Differenza tra ds e dr
Salve!1
Volevo sapere concettualmente quale fosse la differenza tra le due grandezze vettoriali e infinitesime $ dvecs $ e $ dvecr $.
Ad esempio il mio libro definisce il vettore $ vecr $ come il vettore posizione,ovvero quel vettore che stabilito una terna cartesiana dall'origine punta verso il punto P in questione.
Poi però in generale sapevo che il lavoro fosse il prodotto di una forza per uno spostamento e dunque nella formula integrale mi aspettavo un $ dvecr $ ,cioè una variazione infinitesima di posizione ma invece mi ritrovo la seguente espressione:
$ w=int_a^bvecF*dvecs $
Dove considera il lavoro di una forza F lungo una curva.
Ora c'è differenza tra $ dvecr $ e $ dvecs $ o sono la stessa cosa?? Ah inoltre ho notato che in generale mentre $ vecr $ lo definisce ,il vettore $ vecs $ non compare mai ma appunto compare talvolta il suo infinitesimo $ dvecs $...(spesso negli integrali)
Grazie.
Volevo sapere concettualmente quale fosse la differenza tra le due grandezze vettoriali e infinitesime $ dvecs $ e $ dvecr $.
Ad esempio il mio libro definisce il vettore $ vecr $ come il vettore posizione,ovvero quel vettore che stabilito una terna cartesiana dall'origine punta verso il punto P in questione.
Poi però in generale sapevo che il lavoro fosse il prodotto di una forza per uno spostamento e dunque nella formula integrale mi aspettavo un $ dvecr $ ,cioè una variazione infinitesima di posizione ma invece mi ritrovo la seguente espressione:
$ w=int_a^bvecF*dvecs $
Dove considera il lavoro di una forza F lungo una curva.
Ora c'è differenza tra $ dvecr $ e $ dvecs $ o sono la stessa cosa?? Ah inoltre ho notato che in generale mentre $ vecr $ lo definisce ,il vettore $ vecs $ non compare mai ma appunto compare talvolta il suo infinitesimo $ dvecs $...(spesso negli integrali)
Grazie.
Risposte
$ds$ è lo spostamento infinitesimo.
Mah, qui si va su questioni più formali che sostanziali, magari consolidate dall'uso più che giustificate da una ragione teorica.
Di solito la lettera s si utilizza per l'ascissa curvilinea, ovvero la lunghezza di un cammino lungo una curva ben precisa. In tal caso ds è una distanza infinitesima lungo questa curva preassegnata, mentre il vettore ds è il vettore infinitesimo tangente alla suddetta curva, lungo ds.
Dunque se si vuole calcolare il lavoro effettuato da una forza lungo la curva assegnata, l'integrale è quello che hai scritto.
Si potrebbe anche scrivere dr, in realtà, però sarebbe una dicitura più generica riferita a uno spostamento teorico nello spazio, quindi non necessariamente effettuato lungo il cammino predefinito dalla curva assegnata.
Ma sono sottigliezze credo, in realtà le due diciture sono sovrapponibili, basta che sia chiaro il contesto nel quale viene fatto l'integrale.
Di solito la lettera s si utilizza per l'ascissa curvilinea, ovvero la lunghezza di un cammino lungo una curva ben precisa. In tal caso ds è una distanza infinitesima lungo questa curva preassegnata, mentre il vettore ds è il vettore infinitesimo tangente alla suddetta curva, lungo ds.
Dunque se si vuole calcolare il lavoro effettuato da una forza lungo la curva assegnata, l'integrale è quello che hai scritto.
Si potrebbe anche scrivere dr, in realtà, però sarebbe una dicitura più generica riferita a uno spostamento teorico nello spazio, quindi non necessariamente effettuato lungo il cammino predefinito dalla curva assegnata.
Ma sono sottigliezze credo, in realtà le due diciture sono sovrapponibili, basta che sia chiaro il contesto nel quale viene fatto l'integrale.
In termini matematici hai che \(\mathbf{r}\colon I\to\mathbb{R}^3\) e \(s\) è la parametrizzazione della curva (in genere è l'ascissa curvilinea). Ovvero hai \(\mathbf{r}(v)\). Spesso con \(\mathbf{r}\) si intende anche il vettore posizione di \(\mathbb{R}^3\) e può essere visto come la proiezione su \(\mathbb{R}^3\) dell'oriented frame bundle \(\displaystyle E(3) \) o \(\mathcal{F}(\mathbb{R}^3)\) se preferisci. Per distinguerli uso \(\mathbf{x}\) per il secondo e \(\mathbf{r}\) per il primo significato.
In ogni caso \(\displaystyle d\mathbf{x} \) è una \(1\)-forma differenziale a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). La puoi pensare come \(\displaystyle d\mathbf{x} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \) o \(\displaystyle d\mathbf{x} = \mathbf{i}\otimes dx + \mathbf{j}\otimes dy + \mathbf{k}\otimes dz \). Per capirci meglio hai che \(\displaystyle F d\mathbf{x} = \begin{pmatrix} F dx \\ F dy \\ F dz \end{pmatrix} \) per ogni \(\displaystyle F\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = F_x dx + F_y dy + F_z dz \) per ogni \(\displaystyle F\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \).
Al contrario invece \(\displaystyle ds \) è il pullback di \(\displaystyle d\mathbf{x} \) tramite la funzione \(\mathbf{r}\). Quindi formalmente si avrebbe che \(\displaystyle w = \int_{a}^{b} \mathbf{r}^{*}(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}) = \int_{a}^{b} (\mathbf{F}\circ \mathbf{r})\cdot \mathbf{r}^{*}d\mathbf{x} = \int_{a}^{b} (\mathbf{F}\circ \mathbf{r})\cdot ds \).
Non so quanto possa esserti di aiuto però.
In ogni caso \(\displaystyle d\mathbf{x} \) è una \(1\)-forma differenziale a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). La puoi pensare come \(\displaystyle d\mathbf{x} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \) o \(\displaystyle d\mathbf{x} = \mathbf{i}\otimes dx + \mathbf{j}\otimes dy + \mathbf{k}\otimes dz \). Per capirci meglio hai che \(\displaystyle F d\mathbf{x} = \begin{pmatrix} F dx \\ F dy \\ F dz \end{pmatrix} \) per ogni \(\displaystyle F\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = F_x dx + F_y dy + F_z dz \) per ogni \(\displaystyle F\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \).
Al contrario invece \(\displaystyle ds \) è il pullback di \(\displaystyle d\mathbf{x} \) tramite la funzione \(\mathbf{r}\). Quindi formalmente si avrebbe che \(\displaystyle w = \int_{a}^{b} \mathbf{r}^{*}(\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}) = \int_{a}^{b} (\mathbf{F}\circ \mathbf{r})\cdot \mathbf{r}^{*}d\mathbf{x} = \int_{a}^{b} (\mathbf{F}\circ \mathbf{r})\cdot ds \).
Non so quanto possa esserti di aiuto però.
Grazie!!
Dunque per farla semplice e non incasinarmi troppo è giusto interpretare $ dvecs $ ,che appare nella formula integrale del lavoro di una forza lungo una curva, come un vettore tangente in ogni punto alla curva e il cui modulo,se cosi si può dire, mi rappresenta la lunghezza infinitesima di un segmentino sulla curva in questione??
Dunque per farla semplice e non incasinarmi troppo è giusto interpretare $ dvecs $ ,che appare nella formula integrale del lavoro di una forza lungo una curva, come un vettore tangente in ogni punto alla curva e il cui modulo,se cosi si può dire, mi rappresenta la lunghezza infinitesima di un segmentino sulla curva in questione??
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