Differenziale non esatto
scusate sto seguendo un corso di fisica tecnica e spesso ricorre il termine differenziale non esatto non mi è ben chiaro cosa significhi...
Risposte
ciao, un differenziale si dice esatto se esiste una funzione scalare tale che il suo differenziale è proprio il differenziale dato. Quindi uno non esatto è un differenziale che non soddisfa tale proprietà.
Qui c'è qualcosa http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_esatto comunque è un argomento trattato in tutti i testi di analisi 2
Qui c'è qualcosa http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_esatto comunque è un argomento trattato in tutti i testi di analisi 2
@ck91
Data una funzione nelle variabili x e y [tex]f(x,y)[/tex] si ha un differenziale esatto se si può scrivere:
[tex]$\[{\rm df = }\left( {\frac{{\delta {\rm f}}}{{\delta {\rm x}}}} \right)_y \cdot {\rm dx + }\left( {\frac{{\delta {\rm f}}}{{\delta {\rm y}}}} \right)_x \cdot {\rm dy}\]$[/tex]
In ambito termodinamico, considera, ad esempio, il lavoro compiuto da un sistema che passa da uno stato A a uno stato B, questo lo puoi rappresentare geometricamente nel piano p,v come l'area racchiusa sotto la curva della trasformazione, tra gli estremi A e B. Se cambi il percorso che da A ti porta a B, cambia l'area e dunque il lavoro.
Altro esempio:
considera una trasformazione infinitesima che ti porta da uno stato iniziale [tex]V,p[/tex] a uno stato finale [tex]V+dV, p+dp[/tex]. Possiamo scrivere:
[tex]\[\delta {\rm Q = M(V}{\rm ,p)} \cdot {\rm dV + N(V}{\rm ,p)} \cdot {\rm dp}\][/tex]
questa è una forma differenziale, ma non è, in generale, un differenziale esatto perchè non rappresenta il differenziale totale di una funzione [tex]Q=Q(V,p)[/tex]
dunque, in generale, NON possiamo scrivere:
[tex]$\[{\rm dQ = }\frac{{\delta {\rm Q}}}{{\delta {\rm V}}} \cdot {\rm dV + }\frac{{\delta {\rm Q}}}{{\delta {\rm p}}} \cdot {\rm dp}\]$[/tex]
Data una funzione nelle variabili x e y [tex]f(x,y)[/tex] si ha un differenziale esatto se si può scrivere:
[tex]$\[{\rm df = }\left( {\frac{{\delta {\rm f}}}{{\delta {\rm x}}}} \right)_y \cdot {\rm dx + }\left( {\frac{{\delta {\rm f}}}{{\delta {\rm y}}}} \right)_x \cdot {\rm dy}\]$[/tex]
In ambito termodinamico, considera, ad esempio, il lavoro compiuto da un sistema che passa da uno stato A a uno stato B, questo lo puoi rappresentare geometricamente nel piano p,v come l'area racchiusa sotto la curva della trasformazione, tra gli estremi A e B. Se cambi il percorso che da A ti porta a B, cambia l'area e dunque il lavoro.
Altro esempio:
considera una trasformazione infinitesima che ti porta da uno stato iniziale [tex]V,p[/tex] a uno stato finale [tex]V+dV, p+dp[/tex]. Possiamo scrivere:
[tex]\[\delta {\rm Q = M(V}{\rm ,p)} \cdot {\rm dV + N(V}{\rm ,p)} \cdot {\rm dp}\][/tex]
questa è una forma differenziale, ma non è, in generale, un differenziale esatto perchè non rappresenta il differenziale totale di una funzione [tex]Q=Q(V,p)[/tex]
dunque, in generale, NON possiamo scrivere:
[tex]$\[{\rm dQ = }\frac{{\delta {\rm Q}}}{{\delta {\rm V}}} \cdot {\rm dV + }\frac{{\delta {\rm Q}}}{{\delta {\rm p}}} \cdot {\rm dp}\]$[/tex]
ok credo di aver capito grazie mille!
Anch'io non avevo mai capito sin in fondo questo concetto, e devo dire che questi esempi mi hanno un po'chiarito.
@ piero_
non ho capito cosa sono le funzioni $M(V,p)$ ed $N(V,p)$ di cui parli, sono semplicemente due funzioni arbitrarie, che però non coincidono con le derivate parziali?
Comunque a me sembra che a lezione il concetto di differenziale esatto era stato messo in relazione con l'esistenza di un potenziale, anche questo ha a che fare con la definizione?
@ piero_
non ho capito cosa sono le funzioni $M(V,p)$ ed $N(V,p)$ di cui parli, sono semplicemente due funzioni arbitrarie, che però non coincidono con le derivate parziali?
Comunque a me sembra che a lezione il concetto di differenziale esatto era stato messo in relazione con l'esistenza di un potenziale, anche questo ha a che fare con la definizione?
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