Difficoltà nelle proiezioni
Ho il seguente esercizio in cui chiede di trovare la reazione vincolare prima e dopo il punto di flesso A:
Credo di aver capito come fare, solamente che non riesco a proiettare le forze.
Ho provato cosi:
Prima di A, considerando un sistema con un asse tangente alla traiettoria ed uno normale:
$\hat{u_{n}} : mgcos(\phi_a) - N = ma_n $
$\hat{u_{t}} : -mgsin(\phi_a) = ma_t $
E poi l'altezza poco prima di A l'ho calcolata come:$ Rsin(\phi_a)$ (mi serve per applicare la conservazione dell'energia). Queste proiezioni sono giuste?
E per dopo A come dovrei fare? non ne ho proprio idea
Credo di aver capito come fare, solamente che non riesco a proiettare le forze.
Ho provato cosi:
Prima di A, considerando un sistema con un asse tangente alla traiettoria ed uno normale:
$\hat{u_{n}} : mgcos(\phi_a) - N = ma_n $
$\hat{u_{t}} : -mgsin(\phi_a) = ma_t $
E poi l'altezza poco prima di A l'ho calcolata come:$ Rsin(\phi_a)$ (mi serve per applicare la conservazione dell'energia). Queste proiezioni sono giuste?
E per dopo A come dovrei fare? non ne ho proprio idea
Risposte
Mi sembra che la chiave dell'esercizio stia nel fatto che, subito prima e subito dopo di A, si ha una inversione della curvatura della traiettoria. Così, subito prima di A, la reazione normale, oltre quella dovuta al peso, ha una componente centripeta $v_A^2/R$, diretta in su, e subito dopo di A questa componente della reazione normale cambia segno, ed è diretta in giù.
Si si questo l'avevo intuito, mi chiedevo solo se le relazioni angolari fosse giuste e per dopo A come potessi fare a descrivere le varie componenti (cioè dovrei usare sempre $theta_a$ oppure ancora $phi_a$?)
Ma non sono uguali, $phi_A$ e $theta_A$ ?
E' vero 
Ma invece per quanto riguarda il resto è ok?
Ma invece per quanto riguarda il resto è ok?
Non ho capito bene cosa vuoi ottenere: la componenti della reazione vincolare subito prima e dopo di A? E su quali assi: orizzontale/verticale o normale/tangenziale?
Prova a riportare i conti completi
Prova a riportare i conti completi
Le equazioni che ho scritto prima sono quelle che rappresentano le forze prima di A. Tramite la conservazione dell'energia mi ricavo $v^2$ e poi N. Ora le equazioni delle forze dopo A sono le stesse solo con N cambiato di segno. Ma io non volevo farmi correggere i conti, la cosa che non so se sia fatta bene sono le proiezioni delle forze lungo gli assi normale/ tangenziale (sono riportate sopra nelle equazioni delle forze) ed il fatto che l'altezza (rispetto al minimo della traiettoria) sia $Rsin(phi_A)$, tutto qui. Putroppo sono negato nel fare le proiezioni
Se dici
$\hat{u_{n}} : mgcos(\phi_a) - N = ma_n $
$\hat{u_{t}} : -mgsin(\phi_a) = ma_t $
e se, come mi pare, $phi_a$ è l'angolo fra la normale in A e l'orizzontale, allora hai scambiato seno e coseno.
Basta pensare che se $phi_a = 0$ (tangente verticale) la componente normale del peso è zero, quindi $mgsin(phi_a)$ e viceversa quella tangenziale, che diventa uguale al peso.
L'altezza di A va bene
$\hat{u_{n}} : mgcos(\phi_a) - N = ma_n $
$\hat{u_{t}} : -mgsin(\phi_a) = ma_t $
e se, come mi pare, $phi_a$ è l'angolo fra la normale in A e l'orizzontale, allora hai scambiato seno e coseno.
Basta pensare che se $phi_a = 0$ (tangente verticale) la componente normale del peso è zero, quindi $mgsin(phi_a)$ e viceversa quella tangenziale, che diventa uguale al peso.
L'altezza di A va bene
Grazie della risposta, queste proiezioni credo siano il mio punto debole, come posso fare per non sbagliare? devo studiare qualcosa in particolare?
C'è poco da studiare... potrei caso mai consigliarti di considerare i casi limite, almeno quando c'è da scegliere fra seno e coseno (proprio come ti dicevo sopra, di pensare al caso di flesso verticale)
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