{xx} - xp_x\delta_{zy}) + \phi_3\epsilon_{yzx}(-xp_x\delta_{zy} + zp_y\delta_{xx} + yp_x\delta_{zx} - q_jp_x\delta_{xy}) =$
$- x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yxz}yp_z + \phi_3\epsilon_{yzx}zp_y = - x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3(zp_y - yp_z)
$[f_z,M_z] = \phi_3\epsilon_{zjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$\phi_3\epsilon_{zxy}(-xp_y\delta_{xy} + xp_y\delta_{yx} + yp_y\delta_{xx} - xp_x\delta_{yy}) + \phi_3\epsilon_{zyx}(-xp_x\delta_{yy} + yp_y\delta_{xx} + yp_x\delta_{yx} - yp_x\delta_{xy}) =$
$\phi_3\epsilon_{zxy}(yp_y - xp_x) + \phi_3\epsilon_{zyx}(-xp_x + yp_y) = \phi_3(yp_y - xp_x) - \phi_3(-xp_x + yp_y) = 0$
Queste sono proprio le componenti di $\vec{f}\xx\hatn$, dove $\hatn$ è il versore dell'asse $z$.
Finalmente è finita... E' un miracolo che sia venuto il risultato.
Come suggerisce il testo utilizzo $[f_1f_2,g] = f_1[f_2,g]+[f_1,g]f_2$. Ottengo:
$\vecr[\phi_1,M_z] + [\vecr,M_z]\phi_1 + \vecp[\phi_2,M_z] + [\vecp,M_z]\phi_2 + \vec\r\xx\vecp[\phi_3,M_z] + [\vec\r\xx\vecp,M_z]\phi_3$
Dal momento che nella soluzione suggerisce di utilizzare il risultato del problema precedente assumo che $\phi_1,\phi_2,\phi_3$ abbiano simmetria sferica. Allora rimane:
$[\vecr,M_z]\phi_1 + [\vecp,M_z]\phi_2 + [\vec\r\xx\vecp,M_z]\phi_3$
Riscrivo questa equazione vettoriale per componenti e tenendo conto che $(\veca\xx\vecb)_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k$:
$[q_i,xp_y-yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y-yp_x]\phi_2 + [\epsilon_{ijk}q_jp_k,xp_y-yp_x]\phi_3 =$
$[q_i,xp_y]\phi_1 - [q_i,yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y]\phi_2 - [p_i,yp_x]\phi_2 + \epsilon_{ijk}[q_jp_k,xp_y]\phi_3 - \epsilon_{ijk}[q_jp_k,yp_x]\phi_3$
Calcolo questo pezzo:
$[q_i,xp_y]\phi_1 - [q_i,yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y]\phi_2 - [p_i,yp_x]\phi_2 =$
$x[q_i,p_y]\phi_1 + [q_i,x]\phi_1p_y - y[q_i,p_x]\phi_1 - [q_i,y]\phi_1p_x + x[p_i,p_y]\phi_2 + [p_i,x]\phi_2p_y - y[p_i,p_x]\phi_2 - [p_i,y]\phi_2p_x =$
$-xphi_1\delta_{iy} + yphi_1\delta_{ix} + p_y\phi_2\delta_{ix} - p_x\phi_2\delta_{iy} = \phi_1(y\delta_{ix}-x\delta_{iy}) + \phi_2(p_y\delta_{ix} - p_x\delta_{iy})$
E poi anche l'altro:
$\phi_3\epsilon_{ijk}{[q_jp_k,xp_y] - [q_jp_k,yp_x]} = \phi_3\epsilon_{ijk}{x[q_jp_k,p_y] + [q_jp_k,x]p_y - y[q_jp_k,p_x] - [q_jp_k,y]p_x} =$
$phi_3\epsilon_{ijk}{xq_j[p_k,p_y] + x[q_j,p_y]p_k + q_j[p_k,x]p_y + [q_j,x]p_yp_k - yq_j[p_k,p_x] - y[q_j,p_x]p_k - q_j[p_k,y]p_x - [q_j,y]p_xp_k} =$
$\phi_3\epsilon_{ijk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky})$
Mettendo tutto insieme:
$[f_x,M_z] = y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xyz}(-xp_z\delta_{yy} + yp_y\delta_{zx} + yp_z\delta_{yx} - yp_x\delta_{zy}) + \phi_3\epsilon_{xzy}(-xp_y\delta_{zy} + zp_y\delta_{yx} + yp_y\delta_{zx} - zp_x\delta_{yy}) =$
$y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xyz}(-xp_z) + \phi_3\epsilon_{xzy}(- zp_x) = y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3(zp_x-xp_z)$
$[f_y,M_z] = - x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$- x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yxz}(-xp_z\delta_{xy} + xp_y\delta_{zx} + yp_z\delta_{xx} - xp_x\delta_{zy}) + \phi_3\epsilon_{yzx}(-xp_x\delta_{zy} + zp_y\delta_{xx} + yp_x\delta_{zx} - q_jp_x\delta_{xy}) =$
$- x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yxz}yp_z + \phi_3\epsilon_{yzx}zp_y = - x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3(zp_y - yp_z)
$[f_z,M_z] = \phi_3\epsilon_{zjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$\phi_3\epsilon_{zxy}(-xp_y\delta_{xy} + xp_y\delta_{yx} + yp_y\delta_{xx} - xp_x\delta_{yy}) + \phi_3\epsilon_{zyx}(-xp_x\delta_{yy} + yp_y\delta_{xx} + yp_x\delta_{yx} - yp_x\delta_{xy}) =$
$\phi_3\epsilon_{zxy}(yp_y - xp_x) + \phi_3\epsilon_{zyx}(-xp_x + yp_y) = \phi_3(yp_y - xp_x) - \phi_3(-xp_x + yp_y) = 0$
Queste sono proprio le componenti di $\vec{f}\xx\hatn$, dove $\hatn$ è il versore dell'asse $z$.
Finalmente è finita... E' un miracolo che sia venuto il risultato.
"Eredir":
Bisogna calcolare $[\vecf,M_z] = [\vecr\phi_1+\vecp\phi_2+\vec\r\xx\vecp\phi_3,M_z] = [\vecr\phi_1,M_z] + [\vecp\phi_2,M_z] + [\vec\r\xx\vecp\phi_3,M_z]$.
Come suggerisce il testo utilizzo $[f_1f_2,g] = f_1[f_2,g]+[f_1,g]f_2$. Ottengo:
$\vecr[\phi_1,M_z] + [\vecr,M_z]\phi_1 + \vecp[\phi_2,M_z] + [\vecp,M_z]\phi_2 + \vec\r\xx\vecp[\phi_3,M_z] + [\vec\r\xx\vecp,M_z]\phi_3$
Dal momento che nella soluzione suggerisce di utilizzare il risultato del problema precedente assumo che $\phi_1,\phi_2,\phi_3$ abbiano simmetria sferica. Allora rimane:
$[\vecr,M_z]\phi_1 + [\vecp,M_z]\phi_2 + [\vec\r\xx\vecp,M_z]\phi_3$
Riscrivo questa equazione vettoriale per componenti e tenendo conto che $(\veca\xx\vecb)_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k$:
$[q_i,xp_y-yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y-yp_x]\phi_2 + [\epsilon_{ijk}q_jp_k,xp_y-yp_x]\phi_3 =$
$[q_i,xp_y]\phi_1 - [q_i,yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y]\phi_2 - [p_i,yp_x]\phi_2 + \epsilon_{ijk}[q_jp_k,xp_y]\phi_3 - \epsilon_{ijk}[q_jp_k,yp_x]\phi_3$
Calcolo questo pezzo:
$[q_i,xp_y]\phi_1 - [q_i,yp_x]\phi_1 + [p_i,xp_y]\phi_2 - [p_i,yp_x]\phi_2 =$
$x[q_i,p_y]\phi_1 + [q_i,x]\phi_1p_y - y[q_i,p_x]\phi_1 - [q_i,y]\phi_1p_x + x[p_i,p_y]\phi_2 + [p_i,x]\phi_2p_y - y[p_i,p_x]\phi_2 - [p_i,y]\phi_2p_x =$
$-xphi_1\delta_{iy} + yphi_1\delta_{ix} + p_y\phi_2\delta_{ix} - p_x\phi_2\delta_{iy} = \phi_1(y\delta_{ix}-x\delta_{iy}) + \phi_2(p_y\delta_{ix} - p_x\delta_{iy})$
E poi anche l'altro:
$\phi_3\epsilon_{ijk}{[q_jp_k,xp_y] - [q_jp_k,yp_x]} = \phi_3\epsilon_{ijk}{x[q_jp_k,p_y] + [q_jp_k,x]p_y - y[q_jp_k,p_x] - [q_jp_k,y]p_x} =$
$phi_3\epsilon_{ijk}{xq_j[p_k,p_y] + x[q_j,p_y]p_k + q_j[p_k,x]p_y + [q_j,x]p_yp_k - yq_j[p_k,p_x] - y[q_j,p_x]p_k - q_j[p_k,y]p_x - [q_j,y]p_xp_k} =$
$\phi_3\epsilon_{ijk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky})$
Mettendo tutto insieme:
$[f_x,M_z] = y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xyz}(-xp_z\delta_{yy} + yp_y\delta_{zx} + yp_z\delta_{yx} - yp_x\delta_{zy}) + \phi_3\epsilon_{xzy}(-xp_y\delta_{zy} + zp_y\delta_{yx} + yp_y\delta_{zx} - zp_x\delta_{yy}) =$
$y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3\epsilon_{xyz}(-xp_z) + \phi_3\epsilon_{xzy}(- zp_x) = y\phi_1 + p_y\phi_2 + \phi_3(zp_x-xp_z)$
$[f_y,M_z] = - x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$- x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yxz}(-xp_z\delta_{xy} + xp_y\delta_{zx} + yp_z\delta_{xx} - xp_x\delta_{zy}) + \phi_3\epsilon_{yzx}(-xp_x\delta_{zy} + zp_y\delta_{xx} + yp_x\delta_{zx} - q_jp_x\delta_{xy}) =$
$- x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3\epsilon_{yxz}yp_z + \phi_3\epsilon_{yzx}zp_y = - x\phi_1 - p_x\phi_2 + \phi_3(zp_y - yp_z)
$[f_z,M_z] = \phi_3\epsilon_{zjk}(-xp_k\delta_{jy} + q_jp_y\delta_{kx} + yp_k\delta_{jx} - q_jp_x\delta_{ky}) =$
$\phi_3\epsilon_{zxy}(-xp_y\delta_{xy} + xp_y\delta_{yx} + yp_y\delta_{xx} - xp_x\delta_{yy}) + \phi_3\epsilon_{zyx}(-xp_x\delta_{yy} + yp_y\delta_{xx} + yp_x\delta_{yx} - yp_x\delta_{xy}) =$
$\phi_3\epsilon_{zxy}(yp_y - xp_x) + \phi_3\epsilon_{zyx}(-xp_x + yp_y) = \phi_3(yp_y - xp_x) - \phi_3(-xp_x + yp_y) = 0$
Queste sono proprio le componenti di $\vec{f}\xx\hatn$, dove $\hatn$ è il versore dell'asse $z$.
Finalmente è finita... E' un miracolo che sia venuto il risultato.
oush, quanto hai scritto!
Inchiniamoci tutti ai suoi piedi!
"random":
oush, quanto hai scritto!
Inchiniamoci tutti ai suoi piedi!
Ci ho messo un po', ma è stato un buon allenamento.
E pensare che ci sono persone che scrivono messaggi di questa lunghezza quasi giornalmente (sto pensando proprio a te, gugo82)!
"Eredir":
Ci ho messo un po', ma è stato un buon allenamento.
E pensare che ci sono persone che scrivono messaggi di questa lunghezza quasi giornalmente (sto pensando proprio a te, gugo82)!
Eredir ti ringrazio infinitamente per l'aiuto che mi hai concesso per la 2° volta e mi complimento con te per lo spirito con il quale affronti gli esercizi che ti propongono gli utenti di questo forum. Grazie ancora
"xml86":
Sinceramente non riesco a capire che cosa c'entra l'anticommutatività di p e q con il loro ordine, comunque io ho tratto la formula di definizione di parentesi di Poisson, che ho indicato nel primo post, dal libro MECCANICA Fisica teorica 1 (Lev D. Landau - Evgenij M. Lifsits).
calma... (ora mi è venuta in mente una cosa)
io sono sempre stato abituato a scrivere le variabili (e in altri contesti gli operatori) posizione e momento in quest'ordine. (cioè prima la q e poi la p)
così la definizione di parentesi di Poisson è ${f,g}=(delf)/(delq)(delg)/(delp)-(delf)/(delp)(delg)/(delq)$
in questo modo posso scrivere che {q,p}=1
ora se usassi la definizione che riporti tu....avrei {q,p}=-1
all'inizio ho pensato che probabilmente hai fatto un errore di scrittura, ma ora che mi dici che hai preso la definizione dal Landau mi chiedo se il problema è solo dovuto a una convenzione...
(un po' come nel caso del prodotto scalare negli spazi di Hilbert che i fisici prendono il primo termine complesso coniugato e i matematici il secondo....)
se fosse così allora, nel Landau le variabili vengono sempre considerate nell'ordine p e q...
qualcuno sa come stanno realmente le cose
??grazie
@Cantaro86: Sul Landau le parentesi di Poisson sono definite con le variabili $p$ e $q$ invertite rispetto alla definizione che riportano molti altri libri, ma direi semplicemente che si tratta di una convenzione.
Non c'è contraddizione nell'avere ${q_i,p_j}=-\delta_{ij}$, poichè in questo caso le parentesi sono un operatore differente rispetto a quello che dà ${q_i,p_j}=\delta_{ij}$.
Non c'è contraddizione nell'avere ${q_i,p_j}=-\delta_{ij}$, poichè in questo caso le parentesi sono un operatore differente rispetto a quello che dà ${q_i,p_j}=\delta_{ij}$.
a ho capito...
alla fine è tutto un fatto di convenzioni...
grazie Eredir
alla fine è tutto un fatto di convenzioni...
grazie Eredir
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