Differenza tra lunghezza di penetrazione e effetto pelle
Ciao a tutti,
dal titolo mi sa che già vi siete resi conti del mio problema, non ho capito se con la lunghezza di penetrazione e effetto pelle si intende la stessa cosa, o sono due argomenti, comunque collegati ma differenti.
Se ho capito la lunghezza di penetrazione è la distanza alla quale il modulo del campo si riduce a $1/e$ del valore inziale all'interfaccia. Mentre l'effetto pelle è l'attenuazione (molto rapida) di un campo e.m ad alta frequenza all'interno di un metallo.
E' un spiegazione corretta ed esauriente?
Grazie.
dal titolo mi sa che già vi siete resi conti del mio problema, non ho capito se con la lunghezza di penetrazione e effetto pelle si intende la stessa cosa, o sono due argomenti, comunque collegati ma differenti.
Se ho capito la lunghezza di penetrazione è la distanza alla quale il modulo del campo si riduce a $1/e$ del valore inziale all'interfaccia. Mentre l'effetto pelle è l'attenuazione (molto rapida) di un campo e.m ad alta frequenza all'interno di un metallo.
E' un spiegazione corretta ed esauriente?
Grazie.
Risposte
Non direi sia esauriente. Il coefficiente di penetrazione non dipende solo dalla frequenza ma anche da altri parametri, infatti:
$1/(\delta)=\sqrt(2/(\omega\sigma\mu))$
Di conseguenza all'aumentare della frequenza e/o della conducibilità esso diminuisce, ovvero l'onda si attenua maggiormente nel propagarsi nel mezzo. Per un PEC la conducibilità è infinita e dunque l'onda è totalmente riflessa. Nella realtà il campo si trova in uno strato infinitesimo della superficie stessa, dando luogo al cosiddetto effetto pelle.
In generale, comunque, sarebbe conveniente considerare il prodotto $\omega\sigma$ anzichè la loro singola variazione.
$1/(\delta)=\sqrt(2/(\omega\sigma\mu))$
Di conseguenza all'aumentare della frequenza e/o della conducibilità esso diminuisce, ovvero l'onda si attenua maggiormente nel propagarsi nel mezzo. Per un PEC la conducibilità è infinita e dunque l'onda è totalmente riflessa. Nella realtà il campo si trova in uno strato infinitesimo della superficie stessa, dando luogo al cosiddetto effetto pelle.
In generale, comunque, sarebbe conveniente considerare il prodotto $\omega\sigma$ anzichè la loro singola variazione.
"K.Lomax":
Non direi sia esauriente. Il coefficiente di penetrazione non dipende solo dalla frequenza ma anche da altri parametri, infatti:
$1/(\delta)=\sqrt(2/(\omega\sigma\mu))$
Di conseguenza all'aumentare della frequenza e/o della conducibilità esso diminuisce, ovvero l'onda si attenua maggiormente nel propagarsi nel mezzo. Per un PEC la conducibilità è infinita e dunque l'onda è totalmente riflessa. Nella realtà il campo si trova in uno strato infinitesimo della superficie stessa, dando luogo al cosiddetto effetto pelle.
In generale, comunque, sarebbe conveniente considerare il prodotto $\omega\sigma$ anzichè la loro singola variazione.
Vediamo se riesco ad essere più esauriente, vi risparmio i passaggi perché comunque sono abbastanza semplici alla fine, quello che io sto studiando alla fine è il comportamento delle onde piane in un buon conduttore dunque per prima cosa mediante sostituzioni e via dicendo si può riscrivere:
1) $K$ relazione di dispersione per i buoni conduttori come
$K = (1-j)/delta$ dove $delta = sqrt((1/(sigmau_0pif)))$ è lo skin lenght (spessore o lunghezza di penetrazione)
2) $eta$ relazione di impedenza sempre per i buoni conduttori
$\eta = R_s(1+j)$ dove $R_s = (u_0omegadelta)/2$ è la resistenza superficiale.
sostituendo questi valori nelle relazioni delle onde piane si ricava:
$E = vec(p)A(e^((-jz)/delta))(e^((-z/delta)))$
$H = vec(u) xx vec(p) (A/(R_s(1+j))) (e^((-jz)/delta))(e^((-z/delta)))$
con $vec(u)vec(r) = vec(u_z)vec(r) = z$
Dunque il nome si spessore di penetrazione si giustifica osservando che il modulo di E che quello di H di attenuano esponenzialmente secondo la legge $(e^((-z/delta)$. La costante $delta$ si può definire quindi come lunghezza di penetrazione del campo e.m.: la lunghezza per cui il modulo del campo si è attenuato di una quantità $1/e$ del valore iniziale dell'interfaccia.
Infatti se ne effettuiamo il modulo:
$|(e^((-jz)/delta))e^((-z/delta))| = |e^((-jz)/delta))||(e^((-z/delta))| = 1 * |e^((-z)/delta))|
dove $e^((-z/delta))$ è un fattore reale attenuativo e $e^((-jz)/delta))|$ fattore complesso di modulo unitario che da l'oscillazione dell'onda. Graficamente:
Quindi un campo e.m ad alta frequenza si attenua molto rapidamente all'interno di un metallo (effetto pelle). Nel caso di un metallo lo spessore di penetrazione è sempre molto piccolo.
Nei metalli, quindi, solo la parte esterna (superficiale) viene interessata al fenomeno elettromagnetico (omega != 0).
Questo giustifica la denominazione effetto pelle (o skin effect).
è più chiaro così?
Grazie mille
Mi sono venuti dei dubbi riguardo all'utilizzo delle equazioni di Maxwell per la soluzione del campo elettromagnetico, in particolare riguardo ai materiali conduttori.
Sappiamo che dall'applicazione delle equazioni di Maxwell, con alcuni passaggi matematici, si giunge alla equazione dei telegrafisti, ovvero si ricava che il campo elettrico e megnetico si propagano come onde elettromegnetiche. Applicando questo al caso dei conduttori otteniamo l'espressione dell'attenuazione delle onde elettromegnetiche a partire dalla superficie.
Da un'altra parte, partendo dalle stesse equazioni di Maxwell, applicando il teorema di Stokes si ha che la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa è uguale all'opposto della derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico attraverso una superficie aperta delimitata dalla curva chiusa. Questo significa, correggetemi se sbaglio, che se per esempio abbiamo una spira (di materiale conduttore) immersa in un campo magnetico e consideriamo una curva chiusa contenuta all'interno del conduttore, il campo elettrico lungo questa curva deve essere tale da seguire questa legge.
I due casi, penetrazione di un'onda elettromagnetica in un conduttore e forza elettromotrice indotta da un campo magnetico in una spira (di materiale conduttore), mi sembra che consistano in fenomeni fisici diversi anche se derivano dalle stesse equazioni, trattate matematicamente in maniera diversa.
Sappiamo che dall'applicazione delle equazioni di Maxwell, con alcuni passaggi matematici, si giunge alla equazione dei telegrafisti, ovvero si ricava che il campo elettrico e megnetico si propagano come onde elettromegnetiche. Applicando questo al caso dei conduttori otteniamo l'espressione dell'attenuazione delle onde elettromegnetiche a partire dalla superficie.
Da un'altra parte, partendo dalle stesse equazioni di Maxwell, applicando il teorema di Stokes si ha che la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa è uguale all'opposto della derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico attraverso una superficie aperta delimitata dalla curva chiusa. Questo significa, correggetemi se sbaglio, che se per esempio abbiamo una spira (di materiale conduttore) immersa in un campo magnetico e consideriamo una curva chiusa contenuta all'interno del conduttore, il campo elettrico lungo questa curva deve essere tale da seguire questa legge.
I due casi, penetrazione di un'onda elettromagnetica in un conduttore e forza elettromotrice indotta da un campo magnetico in una spira (di materiale conduttore), mi sembra che consistano in fenomeni fisici diversi anche se derivano dalle stesse equazioni, trattate matematicamente in maniera diversa.
solo ora mi rendo conto di quanto è comica la "lunghezza di penetrazione" nell'ambito dell' "effetto pelle"..... 
@nonsoxke: scusa puoi chiarire il tuo dubbio?....
@nonsoxke: scusa puoi chiarire il tuo dubbio?....
Il mio dubbio in sostanza è questo: dalle equazioni di Maxwell con alcuni passaggi matematici si ricavano le equazioni di onda del campo elettromagnetico e, nel caso di un conduttore, applicando il secondo principio della dinamica alle cariche libere (modello classico), si ricava che il campo elettrico subisce una attenuazione all'interno di un conduttore (con questo si spiega l'attenuazione e l'effetto pelle); partendo dalle stesse equazioni di Maxwell ed applicando il teorema di Stokes risulta che il campo elettrico (anche all'interno di un materiale conduttore) è tale che la sua circuitazione lungo una curva chiusa è pari all'opposto della derivata rispetto al tempo del flusso del campo magnetico attraverso una superficie delimitata dalla curva (con il quale si spiega la forza elettromotrice indotta).
Ci vedo delle incongruenze, non so se derivano dal fatto che non conosco ancora abbastanza bene questi argomenti.
Ci vedo delle incongruenze, non so se derivano dal fatto che non conosco ancora abbastanza bene questi argomenti.
@Ahi
Si il ragionamento era già corretto prima, io l'ho solo completato consigliandoti di guardare ad entrambe le variabili $\sigma$ e $\omega$ (non a caso queste rientrano nell'ipotesi si buon conduttore, ipotesi stessa che tende a cadere quanto più ci si avvicina alle frequenze ottiche).
@nnsoxke
I materiali PEC nella realtà non esistono. Questo implica che quanto più la conducibilità è alta (ma finita) tanto più la corrente si distribuirà su uno strato infinitesimo della superficie del conduttore. Ma, comunque, vi sarà e si attenuerà velocemente propagandosi all'interno del conduttore. Di conseguenza, se questo era il tuo dubbio, le due leggi non sono in contrapposizione.
Si il ragionamento era già corretto prima, io l'ho solo completato consigliandoti di guardare ad entrambe le variabili $\sigma$ e $\omega$ (non a caso queste rientrano nell'ipotesi si buon conduttore, ipotesi stessa che tende a cadere quanto più ci si avvicina alle frequenze ottiche).
@nnsoxke
I materiali PEC nella realtà non esistono. Questo implica che quanto più la conducibilità è alta (ma finita) tanto più la corrente si distribuirà su uno strato infinitesimo della superficie del conduttore. Ma, comunque, vi sarà e si attenuerà velocemente propagandosi all'interno del conduttore. Di conseguenza, se questo era il tuo dubbio, le due leggi non sono in contrapposizione.
Il mio dubbio riguardava anche le espressioni che risultano dall'applicazione delle stesse equazioni di Maxwell, per esempio per quanto riguarda l'effetto pelle risulta che lo strato di conduttore in cui è presente campo elettrico si riduce all'aumentare delle frequenza, mentre per quanto riguarda la forza elettromotrice indotta in una spira di materiale conduttore questa aumenta con la frequenza del campo (almeno fintanto che le dimensioni dela spira non risultino eccessivamente grandi rispetto alla lunghezza d'onda).
L'ultima cosa che resta da analizzare è la condizione al contorno di un buon conduttore. Per fare ciò si considerano due mezzi, il primo mezzo è l'aria e il secondo un buon conduttore e si fa incidere un onda em sul conduttore ossia si ha questa geometria:
Avendo dato una nuova definizione di buon conduttore osno necessarie nuove condizioni al contorno. Per i buoni conduttore si ha che $n = sqrt(epsilon(omega))$ sarà complesso, quindi l'onda trasmessa sarà evanescente.
La legge di Snell nonostante tutto continuerà a valere in quando non nella sua formulazione non si sono dati vincoli sulla natura di n:
$(n_1)sintheta_1 = (n_2)sintheta_2 $
dove $n_2 = sqrt(epsilon(omega)) = sqrt((sigma)/(jomega))$
questo significa che se $(n_1)sintheta_1 in RR$ $=> sintheta_2 in CC$ ciò significa che effettivamente l'onda è evanescente per cui:
$sintheta_1 = (sqrt((sigma)/(jomega)))sintheta_2$ per l'aria $(n_1) = 1$
$sintheta_2 = (sqrt((jomega)/(sigma)))sintheta_1$
Affinché questo oggetto, dalla definizione di Buon conduttore, sia tale occore che:
$|(sigma)/(jomega)|$ $>$ $>$ $epsilon_0 * epsilon_r$
dunque:
$|sintheta_2| = |(sqrt((jomega)/(sigma)))sintheta_1|$ $=< |sqrt((jomega)/(sigma))|$
quest perché si è visto che per un buon conduttore $|(sigma)/(jomega)|$ $>$ $> 1$ per cui
$|(jomega)/(sigma)|$ $<$ $< 1$
in definitiva
$|sintheta_2| $=<$ |sqrt((jomega)/(sigma))|$
si ha che $|sintheta_2| = 0 $ e $theta_2 = 0$
Nell'interno del conduttore indipendentemente da come incide il campo l'onda piana ha direzionedi propagazione perpendicolare al piano incidente.
E' corretto fin quì? O c'è qualche errore?
Avendo dato una nuova definizione di buon conduttore osno necessarie nuove condizioni al contorno. Per i buoni conduttore si ha che $n = sqrt(epsilon(omega))$ sarà complesso, quindi l'onda trasmessa sarà evanescente.
La legge di Snell nonostante tutto continuerà a valere in quando non nella sua formulazione non si sono dati vincoli sulla natura di n:
$(n_1)sintheta_1 = (n_2)sintheta_2 $
dove $n_2 = sqrt(epsilon(omega)) = sqrt((sigma)/(jomega))$
questo significa che se $(n_1)sintheta_1 in RR$ $=> sintheta_2 in CC$ ciò significa che effettivamente l'onda è evanescente per cui:
$sintheta_1 = (sqrt((sigma)/(jomega)))sintheta_2$ per l'aria $(n_1) = 1$
$sintheta_2 = (sqrt((jomega)/(sigma)))sintheta_1$
Affinché questo oggetto, dalla definizione di Buon conduttore, sia tale occore che:
$|(sigma)/(jomega)|$ $>$ $>$ $epsilon_0 * epsilon_r$
dunque:
$|sintheta_2| = |(sqrt((jomega)/(sigma)))sintheta_1|$ $=< |sqrt((jomega)/(sigma))|$
quest perché si è visto che per un buon conduttore $|(sigma)/(jomega)|$ $>$ $> 1$ per cui
$|(jomega)/(sigma)|$ $<$ $< 1$
in definitiva
$|sintheta_2| $=<$ |sqrt((jomega)/(sigma))|$
si ha che $|sintheta_2| = 0 $ e $theta_2 = 0$
Nell'interno del conduttore indipendentemente da come incide il campo l'onda piana ha direzionedi propagazione perpendicolare al piano incidente.
E' corretto fin quì? O c'è qualche errore?
Una volta visto la condizione al contorno di buon conduttore si può generalizzare (perché conviene generalizzare e passare alla forma di Leontovich???)
Si è visto in precedenza che per i buon conduttori si può scrivere:
$E = vec(p)A(e^((-jz)/delta))(e^((-z/delta)))$
$H = vec(u) xx vec(p) (A/(R_s(1+j))) (e^((-jz)/delta))(e^((-z/delta)))$
con $vec(u)vec(r) = vec(u_z)vec(r) = z$
ora semplificando e considerando $vec(s) = vec(u)vec(r)$
$E = vec(p)A(e^((-js)/delta))(e^((-s/delta)))$
$H = hat(u) xx vec(p) (A/(R_s(1+j))) (e^((-js)/delta))(e^((-s/delta)))$
se $z = 0$ significa che $s = 0$ per cui:
$E = vec(p)A$
$H = hat(u) xx vec(p) (A/(R_s(1+j)))$
e quindi
$H_z = hat(u_z) xx vec(p) (A/(R_s(1+j)))$ per $delta = 0$
dove $vec(u_z) xx vec(p)$ è ortogonale a zeta che si trovia nel piano di separazione tra i due mezzi. Inoltre $H$ è puramente tangenziale:
per $delta = 0^+$
$H_t^+ = hat(u_z) xx vec(p) (A/(R_s(1+j)))$
$E^+ = vec(p)A$
dalla prima si ricava che
$H_t^+ xx vec(u_z) = vec(u_z) xx vec(p) (A/(R_s(1+j))) xx hat(u_z)$
$H_t^+ xx vec(u_z) = vec(p) (A/(R_s(1+j)))$ e quindi $(R_s(1+j))H_t^+ xx hat(u_z) = vec(p) (A)$
sostituendo nella relazione di E
$E^+ = (R_s(1+j))H_t^+ xx hat(u_z)$
imponendo le condizioni al contorno di continuità per i campi:
$hat(n) xx (E^+ - E^-) = 0$
sostituendo la relazione ricavata su
$hat(u_z) xx [((R_s(1+j))H_t^+ xx hat(u_z) - E^-] = 0$
$(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [H_t^+ xx hat(u_z) - E^-] = 0$
$(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [H_t^+ xx hat(u_z)] - hat(u_z) xx E^- = 0$
da cui $(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [H_t^+ xx hat(u_z)] = hat(u_z) xx E^-] $
ma $hat(u_z) xx H^+ = hat(u_z) xx H^-$
dunque $(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [ H^- xx hat(u_z)] = hat(u_z) xx E^-] $
ma $H^-$, al contrario di $H^+$ ha componenti solo trasverse e lungo z, perché non sappiamo da dove proviene (è giusto ho capito bene?) quindi:
$vec(H^-) = vec(H_t^-) + (H_z^-) hat(u_z)
per cui $vec(H^-) xx (hat(u_z)) = vec(H_t^-) xx hat(u_z) + H_z^- (hat(u_z)) xx hat(u_z)$ $=>$ $vec(H^-) xx hat(u_z) = vec(H_t^-) xx hat(u_z)$
sostituendo quindi nella condizione al contorno precedente si ottiene,
$(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [ H^- xx hat(u_z)] = hat(u_z) xx E^-] $
$(R_s(1+j)) H_t^- = hat(u_z) xx E^- $
ma dato che si è visto precedentemente $hat(u_z) xx H^+ = hat(u_z) xx H^-$ è trascurabile l'apice e dunque in definitiva si ottiene:
$(R_s(1+j)) H_t = hat(u_z) xx vec(E)$
questo sono le relazioni di Leontovich, generalizzate per tutti i tipi di conduttore. Ancora più generali di questa c'è la condizione di impedenza ovvero:
$n xx E = Z H_t$
e di ammettenza correggetemi se la sbaglio:
$n xx H = - Y E_t $
Si è visto in precedenza che per i buon conduttori si può scrivere:
$E = vec(p)A(e^((-jz)/delta))(e^((-z/delta)))$
$H = vec(u) xx vec(p) (A/(R_s(1+j))) (e^((-jz)/delta))(e^((-z/delta)))$
con $vec(u)vec(r) = vec(u_z)vec(r) = z$
ora semplificando e considerando $vec(s) = vec(u)vec(r)$
$E = vec(p)A(e^((-js)/delta))(e^((-s/delta)))$
$H = hat(u) xx vec(p) (A/(R_s(1+j))) (e^((-js)/delta))(e^((-s/delta)))$
se $z = 0$ significa che $s = 0$ per cui:
$E = vec(p)A$
$H = hat(u) xx vec(p) (A/(R_s(1+j)))$
e quindi
$H_z = hat(u_z) xx vec(p) (A/(R_s(1+j)))$ per $delta = 0$
dove $vec(u_z) xx vec(p)$ è ortogonale a zeta che si trovia nel piano di separazione tra i due mezzi. Inoltre $H$ è puramente tangenziale:
per $delta = 0^+$
$H_t^+ = hat(u_z) xx vec(p) (A/(R_s(1+j)))$
$E^+ = vec(p)A$
dalla prima si ricava che
$H_t^+ xx vec(u_z) = vec(u_z) xx vec(p) (A/(R_s(1+j))) xx hat(u_z)$
$H_t^+ xx vec(u_z) = vec(p) (A/(R_s(1+j)))$ e quindi $(R_s(1+j))H_t^+ xx hat(u_z) = vec(p) (A)$
sostituendo nella relazione di E
$E^+ = (R_s(1+j))H_t^+ xx hat(u_z)$
imponendo le condizioni al contorno di continuità per i campi:
$hat(n) xx (E^+ - E^-) = 0$
sostituendo la relazione ricavata su
$hat(u_z) xx [((R_s(1+j))H_t^+ xx hat(u_z) - E^-] = 0$
$(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [H_t^+ xx hat(u_z) - E^-] = 0$
$(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [H_t^+ xx hat(u_z)] - hat(u_z) xx E^- = 0$
da cui $(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [H_t^+ xx hat(u_z)] = hat(u_z) xx E^-] $
ma $hat(u_z) xx H^+ = hat(u_z) xx H^-$
dunque $(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [ H^- xx hat(u_z)] = hat(u_z) xx E^-] $
ma $H^-$, al contrario di $H^+$ ha componenti solo trasverse e lungo z, perché non sappiamo da dove proviene (è giusto ho capito bene?) quindi:
$vec(H^-) = vec(H_t^-) + (H_z^-) hat(u_z)
per cui $vec(H^-) xx (hat(u_z)) = vec(H_t^-) xx hat(u_z) + H_z^- (hat(u_z)) xx hat(u_z)$ $=>$ $vec(H^-) xx hat(u_z) = vec(H_t^-) xx hat(u_z)$
sostituendo quindi nella condizione al contorno precedente si ottiene,
$(R_s(1+j)) hat(u_z) xx [ H^- xx hat(u_z)] = hat(u_z) xx E^-] $
$(R_s(1+j)) H_t^- = hat(u_z) xx E^- $
ma dato che si è visto precedentemente $hat(u_z) xx H^+ = hat(u_z) xx H^-$ è trascurabile l'apice e dunque in definitiva si ottiene:
$(R_s(1+j)) H_t = hat(u_z) xx vec(E)$
questo sono le relazioni di Leontovich, generalizzate per tutti i tipi di conduttore. Ancora più generali di questa c'è la condizione di impedenza ovvero:
$n xx E = Z H_t$
e di ammettenza correggetemi se la sbaglio:
$n xx H = - Y E_t $
Relativamente al penultimo post:
$|sin\theta_2|=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))||sin\theta_1|<=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))|$ perchè è il modulo del seno ad essere sempre inferiore all'unità. Poi, dall'ipotesi di buon conduttore, si ha $|\sigma/(j\omega)|>>1$ ovvero $|(j\omega)/\sigma|<$$<1$ e dunque $|sin\theta_2|$$~~0\Rightarrow\theta_2~~0$. Hai scritto tutto correttamente, mi sembra ci sia solo un problema di "causa-effetto"
$|sin\theta_2|=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))||sin\theta_1|<=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))|$ perchè è il modulo del seno ad essere sempre inferiore all'unità. Poi, dall'ipotesi di buon conduttore, si ha $|\sigma/(j\omega)|>>1$ ovvero $|(j\omega)/\sigma|<$$<1$ e dunque $|sin\theta_2|$$~~0\Rightarrow\theta_2~~0$. Hai scritto tutto correttamente, mi sembra ci sia solo un problema di "causa-effetto"
"K.Lomax":
Relativamente al penultimo post:
$|sin\theta_2|=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))||sin\theta_1|<=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))|$ perchè è il modulo del seno ad essere sempre inferiore all'unità. Poi, dall'ipotesi di buon conduttore, si ha $|\sigma/(j\omega)|>>1$ ovvero $|(j\omega)/\sigma|<$$<1$ e dunque $|sin\theta_2|$$~~0\Rightarrow\theta_2~~0$. Hai scritto tutto correttamente, mi sembra ci sia solo un problema di "causa-effetto"
scusami non ho capito. Forse ho anticipato qualcosa mi sa?
"Ahi":
dunque:
$|sin\theta_2|=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))||sin\theta_1|<=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))|$
questo perché si è visto che per un buon conduttore.....
Questo non è vero perchè c'è l'ipotesi di buon conduttore, ma perchè è il modulo del seno ad essere sempre inferiore a 1.
"K.Lomax":
[quote="Ahi"]dunque:
$|sin\theta_2|=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))||sin\theta_1|<=|\sqrt((j\omega)/(\sigma))|$
questo perché si è visto che per un buon conduttore.....
Questo non è vero perchè c'è l'ipotesi di buon conduttore, ma perchè è il modulo del seno ad essere sempre inferiore a 1.[/quote]
sì è vero, grazie per la correzione. Ora miglioro le formule per l'ultimo post su Leontovic. Che credo non si capisca molto in alcuni punti.
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