Differenziabilità del funzionale

[Injo]

Sto cercando di dimostrare che il funzionale [tex]\Phi (\gamma ) = \int_{t_0}^{t_1} L(x,\dot{x},t) dt[/tex] è differenziabile. Io so che un funzionale è differenziabile se [tex]D\Phi = \Phi (\gamma + h) - \Phi (\gamma)[/tex] è uguale a [tex]F(h)+O(h^2)[/tex] con [tex]F[/tex] lineare. Quindi ho fatto così:

[tex]\int_{t_0}^{t_1} L(x+h,\dot{x}+\dot{h},t) - L(x,\dot{x},t) dt = \int_{t_0}^{t_1} \frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} + \frac{1}{2}( \frac{\partial ^2 L}{\partial x^2}+ \frac{\partial ^2 L}{\partial \dot{x}^2} + 2\frac{\partial ^2 L}{\partial x \partial\dot{x}}) dt[/tex]

dove ho usato lo sviluppo di Taylor troncato al secondo ordine (quindi ho un [tex]O(h^2)[/tex] che ho trascurato). Ora però non so come proseguire. Mi è stato suggerito di mostrare che [tex]F(h)=\int_{t_0}^{t_1} (\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial x})h dt - (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{h})_{t_0}^{t_1}[/tex] ma anche così non sono stato in grdo di proseguire. Sapreste darmi una mano?

[Cmax1]

[tex]D\Phi=\int_{t_0}^{t_1}dt ( \frac{\partial L}{\partial x}h + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{h} +O(h^2))[/tex], supponendo che [tex]L[/tex] non dipenda esplicitamente da [tex]t[/tex], come spesso accade in meccanica (dove il funzionale che hai scritto si usa molto). Notando che [tex]\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\dot{h} =\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}h)-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}) h[/tex] arrivi ad un'espressione simile a quella che ti è stata suggerita (i segni sono diversi e c'è [tex]h[/tex] e non [tex]\dot{h}[/tex]).[/tex]