Differenza di Potenziale elettrostatico e gradiente!
Salve ragazzi. Oggi mi sono imbattuto nella definizione di differenza di potenziale sul mio libro :
$V(b) - V(a) = $ $-\int_a^bEdx$
Mi servirebbe capire bene il significato di questa formula dato che concettualmente non mi è molto chiara.
Di conseguenza vorrei capire bene il perchè $E = - $ $\gradV$ , e come si puo' intendere il gradiente stesso.
ringrazio tutti in anticipo
$V(b) - V(a) = $ $-\int_a^bEdx$
Mi servirebbe capire bene il significato di questa formula dato che concettualmente non mi è molto chiara.
Di conseguenza vorrei capire bene il perchè $E = - $ $\gradV$ , e come si puo' intendere il gradiente stesso.
ringrazio tutti in anticipo
Risposte
Partiamo dalla prima equazione di Maxwell:
[tex]\nabla\times\underline{e}(\underline{r},t)=-\frac{\partial\underline{B}}{\partial t}[/tex]
Nell'ipotesi di staticità questa diventa:
[tex]\nabla\times\underline{e}(\underline{r})=0[/tex] (1)
Ovvero il campo elettrico è irrotazionale. Per il lemma di Poincarè questa condizione è sufficiente per dire che il campo è anche conservativo (purchè l'aperto in cui è definito sia stellato). Ma un campo conservativo per definizione ammette potenziale, chiamiamolo [tex]v(\underline{r})[/tex]. In particolare si ha:
[tex]\underline{e}(\underline{r})=-\nabla v(\underline{r})[/tex]
(il segno meno lo scegliamo noi per convenzione). Dalla (1), però possiamo applicare il teorema di Stokes, per cui si ha
[tex]\displaystyle\int_C\underline{e}(\underline{r})\cdot d\hat{c}=0[/tex]
che, per quanto detto prima, rappresenta la condizione necessaria e sufficiente perchè un campo sia conservativo. Questa condizione equivale a dire che l'integrale non deve dipendere dal cammino (se la posizione di partenza e di arrivo è la stessa l'integrale si annulla indipendentemente da quale percorso compio per tornare al punto di partenza). Quindi fissati due punti nello spazio individuati dai vettori posizione [tex]\underline{r}_1[/tex] e [tex]\underline{r}_2[/tex] si ha:
[tex]v(\underline{r}_2)-v(\underline{r}_1)=\displaystyle\int_{\underline{r}_1}^{\underline{r}_2}\underline{e}(\underline{r})\cdot d\hat{c}[/tex]
[tex]\nabla\times\underline{e}(\underline{r},t)=-\frac{\partial\underline{B}}{\partial t}[/tex]
Nell'ipotesi di staticità questa diventa:
[tex]\nabla\times\underline{e}(\underline{r})=0[/tex] (1)
Ovvero il campo elettrico è irrotazionale. Per il lemma di Poincarè questa condizione è sufficiente per dire che il campo è anche conservativo (purchè l'aperto in cui è definito sia stellato). Ma un campo conservativo per definizione ammette potenziale, chiamiamolo [tex]v(\underline{r})[/tex]. In particolare si ha:
[tex]\underline{e}(\underline{r})=-\nabla v(\underline{r})[/tex]
(il segno meno lo scegliamo noi per convenzione). Dalla (1), però possiamo applicare il teorema di Stokes, per cui si ha
[tex]\displaystyle\int_C\underline{e}(\underline{r})\cdot d\hat{c}=0[/tex]
che, per quanto detto prima, rappresenta la condizione necessaria e sufficiente perchè un campo sia conservativo. Questa condizione equivale a dire che l'integrale non deve dipendere dal cammino (se la posizione di partenza e di arrivo è la stessa l'integrale si annulla indipendentemente da quale percorso compio per tornare al punto di partenza). Quindi fissati due punti nello spazio individuati dai vettori posizione [tex]\underline{r}_1[/tex] e [tex]\underline{r}_2[/tex] si ha:
[tex]v(\underline{r}_2)-v(\underline{r}_1)=\displaystyle\int_{\underline{r}_1}^{\underline{r}_2}\underline{e}(\underline{r})\cdot d\hat{c}[/tex]
Partire dall'equazione di maxwell non è molto buona come idea, visto che si sta parlando di potenziale elettrostatico...
Io proverei a fare l analogia con il campo gravitazionale...
Partiamo dal lavoro nel campo G avevi l'energia potenziale data da H=mgh..con h altezza dal suolo e g (acc gravitazionale)..
Ora passiamo al campo elettrostatico..qui il lavoro sarà dato da L=qEx..con qE=Forza columiana x=spostamento...
passando alla forma differenziale dL=qE(r)dr..integrando puoi portar fuori il termine carica e ottenere cosi:
$ qint_(a)^(b) E(r)dr $
al posto di E inserisci il termine di campo x una carica puntiforme e integrando rispetto a r ottieni una funzione che chiamiamo V(b)-V(a)..assumiamo x comodita c=0...e ottieni la formula del potenziale...
Ora moltiplicando il potenziale V(b)-V(a) o DeltaV x la carica ottinei il lavoro fatto del campo x spostare la carica...
Puoi facilmente notare che derivando rispetto a r,teta e phi, ottieni ancora il campo elettrico originale, visto che non c e dipendenza da teta e phi..
Ciao
Io proverei a fare l analogia con il campo gravitazionale...
Partiamo dal lavoro nel campo G avevi l'energia potenziale data da H=mgh..con h altezza dal suolo e g (acc gravitazionale)..
Ora passiamo al campo elettrostatico..qui il lavoro sarà dato da L=qEx..con qE=Forza columiana x=spostamento...
passando alla forma differenziale dL=qE(r)dr..integrando puoi portar fuori il termine carica e ottenere cosi:
$ qint_(a)^(b) E(r)dr $
al posto di E inserisci il termine di campo x una carica puntiforme e integrando rispetto a r ottieni una funzione che chiamiamo V(b)-V(a)..assumiamo x comodita c=0...e ottieni la formula del potenziale...
Ora moltiplicando il potenziale V(b)-V(a) o DeltaV x la carica ottinei il lavoro fatto del campo x spostare la carica...
Puoi facilmente notare che derivando rispetto a r,teta e phi, ottieni ancora il campo elettrico originale, visto che non c e dipendenza da teta e phi..
Ciao
"keroro90":
Partire dall'equazione di Maxwell non è molto buona come idea, visto che si sta parlando di potenziale elettrostatico...
Vorrei ricordare che tutta la teoria dell'elettromagnetismo (e non solo) si fonda sulle equazioni di Maxwell, quindi questa è sicuramente la cosa più corretta da fare. Che poi nei corsi di laurea di Fisica II spesso si studia prima in condizioni di staticità e soltanto dopo (verso la fine del corso o in corsi successivi) la si generalizza con campi variabili temporalmente questo è un altro discorso.
Si d'accordo che tutto l elettromagnetismo si fonda su maxwell e poissom, ma se ha appena letto del potenziale come puo gia essere a conoscenza del eq di maxwell che vengono derivate dopo aver introdotto teorema di Guass, campi magnetici?
Cerchiamo di non complicare le cose e partire dal basso...
X introdurre la funzione potenziale non è necessario introdurre maxwell e company..
Cerchiamo di non complicare le cose e partire dal basso...
X introdurre la funzione potenziale non è necessario introdurre maxwell e company..
Anche io sono con keroro, non starei a scomodare Mawell per un concetto più prettamente meccanico. Alla fine se ci pensate quel meno è solo per far si che si possa esprimere il teorema delle forze vive come un teorema di conservazione dell'energia meccanica. Mi spiego meglio. Si ha sempre che (K=energia cinetica)
[tex]\Delta K = L = \int{\left[ \vec{F}_c + \vec{F}_{nc} \right] \cdot d\vec{l}}[/tex]
se ora scriviamo (c=conservativo, nc=non conservativo)
[tex]L = L_c + L_{nc}[/tex]
porto di là e ho
(*)[tex]\Delta K - L_c = L_{nc}[/tex]
per le proprietà delle forze conservative ho che esiste una funzione scalare [tex]\phi[/tex] tale che
[tex]\Delta \phi = \int{ \vec{F}_c \cdot d\vec{l}}[/tex]
però mi conviene definire l'energia potenziale come
[tex]U = - \phi[/tex]
e dunque
[tex]\Delta U = - \int{ \vec{F}_c \cdot d\vec{l}}[/tex]
così la (*) diventa
[tex]\Delta K + \Delta U = \Delta E = L_{nc}[/tex]
così facendo definiamo l'energia meccanica nella sua forma consueta
[tex]E = K + U[/tex]
ma è una convenzione. Un mio prof ci diceva che nei corsi di Meccanica Razionale a Ingegneria usano la convenzione opposta, cioè per loro l'energia è
[tex]E = K - W[/tex]
con
[tex]\Delta W = \int{ \vec{F}_c \cdot d\vec{l}}[/tex]
In fondo è una questione di gusti...in ogni caso la convenzione più diffusa è col meno.
[tex]\Delta K = L = \int{\left[ \vec{F}_c + \vec{F}_{nc} \right] \cdot d\vec{l}}[/tex]
se ora scriviamo (c=conservativo, nc=non conservativo)
[tex]L = L_c + L_{nc}[/tex]
porto di là e ho
(*)[tex]\Delta K - L_c = L_{nc}[/tex]
per le proprietà delle forze conservative ho che esiste una funzione scalare [tex]\phi[/tex] tale che
[tex]\Delta \phi = \int{ \vec{F}_c \cdot d\vec{l}}[/tex]
però mi conviene definire l'energia potenziale come
[tex]U = - \phi[/tex]
e dunque
[tex]\Delta U = - \int{ \vec{F}_c \cdot d\vec{l}}[/tex]
così la (*) diventa
[tex]\Delta K + \Delta U = \Delta E = L_{nc}[/tex]
così facendo definiamo l'energia meccanica nella sua forma consueta
[tex]E = K + U[/tex]
ma è una convenzione. Un mio prof ci diceva che nei corsi di Meccanica Razionale a Ingegneria usano la convenzione opposta, cioè per loro l'energia è
[tex]E = K - W[/tex]
con
[tex]\Delta W = \int{ \vec{F}_c \cdot d\vec{l}}[/tex]
In fondo è una questione di gusti...in ogni caso la convenzione più diffusa è col meno.
In un'intervista a Giorgio Franceschetti:
"......Tempo fa incontrai alla UCLA il mio amico, professor Julian Schwinger premio Nobel per la fisica per le ricerche sull’elettrodinamica quantistica, mentre insegnava campi elettromagnetici e gli chiesi perché invece non insegnasse la materia per la quale aveva ottenuto il Nobel. Lui allora mi rispose: ‘Caro Giorgio perché sono convinto che chi conosce l’elettromagnetismo e le equazioni di Maxwell può fare tutto’»!....."
E' chiaro che ai fini della risposta si può partire da qualcosa di più semplice, ma io credo che sia meglio avere in mente le condizioni generali o poi specializzarle nel particolare......Non hai che da ricordare 4 equazioni (5 se tieni conto anche di quella di Lorentz).
"......Tempo fa incontrai alla UCLA il mio amico, professor Julian Schwinger premio Nobel per la fisica per le ricerche sull’elettrodinamica quantistica, mentre insegnava campi elettromagnetici e gli chiesi perché invece non insegnasse la materia per la quale aveva ottenuto il Nobel. Lui allora mi rispose: ‘Caro Giorgio perché sono convinto che chi conosce l’elettromagnetismo e le equazioni di Maxwell può fare tutto’»!....."
E' chiaro che ai fini della risposta si può partire da qualcosa di più semplice, ma io credo che sia meglio avere in mente le condizioni generali o poi specializzarle nel particolare......Non hai che da ricordare 4 equazioni (5 se tieni conto anche di quella di Lorentz).
d'accordissimo. però se uno chiede cos'è il gradiente, dubito che possa trarre una qualche utilità dalla risposta che hai dato tu. Le risposte sul forum vanno commisurate con l'esigenza di chi le pone. Lo scopo del forum è aiutare la gente a capire di più, non è un modo per dare sfoggio di quanto bene si conosce la fisica.
Ti faccio notare questo:
https://www.matematicamente.it/forum/pot ... 63844.html
postato 2-3 giorni fa. Non ho potuto rispondere in sti giorni (e l'utente spazientito ha aperto subito un altro post identico invece che uppare quello vecchio.. vabbè).. cmq se non ha capito la mia risposta qui, dubito proprio che capirà la tua in cui parli di insiemi stellati e lemma di poincarè.
Ti faccio notare questo:
https://www.matematicamente.it/forum/pot ... 63844.html
postato 2-3 giorni fa. Non ho potuto rispondere in sti giorni (e l'utente spazientito ha aperto subito un altro post identico invece che uppare quello vecchio.. vabbè).. cmq se non ha capito la mia risposta qui, dubito proprio che capirà la tua in cui parli di insiemi stellati e lemma di poincarè.
Ok, alla luce di quanto vedo soltanto adesso nel post che mi fai notare sicuramente la risposta è un po' troppo "matematica". Non ho sfoggiato assolutamente nulla, tutto dipende da quanto si vuole entrare nel dettaglio sia fisico che matematico (quest'ultimo spesso è trascurato dal professore nei corsi di campi elettromagnetici, come è capitato a me). Magari con un intervento dell'interessato avrei potuto spiegarlo in maniera differente.
Grandissimo Schwinger!!!! Questo è parlare da fisici!!! Però lui ha vinto il nobel....se lo può permettere...
Infatti era solo per riportare un pensiero che condivido, di due persone che non sono certo le ultime arrivate
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