Differenza integrale di linea e integrale di superficie?

[Piex89]

Non riesco a capire nelle applicazioni fisiche quale sia la differenza tra questi due integrali.

Per esempio se devo calcolare il flusso attraverso una superficie si usa l'integrale di superficie, mentre per il flusso attraverso una superficie chiuso si usa l'integrale di linea.

Preciso che non possiedo ancora nozioni di analisi II, mi servirebbe solo una spiegazione "brutale" e abbastanza intuibile. Grazie mille ^^

[Falco5x]

Siccome io ho idee abbastanza brutali sull'argomento vedo di risponderti brutalmente come hai chiesto, sperando che qualche matematico non mi bacchetti.
Non capisco perché dici che il flusso attraverso una superficie chiusa si calcola con un integrale di linea. Che vuoi dire?

Allora: il flusso attraverso una superficie si calcola con un integrale di superficie, menre l'integrale di linea si calcola lungo una linea ed è una cosa del tutto diversa.

Non so se ci prendo, ma la tua confusione deriva forse dal teorema di Stokes?
Nel caso di un campo vettoriale, dopo aver definito in un certo modo il rotore di questo campo (che è anche lui un campo vettoriale), Stokes dice che il flusso del rotore attraverso una superficie è uguale alla circuitazione del campo originario (integrale di linea lungo una linea chiusa) lungo il contorno di questa superficie. Da cui deriva che se il contorno si riduce a un punto perché la superficie è chiusa, la circuitazione del campo lungo il contorno è nulla, dunque il flusso del rotore di questo campo attraverso una superficie chiusa è sempre zero.

Se la circuitazione del campo lungo una qualsiasi linea chiusa è sempre zero, come ad esempio nel caso del campo elettrostatico visto che è definibile una funzione potenziale, allora siamo certi che il rotore del campo elettrostatico è nullo dappertutto, perché il flusso del rotore attraverso una superficie che si appoggia su tale linea chiusa di contorno è zero per il teorema di Stokes, dunque data l'arbitrarietà della superficie scelta si deduce che il rotore deve essere identicamente nullo dappertutto.

Però se non ci ho preso ho forse aumentato il casino che hai in testa.
Fammi sapere.
Ciao

[Piex89]

Innanzitutto grazie per aver risposto

In effetti non ho mai sentito parlare di questo teorema di Stokes xD ripeto, non ho nozioni di analisi II.

In pratica ti spiego come è nato il mio dubbio; mettiamo il caso di un campo magnetico. Il mio libro afferma che il flusso attraverso una superficie si calcola con l'integrale di superficie, mentre il flusso attraverso una superficie CHIUSA si calcola con l'integrale di linea ( ed è nullo). E fin qui tutto ok, mi ero fatto un'idea più o meno astratta della situazione non avendo ancora le competenze per comprenderla analiticamente. Poi ho studiato la legge della circuitazione di Ampère, e qui trovo che la circuitazione si calcola con un integrale di linea ed è qui che sorge il mio dubbio: la circuitazione non è una superficie chiusa, è come se la corrente attraversasse una superficie.

Probabilmente sto dicendo un mare di cazzate, per questo ho bisogno di queste delucidazioni
ti ringrazio in anticipo

[Falco5x]

"Piex89":il flusso attraverso una superficie CHIUSA si calcola con l'integrale di linea ( ed è nullo). E fin qui tutto ok,

ma manco per niente!
il flusso si calcola con un integrale di superficie, a meno che, ripeto, non si tratti del flusso di un rotore, il quale allora si può calcolare sia con l'integrale di superficie del suddetto rotore, oppure con l'integrale di linea del campo originario sul contorno della superficie stessa.

"Piex89":mi ero fatto un'idea più o meno astratta della situazione non avendo ancora le competenze per comprenderla analiticamente. Poi ho studiato la legge della circuitazione di Ampère, e qui trovo che la circuitazione si calcola con un integrale di linea ed è qui che sorge il mio dubbio: la circuitazione non è una superficie chiusa, è come se la corrente attraversasse una superficie.

Secondo la legge di Ampere la circuitazione del campo magnetico B lungo una curva chiusa è uguale alla corrante totale che attraversa una qualsiasi superficie che ha quella curva come contorno (moltiplicata per la permeabilità magnetica).
Questo accade proprio perché in situazione statica la densità di corrente è il rotore del campo magnetico (diviso per la permeabilità), e quindi è ancora una volta quello che dice Stokes. Però sono integrali fatti su due vettori diversi.