Differenziare equazione dei vincoli
Salve,
potreste aiutarmi a capire perché gli spostamenti infinitesimi di un sistema materiale compatibili con i vincoli sono dati dal differenziale dell'equazione dei vincoli?
potreste aiutarmi a capire perché gli spostamenti infinitesimi di un sistema materiale compatibili con i vincoli sono dati dal differenziale dell'equazione dei vincoli?
Risposte
A istinto... perchè il gradiente è perpendicolare alla superficie?
Ovviamente non sono in grado di dire se il tuo istinto è sulla giusta via o meno. Ma ragionandoci mi sono convinto che abbia a che vedere con il teorema del differenziale e gli incrementi possibili compatibilmente con l'equazione del vincolo.
Tuttavia non sono riuscito a formalizzare la cosa.
Tuttavia non sono riuscito a formalizzare la cosa.
Prova con un caso semplice, una superficie ordinaria, mettiamo $f(x,y,z)=0$.
Si ha:
$df=f_x dx + f_y dy + f_z dz=0$
ovvero:
$\grad f \cdot ds=0$.
I due vettori sono quindi perpendicolari... È ciò che stai cercando?
Si ha:
$df=f_x dx + f_y dy + f_z dz=0$
ovvero:
$\grad f \cdot ds=0$.
I due vettori sono quindi perpendicolari... È ciò che stai cercando?
Il risultato che mi avevi illustrato mi era chiaro sin dall'inizio nel senso che mi era noto che il differenziale (come hai mostrato) si puo' scrivere come il prodotto del $\nabla f$ scalare il vettore spostamento elementare, cioè il vettore $(dx, dy, dz)$.
Ciò che mi sfugge è l'interpretazione "fisica" che attribuisci a ciò. Ossia: perché per indicare che un punto è vincolato ad una superficie ti vai a calcolare il differenziale dell'equazione del vincolo? Che è poi la mia domanda iniziale. Ma seguendo la tua osservazione, a questo punto posso porre la domanda in forma alternativa: perché per dire che il corpo è vincolato devo affermare che il gradiente dev'essere ortogonale alla superficie $f(x,y,z)$? Cioè perché per determinare gli spostamenti ammissibili per il corpo devo supporre che il gradiente della superficie dev'essere ortogonale al vettore spostamento elementare?
Ciò che mi sfugge è l'interpretazione "fisica" che attribuisci a ciò. Ossia: perché per indicare che un punto è vincolato ad una superficie ti vai a calcolare il differenziale dell'equazione del vincolo? Che è poi la mia domanda iniziale. Ma seguendo la tua osservazione, a questo punto posso porre la domanda in forma alternativa: perché per dire che il corpo è vincolato devo affermare che il gradiente dev'essere ortogonale alla superficie $f(x,y,z)$? Cioè perché per determinare gli spostamenti ammissibili per il corpo devo supporre che il gradiente della superficie dev'essere ortogonale al vettore spostamento elementare?
Il vettore gradiente è sempre perpendicolare alla superficie. Questo è un teorema matematico. Fisicamente, invece, mi verrebbe da dire che il gradiente della superficie rappresenta in direzione il vettore reazione del vincolo...
Ho capito il tuo ragionamento ma mi rimangono delle perplessità che sia corretto, che ti espongo di seguito, ma ti ringrazio per il contributo.
Che Il vettore gradiente è perpendicolare alla superficie o meglio che è sempre ortogonale ad un iperpiano (per dimensioni >3) tangente alla funzione nel punto considerato è un risultato che, come mi facevi osservare, è presente in vari testi di analisi 2.
Ma usare questo risultato per affermare che fisicamente il vincolo possa esplicare una forza (la reazione) solo lungo il vettore gradiente è un'ossrvazione che andrebbe dimostrata. E, se non ricordo male, per dimostrarla si deve imporre che il differenziale sia nullo. Quindi, se ricordo bene la dimostrazione, non potrei usare l'osservazione di gradiente parallelo alla reazione per dire che il differenziale dev'essere nullo affinché il punto soddisfi l'equazione del vincolo poiché l'ipotesi di differenziale nullo viene già sfruttata per dimostrare che la reazione è parallela al gradiente. E si entra in circolo.
C'è da tener conto poi che l'ipotesi di reazione del vincolo parllela al gradiente è vera solo se il vincolo è liscio (che è poi l'ipotesi che viene fatta nel 99% dei casi) altrimenti se il vincolo è scabro c'è anche una compoente tangenziale.
Che Il vettore gradiente è perpendicolare alla superficie o meglio che è sempre ortogonale ad un iperpiano (per dimensioni >3) tangente alla funzione nel punto considerato è un risultato che, come mi facevi osservare, è presente in vari testi di analisi 2.
Ma usare questo risultato per affermare che fisicamente il vincolo possa esplicare una forza (la reazione) solo lungo il vettore gradiente è un'ossrvazione che andrebbe dimostrata. E, se non ricordo male, per dimostrarla si deve imporre che il differenziale sia nullo. Quindi, se ricordo bene la dimostrazione, non potrei usare l'osservazione di gradiente parallelo alla reazione per dire che il differenziale dev'essere nullo affinché il punto soddisfi l'equazione del vincolo poiché l'ipotesi di differenziale nullo viene già sfruttata per dimostrare che la reazione è parallela al gradiente. E si entra in circolo.
C'è da tener conto poi che l'ipotesi di reazione del vincolo parllela al gradiente è vera solo se il vincolo è liscio (che è poi l'ipotesi che viene fatta nel 99% dei casi) altrimenti se il vincolo è scabro c'è anche una compoente tangenziale.
Ti esprimo meglio il mio pensiero con la speranza che possa esserti utile.
Mettiamoci nel caso più semplice di un punto materiale di massa $m$ vincolato a muoversi senza attriti sulla superficie regolare $f(x,y,z)=0$. Sul punto agisce la forza $F$ (io non uso simboli particolari per indicare i verrori).
Il versore normale alla superficie nel suo punto $P$ (ove è presente la particella) è:
$n = \frac{\grad f}{||\grad f||$.
Se proietto $F$ sulla retta normale alla superficie che contiene $n$, ottengo, a meno del segno, la reazione del vincolo. Il calcolo di tale proiezione è banale.
La proiezione di $F$ sul piano tangente alla superficie in $P$ fornisce, diviso la massa, la componente tangenziale dell'accelerazione. Il calcolo di questa proiezione è assai complesso. Coinvolge il concetto di derivata covariante (l'accelerazione tangenziale è la derivata covariante della velocità) che a sua volta richiama i simboli di Christoffel (entriamo perciò nella geometria differenziale, che, come vedi, può essere creata a partire dalla meccanica).
Personalmente, per trovare le equazioni del moto del punto partirei dalla lagrangiana in coordinate generalizzate (che tengono conto già dei vincoli) e applicherei l'equazione di Euler-Lagrange...
Mettiamoci nel caso più semplice di un punto materiale di massa $m$ vincolato a muoversi senza attriti sulla superficie regolare $f(x,y,z)=0$. Sul punto agisce la forza $F$ (io non uso simboli particolari per indicare i verrori).
Il versore normale alla superficie nel suo punto $P$ (ove è presente la particella) è:
$n = \frac{\grad f}{||\grad f||$.
Se proietto $F$ sulla retta normale alla superficie che contiene $n$, ottengo, a meno del segno, la reazione del vincolo. Il calcolo di tale proiezione è banale.
La proiezione di $F$ sul piano tangente alla superficie in $P$ fornisce, diviso la massa, la componente tangenziale dell'accelerazione. Il calcolo di questa proiezione è assai complesso. Coinvolge il concetto di derivata covariante (l'accelerazione tangenziale è la derivata covariante della velocità) che a sua volta richiama i simboli di Christoffel (entriamo perciò nella geometria differenziale, che, come vedi, può essere creata a partire dalla meccanica).
Personalmente, per trovare le equazioni del moto del punto partirei dalla lagrangiana in coordinate generalizzate (che tengono conto già dei vincoli) e applicherei l'equazione di Euler-Lagrange...
Se devo dire il vero io ho capito quello che dice Arturo, però non sono sicuro di aver capito affatto cosa significhi che "gli spostamenti infinitesimi di un sistema materiale compatibili con i vincoli sono dati dal differenziale dell'equazione dei vincoli".
L'avevo inizialmente interpretato in un modo che mi sono reso conto era del tutto sbagliato (e ero arrivato infatti a una conseguenza del tutto sbagliata).
Un esempio per farmi capire?
L'avevo inizialmente interpretato in un modo che mi sono reso conto era del tutto sbagliato (e ero arrivato infatti a una conseguenza del tutto sbagliata).
Un esempio per farmi capire?
"Faussone":
Se devo dire il vero io ho capito quello che dice Arturo, però non sono sicuro di aver capito affatto cosa significhi che "gli spostamenti infinitesimi di un sistema materiale compatibili con i vincoli sono dati dal differenziale dell'equazione dei vincoli".
L'avevo inizialmente interpretato in un modo che mi sono reso conto era del tutto sbagliato (e ero arrivato infatti a una conseguenza del tutto sbagliata).
Un esempio per farmi capire?
Ti faccio l'esempio più semplice che mi viene in mente. Immagina di aver fissato un sistema di riferimento e di avere un punto P, individuato nel riferimento dato dal vettore posizione $P(x,y,z)$. Le variabili lagrangiane se il punto è libero di muoversi nello spazio sono 3 e allora un suo spostamento infinitesimo è dato da $d \mathbf{P}=dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$. E i dx, dy, dz potranno assumere qualunque valore corrispondenti ad un arbitrario spostamento.
Se, invece, il punto è vincolato a muoversi sul piano z=0, gli incrementi dx, dy, dz non potranno variare ad arbitrio ma dovranno rispettare le condizioni imposte dal vincolo. Tali condizioni si traducono analiticamente facendo il differenziale dell'equazione del vincolo che in questo caso è semplicemente dz=0.
Combinando i risultati sin qui ottenuti si ricava che gli spostamenti compatibili con il vincolo z=0 sono dati da $d\mathbf{P}=dx \hat{i} + dy \hat{j}$ e ciò è in accordo con quanto si attendeva e cioè che i soli spostamenti possibili fossero quelli nel piano xy.
Ovviamente, questo è un caso semplice, perché se consideriamo un sistema rigido semmai con connesioni multiple le variabili lagrangiane crescono rapidamente e l'intuizione geometrica non è più di aiuto.
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