Differenza di potenziale tra gusci sferici
Salve a tutti,
ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi daranno una mano.
Non riesco a risolvere il seguente esercizio.
Tre conduttori $C_!$,$C_2$,$C_3$ sferici, cavi, concentrici, molto sottili, hanno rispettivamente raggi $R_1=5 cm$,$R_2=10 cm$, $R_3=20 cm$.
Una carica positiva $q_1=0.5*10^(-8) C$ viene trasferita a $C_1$, una carica negativa $q_2=-4.5*10^(-8) C$ a $C_2$ e una carica positiva $q_3=6*10^(-8) C$ a $C_3$.
Calcolare la differenza di potenziale $V_3-V_1$ tra i conduttori $C_3$ e $C_1$.
Io ho proceduto nel seguente modo.
A causa dell'induzione elettrostatica sulla superficie di $C_1$ abbiamo una carica $q_1$.
Sulla superficie interna di $C_2$ una carica $-q_1$.
Sulla superficie esterna di $C_2$ una carica $q_1+q_2$.
Sulla superficie interna di $C_3$ una carica $-(q_1+q_2)$.
Sulla superficie esterna di $C_3$ una carica $q_3+q_1+q_2$
A questo punto leggendo le soluzioni del libro non riesco a capire perchè procede in questo modo.
$V_3-V_1=(V_3-V_2)+(V_2-V_1)=(q_1+q_2)/(4\pi\epsilon_0)*(1/R_3-1/R_2)+q_1/(4\pi\epsilon_0)*(1/R_2-1/R_1)$
La cosa che non riesco proprio a capire è perchè non ha calcolato direttamente $V_3$ e $V_1$ e perchè devo considera quelle cariche $(q_1+q_2)$ e $q_1$.
ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi daranno una mano.
Non riesco a risolvere il seguente esercizio.
Tre conduttori $C_!$,$C_2$,$C_3$ sferici, cavi, concentrici, molto sottili, hanno rispettivamente raggi $R_1=5 cm$,$R_2=10 cm$, $R_3=20 cm$.
Una carica positiva $q_1=0.5*10^(-8) C$ viene trasferita a $C_1$, una carica negativa $q_2=-4.5*10^(-8) C$ a $C_2$ e una carica positiva $q_3=6*10^(-8) C$ a $C_3$.
Calcolare la differenza di potenziale $V_3-V_1$ tra i conduttori $C_3$ e $C_1$.
Io ho proceduto nel seguente modo.
A causa dell'induzione elettrostatica sulla superficie di $C_1$ abbiamo una carica $q_1$.
Sulla superficie interna di $C_2$ una carica $-q_1$.
Sulla superficie esterna di $C_2$ una carica $q_1+q_2$.
Sulla superficie interna di $C_3$ una carica $-(q_1+q_2)$.
Sulla superficie esterna di $C_3$ una carica $q_3+q_1+q_2$
A questo punto leggendo le soluzioni del libro non riesco a capire perchè procede in questo modo.
$V_3-V_1=(V_3-V_2)+(V_2-V_1)=(q_1+q_2)/(4\pi\epsilon_0)*(1/R_3-1/R_2)+q_1/(4\pi\epsilon_0)*(1/R_2-1/R_1)$
La cosa che non riesco proprio a capire è perchè non ha calcolato direttamente $V_3$ e $V_1$ e perchè devo considera quelle cariche $(q_1+q_2)$ e $q_1$.
Risposte
"Danilo90":
...La cosa che non riesco proprio a capire è perchè non ha calcolato direttamente $V_3$ e $V_1$
Direttamente poteva essere calcolato solo V3, non V1 (se intendi con la classica relazione), si poteva anche considerare a potenziale nullo V1 o V3 ma poi il potenziale V3 o V1 non sarebbero stati semplici da determinare; la soluzione del testo ha preferito vedere il sistema come "serie" di due condensatori sferici, usando direttamente la relazione che lega la capacità ai reciproci dei raggi; in questo modo si sono risparmiati un paio di integrali.
"Danilo90":
...e perchè devo considera quelle cariche $(q_1+q_2)$ e $q_1$.
Perché quelle due sono appunto le cariche relative ai due condensatori che si possono considerare "in serie" e di conseguenza la tensione totale somma delle due tensioni parziali.
$V_{ij}=Q_i/C_{ij}$
Una soluzione becera, più o meno equivalente agli integrali, può consistere nello scrivere il potenziale, la cui forma generale per gusci sferici è nota, imponendo la continuità alle superfici (le scrivo in cgs che mi esenta da vari $\4 \pi \epsilon_0$):
\begin{equation}
\phi(r)
= \begin{cases} V_1 &\mbox{} 0 \le r \le R_1 \\
V_1 + \frac{q_1}{r} - \frac{q_1}{R_1} & \mbox{} R_1 \le r \le R_2 \\
V_1 + \frac{q_1}{R_2} - \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_1+q_2}{r} - \frac{q_1+q_2}{R_2}& \mbox{} R_2 \le r \le R_3 \\
\text{non serve} & \mbox{} R_3 \le r
\end{cases}
\end{equation}
da cui
$V_3 - V_1 = phi(R_3) - V_1 = \frac{q_1}{R_2} - \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_1+q_2}{R_3} - \frac{q_1+q_2}{R_2}$
\begin{equation}
\phi(r)
= \begin{cases} V_1 &\mbox{} 0 \le r \le R_1 \\
V_1 + \frac{q_1}{r} - \frac{q_1}{R_1} & \mbox{} R_1 \le r \le R_2 \\
V_1 + \frac{q_1}{R_2} - \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_1+q_2}{r} - \frac{q_1+q_2}{R_2}& \mbox{} R_2 \le r \le R_3 \\
\text{non serve} & \mbox{} R_3 \le r
\end{cases}
\end{equation}
da cui
$V_3 - V_1 = phi(R_3) - V_1 = \frac{q_1}{R_2} - \frac{q_1}{R_1} + \frac{q_1+q_2}{R_3} - \frac{q_1+q_2}{R_2}$
Vi ringrazio per le risposte.
Ma ho un dubbio.
Non ho ben capito come mai utilizza quelle cariche per il calcolo di V3 - V2 mi dice che la carica su quei gusci è q1+q2 a meno che non considera carica interna di C3 e carica esterna di C2.
Ma se C3 e C2 hanno cariche diverse come fa a considerarli come condensatori in serie?
Ma di quali cariche bisogna tener conto quelle del raggio interno o esterno?
Ma ho un dubbio.
Non ho ben capito come mai utilizza quelle cariche per il calcolo di V3 - V2 mi dice che la carica su quei gusci è q1+q2 a meno che non considera carica interna di C3 e carica esterna di C2.
Ma se C3 e C2 hanno cariche diverse come fa a considerarli come condensatori in serie?
Ma di quali cariche bisogna tener conto quelle del raggio interno o esterno?
"Danilo90":
... Non ho ben capito come mai utilizza quelle cariche per il calcolo di V3 - V2 mi dice che la carica su quei gusci è q1+q2 a meno che non considera carica interna di C3 e carica esterna di C2.
Ovviamente, e mi sembrava di averlo anche già detto.
"Danilo90":
...Ma se C3 e C2 hanno cariche diverse come fa a considerarli come condensatori in serie?
Due condensatori topologicamente "in serie", non devono per forza avere le stesse cariche sulle loro armature, qualora la loro carica non sia stata ottenuta a partire da entrambi scarichi attraverso una tensione applicata agli estremi della loro serie.
E questo è proprio il caso nel quale "la carica" delle armature è stata ottenuta diciamo individuale.
"Danilo90":
... Ma di quali cariche bisogna tener conto quelle del raggio interno o esterno?
Un condensatore consiste di due armature conduttrici affacciate su un'intercapedine isolante e di conseguenza il primo condensatore lo possiamo "vedere" costituito dalla superficie esterna di C1 e da quella interna di C2 (le sue due armature) mentre il secondo dalla superficie esterna di C2 e da quella interna di C3.
A dire il vero ce ne sarebbe un'altro ancora in serie ai primi due, ... quale?
Quello tra esterno c3 e l infinito. Ma essendo il potenziale all infinito nullo v3 dovrebbe essere pari a [-k*(q1+q2+q3)]/R3.
Dovrebbe essere negativa dato che v all infinito è nullo.
Esatto?
Dovrebbe essere negativa dato che v all infinito è nullo.
Esatto?
"Danilo90":
Quello tra esterno c3 e l infinito. Ma essendo il potenziale all infinito nullo v3 dovrebbe essere pari a [-k*(q1+q2+q3)]/R3.
Segno a parte, ok.
"Danilo90":
Dovrebbe essere negativa dato che v all infinito è nullo.
Esatto?
Non vedo perché V3 dovrebbe essere negativo, visto che la carica q1+q2+q3 è positiva (+20nC).
Giusto. Quello che ho calcolato era delta v.
Scusami e grazie
Scusami e grazie
Per quanto riguarda il campo elettrostatico di una lastra metallica indefinita non capisco perché in questo problema
viewtopic.php?t=133803
Viene sigma/epsilon e non fratto 2 epsilon.
Scusate se vi linko il problema ma vorrei mi rispondeste voi. Quel post è troppo vecchio e non ho neanche la possibilità di scrivere tutto il testo.
Grazie
viewtopic.php?t=133803
Viene sigma/epsilon e non fratto 2 epsilon.
Scusate se vi linko il problema ma vorrei mi rispondeste voi. Quel post è troppo vecchio e non ho neanche la possibilità di scrivere tutto il testo.
Grazie
"Danilo90":
... non capisco perché in questo problema...
Viene sigma/epsilon e non fratto 2 epsilon.
Semplicemente perché si tratta di una lastra conduttrice e non isolante; prova ad applicare Gauss.
Cosa cambia tra conduttrice e isolante?
Se fosse isolante avrei densità di carica diverse su ogni faccia della lastra?
Se fosse isolante avrei densità di carica diverse su ogni faccia della lastra?
"Danilo90":
Cosa cambia tra conduttrice e isolante?
Beh, penso che ce ne sia tanta di differenza, no?
"Danilo90":
Se fosse isolante avrei densità di carica diverse su ogni faccia della lastra?
Potrebbe anche essere, dipende dalla lastra, comunque per "lastra" si intende normalmente un solido esteso di ridotto spessore s e, se non altrimenti specificato, quando si parla di densità di carica ci si riferisce a quella equivalente complessiva relativa al volume associato alla superficie unitaria.
[fcd="la differenza"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
RV 36 31 136 34 0
RV 35 76 136 83 0
RV 83 40 100 25 0
RV 83 80 100 71 0
TY 20 20 4 3 0 0 0 * Lastra isolante
TY 20 67 4 3 0 0 0 * Lastra conduttrice
LI 92 25 92 16 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 92 40 92 49 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 92 71 92 62 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 120 25 4 3 0 1 0 * σ
TY 120 70 4 3 0 1 0 * σ
TY 45 79 4 3 0 1 2 * +
TY 55 79 4 3 0 1 2 * +
TY 65 79 4 3 0 1 2 * +
TY 125 30 4 3 0 1 2 * +
TY 65 30 4 3 0 1 2 * +
TY 85 30 4 3 0 1 2 * +
TY 45 30 4 3 0 1 2 * +
TY 95 30 4 3 0 1 2 * +
TY 125 79 4 3 0 1 2 * +
TY 45 75 4 3 0 1 2 * +
TY 55 75 4 3 0 1 2 * +
TY 65 75 4 3 0 1 2 * +
TY 75 75 4 3 0 1 2 * +
TY 85 75 4 3 0 1 2 * +
TY 95 75 4 3 0 1 2 * +
TY 105 75 4 3 0 1 2 * +
TY 115 75 4 3 0 1 2 * +
TY 125 75 4 3 0 1 2 * +
TY 75 79 4 3 0 1 2 * +
TY 85 79 4 3 0 1 2 * +
TY 105 30 4 3 0 1 2 * +
TY 95 79 4 3 0 1 2 * +
TY 75 30 4 3 0 1 2 * +
TY 105 79 4 3 0 1 2 * +
TY 115 30 4 3 0 1 2 * +
TY 115 79 4 3 0 1 2 * +
TY 55 30 4 3 0 1 2 * +[/fcd]
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