Differenza di potenziale tra centro e superficie della sfera
Salve,
avrei un problema con quest'esercizio.
In una sfera cava con raggio interno R1 = 10cm e raggio esterno R2 = 20cm è distribuita una carica con densità uniforme ρ = 26.58x10^-8 C/m^3. Determinare l'espressione di E(r). Quanto vale la ddp V tra il centro della sfera e la superficie esterna?
Io in primis ho calcolato con il teorema di Gauss il campo elettrico all'esterno della sfera.
$ E(4\pir^2) = \frac{q}{\epsilon_0}$
Ma siccome so che c'è una densità di carica uniforme:
$ q = \rho4\pi(R_2-R_1)^3 $
Il campo elettrico vale:
$ E = \frac{\rho(R_2-R_1)^3}{3\epsilon_0r^2} $
Per il calcolo del potenziale:
$ V = - \int_0^r E dr$
Ma il fatto che ci sia una r al denominatore mi porta ad una conclusione del tipo 1/0. Come devo procedere?
Fino ad adesso è tutto ok?
avrei un problema con quest'esercizio.
In una sfera cava con raggio interno R1 = 10cm e raggio esterno R2 = 20cm è distribuita una carica con densità uniforme ρ = 26.58x10^-8 C/m^3. Determinare l'espressione di E(r). Quanto vale la ddp V tra il centro della sfera e la superficie esterna?
Io in primis ho calcolato con il teorema di Gauss il campo elettrico all'esterno della sfera.
$ E(4\pir^2) = \frac{q}{\epsilon_0}$
Ma siccome so che c'è una densità di carica uniforme:
$ q = \rho4\pi(R_2-R_1)^3 $
Il campo elettrico vale:
$ E = \frac{\rho(R_2-R_1)^3}{3\epsilon_0r^2} $
Per il calcolo del potenziale:
$ V = - \int_0^r E dr$
Ma il fatto che ci sia una r al denominatore mi porta ad una conclusione del tipo 1/0. Come devo procedere?
Fino ad adesso è tutto ok?
Risposte
Sono giunto a questa conclusione.
Siccome E=0 al centro del guscio sferico e V= costante, posso dire che V al centro della sfera è uguale a V a distanza R1 dal centro.
Posso quindi svolgere l'integrale
$ V = - \int_(R_2)^(R_1) E dr $
e quest'ultimo fa
$ \frac{\rho(R_2-R_1)^3}{3\epsilon_0} (\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}) $
alla fine V = -50V.
E' corretto?
Grazie
Siccome E=0 al centro del guscio sferico e V= costante, posso dire che V al centro della sfera è uguale a V a distanza R1 dal centro.
Posso quindi svolgere l'integrale
$ V = - \int_(R_2)^(R_1) E dr $
e quest'ultimo fa
$ \frac{\rho(R_2-R_1)^3}{3\epsilon_0} (\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_1}) $
alla fine V = -50V.
E' corretto?
Grazie
"cseil":
E' corretto?
I calcoli numerici non so ma l'impostazione secondo me sì.
"cseil":
E' corretto?
Direi proprio di no in quanto la carica q da considerare è solo quella interna alla generica superficie sferica di raggio r.
Numerosi poi gli errori nella formulazione: mancanza del 3 a denominatore di q, cubo della differenza fra i raggi, scambio estremi integrazione.
Hai ragione, RenzoDF! Ho guardato troppo di corsa, mea culpa.
Provo a riscattarmi dallo svarione che ho preso (invoco l'attenuante di una nevralgia al trigemino che mi sta stonando).
Il campo $E(r)$ va espresso in funzione di $r$ in tre tratti diversi:
- per $r
- per $R_1<=r
- per $r>=R_2$ il campo corrisponde a quello coulombiano (prodotto da una carica $rho*4/3 pi (R_2^3-R_1^3)$.
La d.d.p. tra centro e superficie esterna la calcoli come $V(0)-V(R_2)=int_0^(R_2)E(r)dr$;
dato l'annullarsi del campo per $r
Salvo ovviamente ulteriori miei errori.
Il campo $E(r)$ va espresso in funzione di $r$ in tre tratti diversi:
- per $r
- per $R_1<=r
- per $r>=R_2$ il campo corrisponde a quello coulombiano (prodotto da una carica $rho*4/3 pi (R_2^3-R_1^3)$.
La d.d.p. tra centro e superficie esterna la calcoli come $V(0)-V(R_2)=int_0^(R_2)E(r)dr$;
dato l'annullarsi del campo per $r
Salvo ovviamente ulteriori miei errori.
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