Differenziare l'equazione di stato: che significa?
Data l'equazione di stato dei gas perfetti $PV=nRT$, cosa vuol dire differenziare questa equazione?
Questa cosa è scritta anche sul vecchio Pagani-Salsa alla voce differenziale di una funzione, ma non riesco a capire.
Grazie per la collaborazione.
Questa cosa è scritta anche sul vecchio Pagani-Salsa alla voce differenziale di una funzione, ma non riesco a capire.
Grazie per la collaborazione.
Risposte
$d[PV]=d[nRT] \rarr Pdv+Vdp=nRdT$
"ELWOOD":
$d[PV]=d[nRT] \rarr Pdv+Vdp=nRdT$
Ok, ma $Pdv+Vdp=nRdT$ che cos'è, un'equazione? In quali incognite?
Dipende da cosa ti interessa trovare!
Si utilizza spesso nella trattazione delle trasformazioni di gas reale, grazie ad essa si possono ricavare parecchie equazioni generali (ad es $PV^(k)=cost$)
Si utilizza spesso nella trattazione delle trasformazioni di gas reale, grazie ad essa si possono ricavare parecchie equazioni generali (ad es $PV^(k)=cost$)
@lisdap: Un libro che ti interesserà sicuramente è Frankel, The Geometry of Physics. In estrema sintesi l'argomento è proprio la formalizzazione nella matematica moderna di tutte queste idee della fisica con cui stai avendo a che fare. Per esempio c'è un paragrafo dedicato alla formalizzazione della termodinamica. Ma soprattutto c'è un paragrafo dedicato ai mitici "dx" in cui spiega come essi vanno interpretati in termini di forme differenziali.
Attento però perché è un libro piuttosto avanzato. Io consiglio di tenerlo da parte e sbirciarlo ogni tanto, così man mano che avanzi con la maturità matematica ne leggi un poco.
Attento però perché è un libro piuttosto avanzato. Io consiglio di tenerlo da parte e sbirciarlo ogni tanto, così man mano che avanzi con la maturità matematica ne leggi un poco.
"dissonance":
@lisdap: Un libro che ti interesserà sicuramente è Frankel, The Geometry of Physics. In estrema sintesi l'argomento è proprio la formalizzazione nella matematica moderna di tutte queste idee della fisica con cui stai avendo a che fare. Per esempio c'è un paragrafo dedicato alla formalizzazione della termodinamica. Ma soprattutto c'è un paragrafo dedicato ai mitici "dx" in cui spiega come essi vanno interpretati in termini di forme differenziali.
Attento però perché è un libro piuttosto avanzato. Io consiglio di tenerlo da parte e sbirciarlo ogni tanto, così man mano che avanzi con la maturità matematica ne leggi un poco.
Grazie mille per la segnalazione. Me lo procurerò al più presto.
Ciao dissonance!
Credo di aver capito cosa voglia dire "differenziare un'equazione fisica".
@ dissonance: ancora non ho letto i file che mi hai consigliato, volevo arrivarci da solo
In breve, secondo me differenziare l'equazione di stato dei gas perfetti $pV=nRT$ (1), dove $R$ è la costante universale dei gas, significa questo.
Consideriamo $n'$ moli di gas perfetto in condizioni di equilibrio termodinamico, alla pressione $p_1'$, volume $V_1'$ e temperatura $T_1'$. Queste quantità (le lettere contrassegnate dall'apice sono numeri), ovviamente, soddisferanno la $(1)$, per cui si avrà che $p_1'V_1'=n'RT_1'$ è un'identità.
Consideriamo ora un'altro stato (dello stesso gas) di equilibrio caratterizzato dalle coordinate $p_2'$, $V_2'$, $T_2'$, $n'$. Come prima, tali quantità soddisferanno la (1), per cui $p_2'V_2'=n'RT_2'$ è un'identità. Se sottraiamo membro a membro la seconda identità con la prima, otterremo $p_2'V_2'-p_1'V_1'=n'RT_2'-n'RT_1'$ (2), che continua ad essere un'identità. La (2), che si può scrivere anche come $p_2'(V_2'-V_1')+V_1'(p_2'-p_1')=n'R(T_2'-T_1')$, è ciò che si ottiene sostituendo le quantità $p_1', p_2', V_1', V_2', T_1', T_2', n'$ nell'equazione $p_2(V_2-V_1)+V_1(p_2-p_1)=nR(T_2-T_1)$ (3). Praticamente non abbiamo fatto altro che ricavare un'equazione, la (3), soddisfatta da due stati qualsiasi (vista la generalità del ragionamento) di un gas perfetto che si trova in condizioni di equilibrio.
La (3) si può riscrivere anche come $p_2*Delta V+V_1*Delta p=n*R*Delta T$.
Infine, quando si vanno ad analizzare stati del gas perfetto "molto vicini" tra loro, la (3) viene scritta nella forma (ma in realtà l'equazione è la stessa di prima) $p_2*dV+V_1*dp=n*R*dT$ (4). Quindi la (4) è un'equazione dove le incognite precedute dalla lettera $d$ possono assumere dei valori molto piccoli.
Spero di non aver detto cavolate.
Grazie per le risposte.
@ dissonance: ancora non ho letto i file che mi hai consigliato, volevo arrivarci da solo
In breve, secondo me differenziare l'equazione di stato dei gas perfetti $pV=nRT$ (1), dove $R$ è la costante universale dei gas, significa questo.
Consideriamo $n'$ moli di gas perfetto in condizioni di equilibrio termodinamico, alla pressione $p_1'$, volume $V_1'$ e temperatura $T_1'$. Queste quantità (le lettere contrassegnate dall'apice sono numeri), ovviamente, soddisferanno la $(1)$, per cui si avrà che $p_1'V_1'=n'RT_1'$ è un'identità.
Consideriamo ora un'altro stato (dello stesso gas) di equilibrio caratterizzato dalle coordinate $p_2'$, $V_2'$, $T_2'$, $n'$. Come prima, tali quantità soddisferanno la (1), per cui $p_2'V_2'=n'RT_2'$ è un'identità. Se sottraiamo membro a membro la seconda identità con la prima, otterremo $p_2'V_2'-p_1'V_1'=n'RT_2'-n'RT_1'$ (2), che continua ad essere un'identità. La (2), che si può scrivere anche come $p_2'(V_2'-V_1')+V_1'(p_2'-p_1')=n'R(T_2'-T_1')$, è ciò che si ottiene sostituendo le quantità $p_1', p_2', V_1', V_2', T_1', T_2', n'$ nell'equazione $p_2(V_2-V_1)+V_1(p_2-p_1)=nR(T_2-T_1)$ (3). Praticamente non abbiamo fatto altro che ricavare un'equazione, la (3), soddisfatta da due stati qualsiasi (vista la generalità del ragionamento) di un gas perfetto che si trova in condizioni di equilibrio.
La (3) si può riscrivere anche come $p_2*Delta V+V_1*Delta p=n*R*Delta T$.
Infine, quando si vanno ad analizzare stati del gas perfetto "molto vicini" tra loro, la (3) viene scritta nella forma (ma in realtà l'equazione è la stessa di prima) $p_2*dV+V_1*dp=n*R*dT$ (4). Quindi la (4) è un'equazione dove le incognite precedute dalla lettera $d$ possono assumere dei valori molto piccoli.
Spero di non aver detto cavolate.
Grazie per le risposte.
Premetto che non ho letto quello che hai scritto lisdap , però secondo me differenziare l'equazione di stato significa:
$PV=nRT$ estraendo il logaritmo si ottiene $log(PV)=log(nRT)$ che è equivalente a $log(P)+log(V)=log(nR)+log(T)$ adesso calcolando il differenziale a destra e a sinistra si ottiene: $(dP)/p+(dV)/V=(dT)/T$ io direi tutto qui
EDIT ho letto quello che hai scritto, bel ragionamento bravo
$PV=nRT$ estraendo il logaritmo si ottiene $log(PV)=log(nRT)$ che è equivalente a $log(P)+log(V)=log(nR)+log(T)$ adesso calcolando il differenziale a destra e a sinistra si ottiene: $(dP)/p+(dV)/V=(dT)/T$ io direi tutto qui
EDIT ho letto quello che hai scritto, bel ragionamento bravo
"baldo89":
Premetto che non ho letto quello che hai scritto lisdap , però secondo me differenziare l'equazione di stato significa:
$PV=nRT$ estraendo il logaritmo si ottiene $log(PV)=log(nRT)$ che è equivalente a $log(P)+log(V)=log(nR)+log(T)$ adesso calcolando il differenziale a destra e a sinistra si ottiene: $(dP)/p+(dV)/V=(dT)/T$ io direi tutto qui
EDIT ho letto quello che hai scritto, bel ragionamento bravo
Grazie baldo, ricevere l'approvazione di un astrofisico è molto rincuorante
Nutro solo dei dubbi sul passaggio dalla (3) alla (4). "Molto piccolo" non significa un bel niente
!
So che è tardi spero lisdap ci sia ancora...molto vicini significa che :
presa una quantità (p, V , T)
che ti caratterizza lo stato del gas : $V= V' + \epsilon $ tale che $ 0<\epsilon < a $
$\forall a \in RR$
presa una quantità (p, V , T)
che ti caratterizza lo stato del gas : $V= V' + \epsilon $ tale che $ 0<\epsilon < a $
$\forall a \in RR$
Ciao a tutti, credo di aver capito cosa significa differenziare un'equazione. Iniziamo con questo esempio. Consideriamo l'equazione $z=x*y$. Il prodotto $x*y$ è una variabile, e in particolare è una funzione di $x$ e $y$. Quindi scriverò che $x*y=f(x,y)$.
$x*y$ soddisfa le ipotesi della definizione di differenziale, e quindi ha senso considerare $d(x*y)$.
$d(x*y)$ coinciderà per definizione con $x*dy+y*dx$.
$dx$ e $dy$ a loro volta coincideranno con certi numeri. Osserviamo ora che anche $z$ è una variabile, ed in particolare è una funzione delle variabili $x$ e $y$. Scriverò dunque che $z=f(x,y)$. Essendo $z$ una funzione, ha senso considerare $dz$. Qual è l'espressione analitica della funzione $z$ ?
Sempre $x*y$. Di conseguenza, quando scrivo $dz=x*dy+y*dx$ non sto facendo altro che scrivere $x*dy+y*dx=x*dy+y*dx$, equazione che in particolare è un'identità, essendo verificata per ogni valore di $x$ e $y$. Quindi, in definitiva $dz=x*dy+y*dx$ è un'identità, vera per ogni $x$, $y$.
Lo stesso discorso vale per l'equazione di stato del gas perfetto.
Attendo ora conferme dall'alto
$x*y$ soddisfa le ipotesi della definizione di differenziale, e quindi ha senso considerare $d(x*y)$.
$d(x*y)$ coinciderà per definizione con $x*dy+y*dx$.
$dx$ e $dy$ a loro volta coincideranno con certi numeri. Osserviamo ora che anche $z$ è una variabile, ed in particolare è una funzione delle variabili $x$ e $y$. Scriverò dunque che $z=f(x,y)$. Essendo $z$ una funzione, ha senso considerare $dz$. Qual è l'espressione analitica della funzione $z$ ?
Sempre $x*y$. Di conseguenza, quando scrivo $dz=x*dy+y*dx$ non sto facendo altro che scrivere $x*dy+y*dx=x*dy+y*dx$, equazione che in particolare è un'identità, essendo verificata per ogni valore di $x$ e $y$. Quindi, in definitiva $dz=x*dy+y*dx$ è un'identità, vera per ogni $x$, $y$.
Lo stesso discorso vale per l'equazione di stato del gas perfetto.
Attendo ora conferme dall'alto
up!
Di certo non sono dall'alto ma il problema non ea definire l derivata del prodotto di due funzioni derivabili, ma un qualcosa di più fisico direi quanto effettivamente ha senso considerare la differenziazione dell'eq di stato . Io credo che è lecito nelle giuste ipotesi cioè se consideriamo le ipotesi della termodinica allora.possiamo definire funzioni come PVT e fare certe cose come la differenziazione dell'eq semplicemente considerando stati molto vicini .
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