Differenziazione
Ciao ragazzo avrei da porvi una domanda e spero possiate aiutarmi. Non ho ben capito cosa vuol dire differenziare una equazione! Cioè in fisica questa operazione è parecchio usata e vorrei riuscire a dargli un senso. Spero in qualche risposta esauriente perché è un dubbio che mi perseguita davvero! Grazie in anticipo 
Risposte
Significa semplicemente derivare rispetto alla medesima variabile (ad esempio il tempo) entrambi i membri della equazione. Se indichi un caso che ti ha creato problemi particolari ti mostro come si fa a titolo di esempio.
Si questo era intuitivo infatti (correggimi se sbaglio) se ho che l'equazione del moto uniformemente accelerato che esprime la velocità in funzione dell'accelerazione $ v=v_0+at $ derivando ottengo l'accelerazione ovvero $ (dv)/dt=a$. La cosa che non riesco a capire è in quali casi può essere utile se non necessario? Fammi un esempio anche tu così magari capisco meglio. Grazie tanto
Non so se ho capito bene quale sia il problema, ma penso che tutto ti sarà più chiaro dopo aver fatto le equazioni differenziali.
Comunque è come fare semlicemente l'operazione inversa all'integrazione a destra e sinistra di un equazione, che immagino tu avrai utilizzato per risalire dall'espressione dell'accelerazione a quella della velocità, bene o male tutti i libri di testo la fanno così.
Nota che trattare $dv/dt$ come una normale frazione è concettualmente errato (è solo un modo diverso di ssvrivere $v'$), tuttavia la maggior parte die testi lo usa impropriamente come un rapporto, e questo è dovuto al fatto che generalmente chi affronta il corso di fisica 1 non ha molta confidenza con le equazioni differenziali.
$a=dv/dt$ allora scrivamo (impropiamente) $a dt= dv$.
$int _(t_0)^t a dt = int_(v_0)^v dv$
praticamente derivando a destra e sinistra si fa l'operazione inversa a questa
Comunque è come fare semlicemente l'operazione inversa all'integrazione a destra e sinistra di un equazione, che immagino tu avrai utilizzato per risalire dall'espressione dell'accelerazione a quella della velocità, bene o male tutti i libri di testo la fanno così.
Nota che trattare $dv/dt$ come una normale frazione è concettualmente errato (è solo un modo diverso di ssvrivere $v'$), tuttavia la maggior parte die testi lo usa impropriamente come un rapporto, e questo è dovuto al fatto che generalmente chi affronta il corso di fisica 1 non ha molta confidenza con le equazioni differenziali.
$a=dv/dt$ allora scrivamo (impropiamente) $a dt= dv$.
$int _(t_0)^t a dt = int_(v_0)^v dv$
praticamente derivando a destra e sinistra si fa l'operazione inversa a questa
Beh, diciamo che ovviamente derivando una equazione si ottiene un'altra equazione la cui validità discende immediatamente dalla prima. Ora, ci sono alcuni casi in cui un argomento del genere può essere estremamente utile. Il caso più evidente che mi passa per la testa in questo momento è legato al teorema delle funzioni implicite, di cui non so se hai mai sentito parlare. Ti accenno un po' il problema. Considera una funzione di due variabili \( F = F(x,y) \) definita in una regione del piano contenente l'origine, e immagina di sapere che \( F(0,0) = 0 \). Allora, dovresti sapere (già dalle scuole superiori) che l'equazione
\[ F(x,y) = 0 \]
descrive una curva piana passante per l'origine. In generale, non è detto che questa curva sia il grafico di qualche funzione \( y = g(x) \), sei d'accordo con me? (ti viene a mente un esempio?) Ebbene, il teorema in questione ci dà una condizione sufficiente affinché la curva in questione sia effettivamente il grafico di una qualche funzione, almeno in un intorno opportuno dell'origine. In parole povere, se la funzione \( F \) di partenza è abbastanza regolare e se la derivata parziale \( \frac{\partial F}{\partial y} (0,0) \neq 0 \), allora questo teorema assicura l'esistenza di una funzione \( g(x) \) definita per \( x \) abbastanza vicina a \( 0 \) tale che la nostra curva (in un intorno dell'origine) sia effettivamente il grafico della \( g \).
In simboli, scriveremmo che
(1) \[ F(x,g(x)) = 0 \]
per tutte le \( x \) abbastanza vicine a \( 0 \) in cui questa funzione è definita. Allora, derivando la equazione (1) rispetto alla \( x \) troviamo che
(2) \[ \frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x)) + \frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x)) g'(x) = 0 \]
per queste \( x \). Esplicitando la (2) per \( x = 0 \) e ricordando l'ipotesi \( \frac{\partial F}{\partial y}(0,0) \neq 0 \) si trova il valore della derivata della funzione \( g \) in \( x = 0 \):
\[ g'(0) = - \frac{\partial_x F(0,0)}{\partial_y F(0,0)}. \]
In pratica, senza sapere niente circa la funzione \( g \) abbiamo determinato la sua derivata in \( x = 0 \), e quindi la pendenza della retta tangente alla curva \( F(x,y) = 0 \) nell'origine.
Probabilmente, queste sono cose un po' più complicate di quelle che hai visto fino ad ora, ma possono farti sorgere un po' di interesse, e certamente mostrano un esempio meno banale di applicazione della procedura di derivazione di un'equazione. Non so se ti posso aver convinto, e se hai qualche dubbio chiedi pure.
\[ F(x,y) = 0 \]
descrive una curva piana passante per l'origine. In generale, non è detto che questa curva sia il grafico di qualche funzione \( y = g(x) \), sei d'accordo con me? (ti viene a mente un esempio?) Ebbene, il teorema in questione ci dà una condizione sufficiente affinché la curva in questione sia effettivamente il grafico di una qualche funzione, almeno in un intorno opportuno dell'origine. In parole povere, se la funzione \( F \) di partenza è abbastanza regolare e se la derivata parziale \( \frac{\partial F}{\partial y} (0,0) \neq 0 \), allora questo teorema assicura l'esistenza di una funzione \( g(x) \) definita per \( x \) abbastanza vicina a \( 0 \) tale che la nostra curva (in un intorno dell'origine) sia effettivamente il grafico della \( g \).
In simboli, scriveremmo che
(1) \[ F(x,g(x)) = 0 \]
per tutte le \( x \) abbastanza vicine a \( 0 \) in cui questa funzione è definita. Allora, derivando la equazione (1) rispetto alla \( x \) troviamo che
(2) \[ \frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x)) + \frac{\partial F}{\partial y}(x,g(x)) g'(x) = 0 \]
per queste \( x \). Esplicitando la (2) per \( x = 0 \) e ricordando l'ipotesi \( \frac{\partial F}{\partial y}(0,0) \neq 0 \) si trova il valore della derivata della funzione \( g \) in \( x = 0 \):
\[ g'(0) = - \frac{\partial_x F(0,0)}{\partial_y F(0,0)}. \]
In pratica, senza sapere niente circa la funzione \( g \) abbiamo determinato la sua derivata in \( x = 0 \), e quindi la pendenza della retta tangente alla curva \( F(x,y) = 0 \) nell'origine.
Probabilmente, queste sono cose un po' più complicate di quelle che hai visto fino ad ora, ma possono farti sorgere un po' di interesse, e certamente mostrano un esempio meno banale di applicazione della procedura di derivazione di un'equazione. Non so se ti posso aver convinto, e se hai qualche dubbio chiedi pure.
Rispondo a s.stuv: ti ringrazio innanzitutto per la disponibilità mostrata nello scrivere così dettagliatamente. Però vorrei che tu sapessi che frequento il quinto liceo scientifico per cui di derivate parziali e di funzioni i due o più variabili conosco la nozione intuitiva, anche se poi a formalizzare non ci vuole molto. Dato quindi che da quello che ho capito l'argomento non è di così facile comprensione e presuppone qualche conoscenZa in dettaglio penso proprio che mi metterò sui libri e cercherò di capire quanto più mi è possibile. Se ti stai chiedendo perché nonostante la classe che frequento sono interessato ad argomenti che vanno così ooltre i normali programmi ministeriali, beh, la curiosità mi spinge! E poi siccome sto mi sto preparando per gli esami di ammissione in normale o alla galileiana vorrei almeno in fisica arrivarci con una preparazione superiore a quella ordinaria. Anche se poi ai fini degli esercizi non mi servirà a nulla ma per una questione personale voglio capire e conoscere bene cosa si nasconde dietro le classiche definizioni che si "impartiscono" a scuola. Spero tu capisca quello che voglio dire. Nel caso tu disponessi di qualche dispensa accessibile sull'argomento e non sia impedito da alcunché ti invito a consigliarmela così da qui a breve ti saprò a ridire quanto mi hai spiegato tu. Sei d'accordo?? 
Sono convinto che una trattazione neache troppo approfondita delle equazioni differenziali ti chiarirà molte cose. Arrivando fino alle equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee (il che non richiede troppe conoscenze matematiche, un normale corso di analisi è pià che sufficiente, quantomeno per i casi pià facili) penso che ti toglierai questo e molti altri dubbi. Poi se vuoi provare il test in corsi così selettivi penso che sia imprescindibie per te avere una conoscenza solida delle equazioni differenziali più semplici (e non solo, perchè ho guardato i test di ingresso per quei corsi, ed è richiesto un livello molto superiore ad un normale corso di scuola secondaria)
Innanzitutto, è bello vedere uno studente delle scuole superiori genuinamente curioso e fortemente motivato a studiare la Matematica e la Fisica. Ti faccio i miei complimenti. Per quanto riguarda le questioni tecniche... Intanto, ci tengo a sottolineare che quello che ti ho proposto voleva unicamente essere un esempio, il primo che mi è passato per la testa, di un'applicazione meno banale del solito della differenziazione di un'equazione. Il teorema delle funzioni implicite in sé, per quanto di importanza centrale, non è necessario che tu lo conosca in questo momento. Avrai tempo e modo per amarlo e odiarlo
Nella tua situazione, certamente sarebbe consigliabile uno studio dei rudimenti del calcolo differenziale e integrale di funzioni reali di una o più variabili e, come giustamente suggeriva il collega, delle (più elementari) equazioni differenziali. Questo ti consentirebbe una visione "globalmente" più completa di certi argomenti che nei corsi di studio superiori vengono (e nemmeno così frequentemente) soltanto accennati.
Sorge adesso la domanda: "da dove studio?" Di ottimi testi (di livello universitario, ovviamente) di Analisi 1 e 2 ce ne sono parecchi, e se vorrai potrò consigliartene qualcuno. Al di là dei libri (che sono comunque insostituibili), mi sento di consigliarti gli appunti del Prof. Acquistapace, disponibili per il download al link http://www.dm.unipi.it/~acquistp/analisi1.pdf
Io, fossi in te, mi stamperei la dispensa e me la metterei accanto al letto. Quando l'avrai letta e capita tutta, potrai certamente dire di saperne molto di più di un qualsiasi studente dell'ultimo anno di studi superiori (e anche di parecchi studenti del primo anno di facoltà scientifiche).
Per qualsiasi altra richiesta, siamo qui.
Buono studio, e, ovviamente, in bocca al lupo.
Nella tua situazione, certamente sarebbe consigliabile uno studio dei rudimenti del calcolo differenziale e integrale di funzioni reali di una o più variabili e, come giustamente suggeriva il collega, delle (più elementari) equazioni differenziali. Questo ti consentirebbe una visione "globalmente" più completa di certi argomenti che nei corsi di studio superiori vengono (e nemmeno così frequentemente) soltanto accennati.
Sorge adesso la domanda: "da dove studio?" Di ottimi testi (di livello universitario, ovviamente) di Analisi 1 e 2 ce ne sono parecchi, e se vorrai potrò consigliartene qualcuno. Al di là dei libri (che sono comunque insostituibili), mi sento di consigliarti gli appunti del Prof. Acquistapace, disponibili per il download al link http://www.dm.unipi.it/~acquistp/analisi1.pdf
Io, fossi in te, mi stamperei la dispensa e me la metterei accanto al letto. Quando l'avrai letta e capita tutta, potrai certamente dire di saperne molto di più di un qualsiasi studente dell'ultimo anno di studi superiori (e anche di parecchi studenti del primo anno di facoltà scientifiche).
Per qualsiasi altra richiesta, siamo qui.
Buono studio, e, ovviamente, in bocca al lupo.
Vorrei ringraziarvi tutti quanti per l'interesse mostrato. Cercherò do seguire i visti consigli in tutti i modi. S.stuv Grazie mille per la dispensa che mia hai consigliato ho avuto due minuti di tempo e l'ho sfogliata. Non so dove andare a pescare di meglio. Adesso devo vedere chi vincerà tra me e lei grazie ancora ragazzi ci risentiamo presto
grazie ancora ragazzi ci risentiamo presto
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