Differenziali, cambiamento di variabile
Buonasera a tutti.
Vorrei porre una domanda riguardante i differenziali, in particolare riguardo i cambiamenti di variabili. Sono alla facoltà di fisica, ho studiato a fondo per gli esami di Analisi I e II, mi sono chiare le formule di cambiamento di variabili anche per gli integrali multipli. Ci sono situazioni in cui però mi sorgono dei dubbi riguardo l'uso dei differenziali.
Si sa che in molti esercizi di fisica si maneggiano i differenziali come se fossero quantità algebriche, ragionando come dicono alcuni prof "con le mani"; ovviamente, farlo con cognizione di causa, sapendo cioè qual è il ragionamento formale che c'è dietro, può aiutare a semplificare di molto alcuni calcoli senza lasciare lacune di causa ed effetto.
Porto l'esempio che mi ha spinto ad aprire il nuovo post:
Ho bisogno di integrare la funzione della densità di carica per ottenere il campo elettrico in un punto dello spazio. La carica è distribuita su un anello sottile. La funzione densità lineare di carica è $ lambda = lambda_0sin theta $
Dunque, ragionando "con le mani", si può dire che il piccolo elemento di anello è $ dl=Rd theta $ .
Ma quindi la carica infinitesima $ dq $ sarà $ =lambda d l= R lambda_0sin theta d theta $
Integrando questa carica puntiforme, tenendo conto della legge di Coulomb, lungo l'anello, il risultato è quello esatto.
Prima di procedere in questo modo, ho provato a seguire la strada formale, usando cioè la formula di cambiamento di variabili per gli integrali unidimensionali e per funzioni in una variabile:
se scrivo la dipendenza della carica dall'angolo:
$ q= lambda_0sin theta \cdot l = lambda_0sin theta \cdot R theta $
Volendo trovare la relazione tra i differenziali, devo derivare ambo i membri, ma il risultato è diverso da quello corretto:
$ dq =R lambda_0sin theta d theta $
Dov'è l'errore?
Sperando non sia una sciocchezza imbarazzante, aspetto chiarimenti.
Grazie
Vorrei porre una domanda riguardante i differenziali, in particolare riguardo i cambiamenti di variabili. Sono alla facoltà di fisica, ho studiato a fondo per gli esami di Analisi I e II, mi sono chiare le formule di cambiamento di variabili anche per gli integrali multipli. Ci sono situazioni in cui però mi sorgono dei dubbi riguardo l'uso dei differenziali.
Si sa che in molti esercizi di fisica si maneggiano i differenziali come se fossero quantità algebriche, ragionando come dicono alcuni prof "con le mani"; ovviamente, farlo con cognizione di causa, sapendo cioè qual è il ragionamento formale che c'è dietro, può aiutare a semplificare di molto alcuni calcoli senza lasciare lacune di causa ed effetto.
Porto l'esempio che mi ha spinto ad aprire il nuovo post:
Ho bisogno di integrare la funzione della densità di carica per ottenere il campo elettrico in un punto dello spazio. La carica è distribuita su un anello sottile. La funzione densità lineare di carica è $ lambda = lambda_0sin theta $
Dunque, ragionando "con le mani", si può dire che il piccolo elemento di anello è $ dl=Rd theta $ .
Ma quindi la carica infinitesima $ dq $ sarà $ =lambda d l= R lambda_0sin theta d theta $
Integrando questa carica puntiforme, tenendo conto della legge di Coulomb, lungo l'anello, il risultato è quello esatto.
Prima di procedere in questo modo, ho provato a seguire la strada formale, usando cioè la formula di cambiamento di variabili per gli integrali unidimensionali e per funzioni in una variabile:
se scrivo la dipendenza della carica dall'angolo:
$ q= lambda_0sin theta \cdot l = lambda_0sin theta \cdot R theta $
Volendo trovare la relazione tra i differenziali, devo derivare ambo i membri, ma il risultato è diverso da quello corretto:
$ dq =R lambda_0sin theta d theta $
Dov'è l'errore?
Sperando non sia una sciocchezza imbarazzante, aspetto chiarimenti.
Grazie
Risposte
Scusa, cosa intendi per "funzione densità lineare di carica" e perché quella formula $\lambda = \lambda_0 sin \theta$ per nulla lineare?
Ciao. Densità lineare di carica perché ottenuta come rapporto tra una carica e una lunghezza. E' un aggettivo per densità, ha riferimento dimensionale, non funzionale.
Ok, grazie.
Per me l'errore sta nella formula $q = \lambda_0 sin \theta * l$ che non ha senso.
Per me l'errore sta nella formula $q = \lambda_0 sin \theta * l$ che non ha senso.
Hai proprio ragione. Ci ho pensato appena sveglio. La formula è sbagliata perché globalmente la carica non può essere espressa come prodotto della lunghezza per la densità di carica, visto che quest'ultima funzione è variabile lungo l .
Ma allora quale sarebbe il modo formale per trovare l'uguaglianza tra i differenziali senza ricorrere a ragionamenti così rozzi?
Ma allora quale sarebbe il modo formale per trovare l'uguaglianza tra i differenziali senza ricorrere a ragionamenti così rozzi?
Secondo me bisogna partire da $\lambda = {dq}/{dl}$, da cui $dq = \lambda dl$. Altrimenti non saprei come fare ...
Anche a me sembra la cosa più logica. Ho qualche dubbio ancora, in ogni caso sei stato molto gentile nel rispondere. Grazie
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