Difficoltà matrice d'inerzia e altro...
1) $ddot \theta+(sin\theta + cos \theta)*(R/g)=0$ dove $ddot \theta$ è la derivata seconda dell'angolo $\theta$ rispetto al tempo. Come trovo un integrale primo di questa funzione?
2) Ho un'asta $OA$ di lunghezza $L$ e massa $M$ libera di ruotare sul piano $x,y$ attorno al proprio estremo $O$.
Per trovare $T=1/2M*v_O^2+M*v_O*\omega^^(x_G-x_O)+1/2\omega*I_O(\omega)$, l'energia cinetica, mi serve calcolare la matrice d'inerzia.
Il testo mi diche che $(M*L^2)/3$ è il suo momento d'inerzia, ma non mi servire la matrice/operatore d'inerzia? e comunque come lo calcolo?
2) Ho un'asta $OA$ di lunghezza $L$ e massa $M$ libera di ruotare sul piano $x,y$ attorno al proprio estremo $O$.
Per trovare $T=1/2M*v_O^2+M*v_O*\omega^^(x_G-x_O)+1/2\omega*I_O(\omega)$, l'energia cinetica, mi serve calcolare la matrice d'inerzia.
Il testo mi diche che $(M*L^2)/3$ è il suo momento d'inerzia, ma non mi servire la matrice/operatore d'inerzia? e comunque come lo calcolo?
Risposte
Ciao,
per il punto 1): non sono sicuro si possa procedere al calcolo di un integrale primo solo dalla funzione, senza conoscere la fisica del problema....
Comunque, dalla forma della funzione direi che il moto è centrale e si è in presenza di un campo di forze centrali, per cui vale l'integrale primo delle aree:
$OP \times vecv = C$ Derivala partendo da : $OP \times veca = 0 $ per la definizione di forze centrali.
$d(OP \times vecv)/dt = d(OP)/dt \times vecv +OP \times dot(vecv)$
Ma $d(OP)\dt$ è parallelo a $vecv$ per cui il termine è nullo; quindi:
$OP \times veca = OP \times dot(vecv) = d(OP \times vecv)/dt = 0 -> OP \times vecv = C$
Ciauz
per il punto 1): non sono sicuro si possa procedere al calcolo di un integrale primo solo dalla funzione, senza conoscere la fisica del problema....
Comunque, dalla forma della funzione direi che il moto è centrale e si è in presenza di un campo di forze centrali, per cui vale l'integrale primo delle aree:
$OP \times vecv = C$ Derivala partendo da : $OP \times veca = 0 $ per la definizione di forze centrali.
$d(OP \times vecv)/dt = d(OP)/dt \times vecv +OP \times dot(vecv)$
Ma $d(OP)\dt$ è parallelo a $vecv$ per cui il termine è nullo; quindi:
$OP \times veca = OP \times dot(vecv) = d(OP \times vecv)/dt = 0 -> OP \times vecv = C$
Ciauz
Una noticina: si dice "integrale primo di una equazione differenziale", oppure di un sistema meccanico, non significa nulla dire "integrale primo di una funzione".
il consiglio è: moltiplicare a destra e sinistra per $dot \theta$ e poi integrare tra $0$ e $t$. Perchè devo sapere la fisica del problem? non è una normale funzione matematica?
Got it!
In sostanza l'integrale primo è una quantità che si mantiene costante durante il moto: $d/dt(...)=0$
Seguendo il consiglio puoi trovare che la funzione cercata (salvo errori di calcolo) è:
$1/2 dot(theta^2) + [sen(theta) - cos(theta)](R/g) = C (costante)$ (la sua derivata rispetto al tempo è nulla, quindi tale quantità si mantiene costante nel tempo).
Tieni conto che:
$d/dt(sen(theta)) = -cos(theta)*dot(theta)$
etc etc
Per determinare C ricorri alle condizioni iniziali (tanto è costante
)
Ciauz
In sostanza l'integrale primo è una quantità che si mantiene costante durante il moto: $d/dt(...)=0$
Seguendo il consiglio puoi trovare che la funzione cercata (salvo errori di calcolo) è:
$1/2 dot(theta^2) + [sen(theta) - cos(theta)](R/g) = C (costante)$ (la sua derivata rispetto al tempo è nulla, quindi tale quantità si mantiene costante nel tempo).
Tieni conto che:
$d/dt(sen(theta)) = -cos(theta)*dot(theta)$
etc etc
Per determinare C ricorri alle condizioni iniziali (tanto è costante
)Ciauz
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