Differenziali in un integrale
Mentre rivedevo una dimostrazione di fisica, ho notato una cosa che non mi era chiara ovvero il passaggio:
$\int_S c/r^2(dr)/(dS) dS=\int_r c/r^2dr$. Inizialmente pensavo venisse dal fatto che facendo prima la derivata in $dS$ e poi integrando in $dS$ le due cose si "semplificassero" ma rivedendo meglio non è questo il caso. Se qualcuno mi può chiarire grazie.
$\int_S c/r^2(dr)/(dS) dS=\int_r c/r^2dr$. Inizialmente pensavo venisse dal fatto che facendo prima la derivata in $dS$ e poi integrando in $dS$ le due cose si "semplificassero" ma rivedendo meglio non è questo il caso. Se qualcuno mi può chiarire grazie.
Risposte
Ovviamente quello che aveva in testa il tuo professore è che
\[\int_S \frac c{r^2}\frac{dr}{\not d\not S} \not d\not S=\int_r \frac c{r^2}dr\] che non è esattamente rigoroso; ma rispondere rigorosamente (integrazione per parti?) richiede di sapere almeno quale sia la dipendenza di $c,r$ dalla variabile di integrazione...
\[\int_S \frac c{r^2}\frac{dr}{\not d\not S} \not d\not S=\int_r \frac c{r^2}dr\] che non è esattamente rigoroso; ma rispondere rigorosamente (integrazione per parti?) richiede di sapere almeno quale sia la dipendenza di $c,r$ dalla variabile di integrazione...
"megas_archon":
Ovviamente quello che aveva in testa il tuo professore è che
\[\int_S \frac c{r^2}\frac{dr}{\not d\not S} \not d\not S=\int_r \frac c{r^2}dr\] che non è esattamente rigoroso; ma rispondere rigorosamente (integrazione per parti?) richiede di sapere almeno quale sia la dipendenza di $c,r$ dalla variabile di integrazione...
E anche io pensavo che non fosse rigorosissimo...
Allora $c$ è una costante reale mentre $r$ dipende da $s$
Questa roba di semplificare i differenziali fa ribrezzo a un matematico (giustamente!) ma il bello è che in generale, intendendo per "in generale" nella maggior parte delle applicazioni fisiche, funziona.
Comunque se vuoi vederla in maniera un poco più rigorosa tieni conto che
$int_{s_0}^{s_1} \frac{c}{r^2(s)}\frac{dr}{ds}ds =F(s_1)-F(s_0)$ con $F$ primitiva dell'integrando.
Quindi
$\frac{dF(r(s))}{ds}=\frac{c}{r^2(s)}\frac{dr}{ds}$
per cui per la derivazione delle funzioni composte (chain rule) è anche vero che
$\frac {dF}{dr}=c/r^2$
da cui
$F(r_1)-F(r_0)=int_{r_0}^{r_1} \frac{c}{r^2(s)}dr$
Comunque se vuoi vederla in maniera un poco più rigorosa tieni conto che
$int_{s_0}^{s_1} \frac{c}{r^2(s)}\frac{dr}{ds}ds =F(s_1)-F(s_0)$ con $F$ primitiva dell'integrando.
Quindi
$\frac{dF(r(s))}{ds}=\frac{c}{r^2(s)}\frac{dr}{ds}$
per cui per la derivazione delle funzioni composte (chain rule) è anche vero che
$\frac {dF}{dr}=c/r^2$
da cui
$F(r_1)-F(r_0)=int_{r_0}^{r_1} \frac{c}{r^2(s)}dr$
"Faussone":
Questa roba di semplificare i differenziali fa ribrezzo a un matematico (giustamente!) ma il bello è che in generale, intendendo per "in generale" nella maggior parte delle applicazioni fisiche, funziona.
Comunque se vuoi vederla in maniera un poco più rigorosa tieni conto che
$int_{s_0}^{s_1} \frac{c}{r^2(s)}\frac{dr}{ds}ds =F(s_1)-F(s_0)$ con $F$ primitiva dell'integrando.
Quindi
$\frac{dF(r(s))}{ds}=\frac{c}{r^2(s)}\frac{dr}{ds}$
per cui per la derivazione delle funzioni composte (chain rule) è anche vero che
$\frac {dF}{dr}=c/r^2$
da cui
$F(r_1)-F(r_0)=int_{r_0}^{r_1} \frac{c}{r^2(s)}dr$
Ok, grazie mille almeno adesso ho "meno" ribrezzo
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