Differenziale esatto
Salve, qualcuno può spiegarmi bene cosa significa in fisica il termine "differenziale esatto"? Purtroppo non ho ancora svolto il corso di Analisi 2 per cui non ho studiato questo argomento. Grazie mille
Risposte
E' un concetto matematico, non fisico.
In giro ci sono pagine e pagine di teoria e esercizi che spiegano cosa è.
In giro ci sono pagine e pagine di teoria e esercizi che spiegano cosa è.
"Quinzio":
E' un concetto matematico, non fisico.
In giro ci sono pagine e pagine di teoria e esercizi che spiegano cosa è.
Non riesco a trovare nulla in rete, conosci per caso qualche sito?
"lisdap":
[quote="Quinzio"]E' un concetto matematico, non fisico.
In giro ci sono pagine e pagine di teoria e esercizi che spiegano cosa è.
Non riesco a trovare nulla in rete, conosci per caso qualche sito?[/quote]
Il pimo link che spunta cercando "differenziale esatto" con Google. http://it.wikipedia.org/wiki/Differenziale_esatto
Se hai altri dubbi chiedi pure
mmm, l'avevo letta quella definizione ma mi è sembrata un pò troppo "poco matematica". ora ci ragiono meglio e ti faccio sapere. Grazie
Allora, l'esperienza di Joule permette di rilevare che in una trasformazione ciclica $Q=L$. Detto questo, il mio testo dice che tale equazione si può scrivere anche nel modo $ oint (deltaQ-deltaL) =0$. Da notare che il simbolo non è $d$, ma $delta$. Qualcuno può spiegarmi perchè si scrive quella formula?
"lisdap":
Allora, l'esperienza di Joule permette di rilevare che in una trasformazione ciclica $Q=L$. Detto questo, il mio testo dice che tale equazione si può scrivere anche nel modo $ oint (deltaQ-deltaL) =0$. Da notare che il simbolo non è $d$, ma $delta$. Qualcuno può spiegarmi perchè si scrive quella formula?
La formula vuol dire semplicemente che la "variazione totale" di quella quantita' e' nulla su un ciclo *qualunque*.
A sua volta questo implica che
[tex]\delta Q -\delta L = d U[/tex]
cioe' che questa differenza e' un differenziale esatto.
Ci sarebbe tutto un discorso da fare su quel [tex]\delta[/tex], che non definisce un differenziale, e che nei testi di fisica generale serve a far capire che si tratta di una quantita' infinitesimale, che pero' NON e' la variazione di una funzione. Per cui anche se scrivi [tex]\delta Q[/tex] questo NON implica che esista la funzione $Q$ del "calore contenuto in un corpo".
Ti conviene di pensare a queste quantita' come quantita' infinitesime che misurano lo scambio di energia tra sistemi a contatto.
Quindi non "variazione della quantita' di calore", ma "passaggio di calore". In altri termini: non esiste la funzione di stato chiamata "calore" (questa scoperta all'epoca e' stata un po' una rivoluzione rispetto a cio' che si credeva prima, peraltro).
PS Sperando di non confondere le idee, aggiungo che in certi casi si puo' definire una funzione di stato la cui variazione e' uguale, IN DETERMINATE CONDIZIONI, al passaggio di calore. Ma questa corrispondenza vale solo in quelle determinate condizioni, per cui non ci permette di parlare di "calore contenuto in un corpo" nemmeno in quel caso.
Ti ringrazio, ora è tutto chiaro:)
Volevo solo per curiosità sapere una cosa. I concetti di differenziale non esatto, integrale di linea, integrale lungo una linea chiusa, derivata parziale ecc...sono argomenti che si studiano nei corsi di Analisi 2 vero? Il nostro corso di Fisica 1 (il cui programma è vasto e molto dettagliato), invece, è stato erogato dopo solo quello di Analisi 1, in contemporanea con quello di geometria e algebra lineare. Il corso di Analisi 2 è previsto successivamente a quello di Fisica 1. Mi stupisce quindi il fatto che ci facciano studiare questi argomenti di Fisica 1 nel dettaglio senza assicurare però solide basi di Analisi 2. Poi colui che ne paga le conseguenze è lo studente che cerca di aggiustare una macchina senza il cacciavite, e che è costretto a studiare non solo Fisica, ma anche Analisi 2 per conto suo. Secondo voi è corretto fare così?
"lisdap":
Mi stupisce quindi il fatto che ci facciano studiare questi argomenti di Fisica 1 nel dettaglio senza assicurare però solide basi di Analisi 2. Poi colui che ne paga le conseguenze è lo studente che cerca di aggiustare una macchina senza il cacciavite, e che è costretto a studiare non solo Fisica, ma anche Analisi 2 per conto suo. Secondo voi è corretto fare così?
Guarda, ai miei tempi (che poi non era molto tempo fa) non si ponevano proprio il problema: come, non sai cos'e' una trasformata di Fourier? Fa niente, lo imparerai...
E' un po' un leit motiv a fisica (in Italia)...
Male, molto male, visto che quello che uno impara all'università è quello che saprà per tutta la vita...
Alle superiori si possono studiare le cose a c@zzo però all'università no
Alle superiori si possono studiare le cose a c@zzo però all'università no
"lisdap":
Male, molto male, visto che quello che uno impara all'università è quello che saprà per tutta la vita...
Alle superiori si possono studiare le cose a c@zzo però all'università no
Beh, insomma...
Alle superiori uno dovrebbe imparare dei fondamentali: farli "ad minchiam" e' una cosa atroce E una perdita di tempo.
E all'universita' ai corsi impari solo una piccola parte delle cose "tecniche" che userai.
Tutto il resto lo impari strada facendo.
Piu' che altro dai corsi devi (sperare di) prendere la "cultura" del settore che stai studiano, e magari di quelli vicini.
Pero' e' verissimo che la didattica in Italia fa _in media_ abbastanza schifo.
Io ho avuto (pochi) splendidi insegnanti, insieme a dei (troppi) pessimi insegnanti.
E ritengo di essere nella media...
Hai ragione, l'unico modo è darsi da fare e imparare da soli. A proposito di questo, come già ti ho detto, le mie conoscenze di matematica si limitano all'analisi 1 e algebra lineare. Studiando termodinamica, lavoro, entropia ecc...ho visto che molto spesso il libro fa riferimento al concetto di integrali calcolati lungo linee curve. Vorrei pertanto approfondire, seppur in maniera elementare, questo argomento, giusto quello che mi serve per capire a livello teorico delle cose di fisica (tipo la disuguaglianza di Clausius, e tante altre cose...). Mi suggerisci qualcosa?
"lisdap":
Allora, l'esperienza di Joule permette di rilevare che in una trasformazione ciclica $Q=L$. Detto questo, il mio testo dice che tale equazione si può scrivere anche nel modo $ oint (deltaQ-deltaL) =0$. Da notare che il simbolo non è $d$, ma $delta$. Qualcuno può spiegarmi perchè si scrive quella formula?
Quello che ti serve sapere in questo caso è che a seconda del percorso che scegli per l'integrale, il risultato cambia. Per i differenziali esatti il cammino scelto per andare da A a B non importa.
"lisdap":
Studiando termodinamica, lavoro, entropia ecc...ho visto che molto spesso il libro fa riferimento al concetto di integrali calcolati lungo linee curve. Vorrei pertanto approfondire, seppur in maniera elementare, questo argomento, giusto quello che mi serve per capire a livello teorico delle cose di fisica (tipo la disuguaglianza di Clausius, e tante altre cose...). Mi suggerisci qualcosa?
In alcuni libri di analisi II puoi trovare degli approfondimenti, prova a dare magari un occhio al "sequel" del tuo libro di analisi I, magari...
Spesso questi argomenti li trovi nei corsi di meccanica razionale, intendo il corso per fisici, spiegati delle volte benino.
Altrimenti puoi provare a dare un occhio alle dispense che trovi in rete: in genere vengono scritte con l'idea di riempire i buchi, o chiarire i punti piu' oscuri dei libri di testo consigliati...
Magari potresti leggere qualche dispensa di analisi complessa per fisici, laddove fanno gli integrali su un cammino: in genere si fa al terzo anno, ma se la dispensa e' scritta bene puo' darti un'idea.
Oppure puoi dare un'occhiata a qualche testo di elettrodinamica, una volta esisteva il primo volume del Becker, essendo molto vecchio non so se esista piu'. Li' trovi una introduzione a quegli argomenti di calcolo sui campi vettoriali. Ovviamente e' visto con l'ottica di chi deve usare quegli strumenti per l'elettrodinamica.
Restringendo al campo della termodinamica, a me piaceva molto il secondo volume del corso di Sivuchin, secondo me era scritto molto bene, e faceva molto bene sia il metodo delle funzioni di stato, sia quello dei "cicli di Carnot infinitesimi": mi ricordo di averlo usato con molto profitto, all'epoca.
Tieni presente che per fare termodinamica non ti serve comunque tutto-tutto-tutto il macchinario, basta una parte.
E poi ricordati che potresti trovare come risorsa utile gli studenti piu' "anziani", spesso possono risolverti piu' di un dubbio semplicemente ricordandosi dei dubbi che avevano quando erano al tuo anno
Sì è vero, è un classico. Si parla di integrali di linea e di superficie (in fisica 2) avendo soltanto un'idea concettuale ed intuitiva di questi. Secondo me è sbagliato, io allargherei il programma di analisi 1 per includere i concetti fondamentali ad una buona compresione della fisica elementare del primo anno. Tralaltro nel mio corso di laurea sia il corso di analisi 1 che quello di analisi 2 sono annuali, ed i programmi più diluiti nel tempo, quindi io (uscito dal classico) non sapevo cosa fosse una derivata fino a gennaio più o meno (dopo mesi di lezioni di fisica 1).
Ah, se sei proprio interessato agli integrali di linea non è un problema, è un argomento che puoi studiare anche se conosci soltanto analisi 1 (non serve una grande conoscenza delle funzioni a più variabili). Studia prima la teoria dei "cammini continui" e delle parametrizzazioni, e poi integrale curvilineo di prima e seconda specie. Nei fatti, questi integrali si riconducono sempre a integrali di una variabile, quindi non serve la conoscenza dell'integrazione multipla per svolgerli.
Ah, se sei proprio interessato agli integrali di linea non è un problema, è un argomento che puoi studiare anche se conosci soltanto analisi 1 (non serve una grande conoscenza delle funzioni a più variabili). Studia prima la teoria dei "cammini continui" e delle parametrizzazioni, e poi integrale curvilineo di prima e seconda specie. Nei fatti, questi integrali si riconducono sempre a integrali di una variabile, quindi non serve la conoscenza dell'integrazione multipla per svolgerli.
Dopo 2 anni e mezzo credo forse di aver capito il concetto di differenziale esatto.
Consideriamo il primo principio della termodinamica.
Sia abbia un sistema termodinamico $T$, sia $A$ uno stato di $T$, sia $B$ un altro stato di $T$, sia $x$ una trasformazione che porta da $A$ a $B$, sia $Q$ la quantità di calore assorbita (o ceduta) da $T$ lungo $x$, sia $L$ il lavoro erogato (o assorbito) da $T$ lungo $x$. Dopo tutte queste ipotesi, abbiamo che vale l'equazione $Q-L=U(B)-U(A)$, dove $U$ coincide con una ben precisa quantità di certe variabili detta energia interna di $T$. L'equazione poco fa scritta viene detta "primo principio della termodinamica".
Soffermiamoci ora su $Q$. In base alle premesse sopra fatte, abbiamo che $Q$ sta per "quantità di calore assorbita (o ceduta) da $T$ lungo una trasformazione da $A$ a $B$". Per determinare un valore di $Q$ devo prima determinare:
1) un sistema termodinamico, cioé devo prima scegliere un sistema termodinamico, che è la nostra prima variabile;
2) determinare un valore (ennupla) per $A$;
3) determonare un valore per $B$;
4) considerare una trasformazione da $A$ a $B$.
Fatto ciò troverò il mio valore per $Q$ (sperimentalmente). le variabili $T$ e "trasformazione da $A$ a $B$" non sono strettamente matematiche, nel senso che non assumono valori numerici....però credo che ci siamo capiti, sempre variabili sono.
Ora il punto fondamentale è che $Q$, che è una funzione di queste quattro variabili, non può essere considerato una funzione di $A$ e di $B$. Supponiamo infatti di fissare i valori di queste quattro variabili . Sperimentalmente misuriamo un valore di $Q$, e va bene. Se ora io lascio invariati gli stati, il sistema termodinamico, e cambio la trasformazione, misurando $Q$ scopro che il suo valore è cambiato. A parità di sistema termodinamico, stati iniziali e finali, cambiando la trasformazione $Q$ è cambiato. Ci sono dunque due valori di $Q$ associati alla coppia $(A,B)$. Ciò è sufficiente per dire che $Q$ non è una funzione degli stati. In generale, $Q$ non è neanche una funzione di un solo stato.
Che cosa c'entra il differenziale in tutto questo? C'entra che nell'equazione che definisce il primo principio, per poter differenziare entrambi i membri dovrei considerare $Q$ ed $L$ (lo stesso discorso fatto finora è identico per $L$) funzioni di $A$ e $B$. Ma abbiamo poco fa detto che ciò non è possibile. Quindi non è possibile differenziare quell'equazione. Tuttavia, è comunque utile scrivere una relazione infinitesima che valga per trasformazioni quasi statiche. La relazione $dU=deltaQ-deltaL$ è matematicamente errata, però comunque valida. Tuttavia, anziché scrivere $dQ$ scrivo $deltaQ$ proprio per tenere a mente questo fatto. Scusate se ho scritto molto ma ci tenevo ad essere preciso. Spero che qualcuno abbia voglia di leggere tutto questo papiro......
!!!!!!!!!!!!!
Consideriamo il primo principio della termodinamica.
Sia abbia un sistema termodinamico $T$, sia $A$ uno stato di $T$, sia $B$ un altro stato di $T$, sia $x$ una trasformazione che porta da $A$ a $B$, sia $Q$ la quantità di calore assorbita (o ceduta) da $T$ lungo $x$, sia $L$ il lavoro erogato (o assorbito) da $T$ lungo $x$. Dopo tutte queste ipotesi, abbiamo che vale l'equazione $Q-L=U(B)-U(A)$, dove $U$ coincide con una ben precisa quantità di certe variabili detta energia interna di $T$. L'equazione poco fa scritta viene detta "primo principio della termodinamica".
Soffermiamoci ora su $Q$. In base alle premesse sopra fatte, abbiamo che $Q$ sta per "quantità di calore assorbita (o ceduta) da $T$ lungo una trasformazione da $A$ a $B$". Per determinare un valore di $Q$ devo prima determinare:
1) un sistema termodinamico, cioé devo prima scegliere un sistema termodinamico, che è la nostra prima variabile;
2) determinare un valore (ennupla) per $A$;
3) determonare un valore per $B$;
4) considerare una trasformazione da $A$ a $B$.
Fatto ciò troverò il mio valore per $Q$ (sperimentalmente). le variabili $T$ e "trasformazione da $A$ a $B$" non sono strettamente matematiche, nel senso che non assumono valori numerici....però credo che ci siamo capiti, sempre variabili sono.
Ora il punto fondamentale è che $Q$, che è una funzione di queste quattro variabili, non può essere considerato una funzione di $A$ e di $B$. Supponiamo infatti di fissare i valori di queste quattro variabili . Sperimentalmente misuriamo un valore di $Q$, e va bene. Se ora io lascio invariati gli stati, il sistema termodinamico, e cambio la trasformazione, misurando $Q$ scopro che il suo valore è cambiato. A parità di sistema termodinamico, stati iniziali e finali, cambiando la trasformazione $Q$ è cambiato. Ci sono dunque due valori di $Q$ associati alla coppia $(A,B)$. Ciò è sufficiente per dire che $Q$ non è una funzione degli stati. In generale, $Q$ non è neanche una funzione di un solo stato.
Che cosa c'entra il differenziale in tutto questo? C'entra che nell'equazione che definisce il primo principio, per poter differenziare entrambi i membri dovrei considerare $Q$ ed $L$ (lo stesso discorso fatto finora è identico per $L$) funzioni di $A$ e $B$. Ma abbiamo poco fa detto che ciò non è possibile. Quindi non è possibile differenziare quell'equazione. Tuttavia, è comunque utile scrivere una relazione infinitesima che valga per trasformazioni quasi statiche. La relazione $dU=deltaQ-deltaL$ è matematicamente errata, però comunque valida. Tuttavia, anziché scrivere $dQ$ scrivo $deltaQ$ proprio per tenere a mente questo fatto. Scusate se ho scritto molto ma ci tenevo ad essere preciso. Spero che qualcuno abbia voglia di leggere tutto questo papiro......
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