Differenza di Potenziale
Sul piano (x,y) si consideri il campo elettrostatico $ vec E = E_x vec e_x + E_y vec e_y $ con $ E_x = E_0x/acos((piy)/a) $ e $ E_y = (E_0pix^2)/(2a^2)sen((piy)/a) $ . Posto uguale a 0 il potenziale nell'origine si determini il potenziale nel punto (a,a).
Allora, per comodità vi dico come ho chiamato i vari punti nella risoluzione:
O(0,0) P(0,a) Q(a,a) ed R(a,0)
Allora, io ho risolto così: dalla formula della differenza di potenziale fra 2 punti come l'integrale lineare del campo elettrico, Ho scomposto il percorso dell'integrale in due vie, la prima da O a P, integrando in dy la componente y e poi integrando la componente x in dx fra P e Q.
Però il primo integrale mi viene $E_0*a/2 $ ed il secondo $ E_0*a $ , e sommandoli ottengo $ 3/2 E_o*a $ che dovrebbe essere la differenza di potenziale cercata. E invece non torna, dove sbaglio?
Allora, per comodità vi dico come ho chiamato i vari punti nella risoluzione:
O(0,0) P(0,a) Q(a,a) ed R(a,0)
Allora, io ho risolto così: dalla formula della differenza di potenziale fra 2 punti come l'integrale lineare del campo elettrico, Ho scomposto il percorso dell'integrale in due vie, la prima da O a P, integrando in dy la componente y e poi integrando la componente x in dx fra P e Q.
Però il primo integrale mi viene $E_0*a/2 $ ed il secondo $ E_0*a $ , e sommandoli ottengo $ 3/2 E_o*a $ che dovrebbe essere la differenza di potenziale cercata. E invece non torna, dove sbaglio?
Risposte
Ciao. Per caso il risultato è _$-(E_0*a)/2$_?
Sì, ma con il segno positivo.
A me torna lo stesso risultato tuo facendo il percorso opposto a quello descritto nel OP, cioè passando da 0 ad R, e poi da R a Q. Però perchè tornano diversi? Dovrebbero tornare uguali.
In cosa sbaglio?
A me torna lo stesso risultato tuo facendo il percorso opposto a quello descritto nel OP, cioè passando da 0 ad R, e poi da R a Q. Però perchè tornano diversi? Dovrebbero tornare uguali.
In cosa sbaglio?
Sì, scusa, il segno è un mio errore, ho dimenticato di metterlo davanti all'integrale.
Non so dove sbagli, dato che posti solo i tuoi risultati. Io ho fatto così: nel tratto $OP$ è $x=0$ quindi la componente
$E_y=E_0 \pi x^2 ...$ è nulla, ed è nullo l'integrale da sul segmento $OP$.
Sul segmento $PQ$ invece è $y=a$, quindi la componente $E_x$ vale: $E_x=E_0 x/a cos((\pi*a)/a)=E_0 x/a cos(\pi)=-E_0 x/a$; integrando da $0$ ad $a$ rispetto a $dx$ trovi $-E_0/a*1/2a^2=-(E_0*a)/2$; cambi di segno in quanto la differenza di potenziale è [tex]\Delta V=-\int _\gamma \vec{E}\cdot d\vec{l}[/tex] e trovi il risultato corretto.
Per verifica prova a seguire il cammino $ORQ$, è leggermente più laborioso ma arrivi allo stesso risultato.
Non so dove sbagli, dato che posti solo i tuoi risultati. Io ho fatto così: nel tratto $OP$ è $x=0$ quindi la componente
$E_y=E_0 \pi x^2 ...$ è nulla, ed è nullo l'integrale da sul segmento $OP$.
Sul segmento $PQ$ invece è $y=a$, quindi la componente $E_x$ vale: $E_x=E_0 x/a cos((\pi*a)/a)=E_0 x/a cos(\pi)=-E_0 x/a$; integrando da $0$ ad $a$ rispetto a $dx$ trovi $-E_0/a*1/2a^2=-(E_0*a)/2$; cambi di segno in quanto la differenza di potenziale è [tex]\Delta V=-\int _\gamma \vec{E}\cdot d\vec{l}[/tex] e trovi il risultato corretto.
Per verifica prova a seguire il cammino $ORQ$, è leggermente più laborioso ma arrivi allo stesso risultato.
Allora, facendo l'altro percorso, integro fra $ 0 $ ed $a$ la componente $x$ in $dx$. La componente, essendo $ y=0 $ diventa $ E_x= E_0 x/a $ , per cui il risultato è $ E_0*a/2 $.
Per l'altro integrale, essendo $ x = a $ la componente diventa $ E_y=E_0* pi/2*sen ((pi*y/a) $, e l'integrale fra $0$ ed $a$ della componente da $E_0*a/2 (-cos pi +cos 0 ) = E_0 a $
Considerando che si tratta di differenze di potenziali, e nel'origine è 0: $ V_0 - V_p=E_0*a/2$ , $ V_p - V_q = E_0 a $
Da cui essendo $ V_o = 0$ -> $ V_q = - 3/2 E_o a $
Ci dev'essere un errore di segno, ma non lo trovo.
Per l'altro integrale, essendo $ x = a $ la componente diventa $ E_y=E_0* pi/2*sen ((pi*y/a) $, e l'integrale fra $0$ ed $a$ della componente da $E_0*a/2 (-cos pi +cos 0 ) = E_0 a $
Considerando che si tratta di differenze di potenziali, e nel'origine è 0: $ V_0 - V_p=E_0*a/2$ , $ V_p - V_q = E_0 a $
Da cui essendo $ V_o = 0$ -> $ V_q = - 3/2 E_o a $
Ci dev'essere un errore di segno, ma non lo trovo.
Non so, c'è qualcosa che mi sfugge e temo di aver fatto anch'io qualche errore, mi sta venendo persino il dubbio che il campo in questione non sia conservativo e che la domanda sia un trabocchetto. Sei sicuro che la componente $E_y$ che hai scritto non abbia davanti un segno $-$ ? Ciao.
Pallit ha ragione, la seconda componente deve avere il segno opposto. Infatti, utilizzando un procedimento alternativo:
$\{((delV)/(delx)=-E_0/axcos((piy)/a)),((delV)/(dely)=(piE_0)/(2a^2)x^2sen((piy)/a)):} rarr$
$rarr \{(V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)+G(y)),((piE_0)/(2a^2)x^2sen((piy)/a)+G'(y)=(piE_0)/(2a^2)x^2sen((piy)/a)):} rarr$
$rarr \{(V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)+G(y)),(G'(y)=0):} rarr$
$rarr \{(V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)+C),(G(y)=C):}$
$[V(0,0)=0] rarr [C=0] rarr [V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)] rarr [V(a,a)=(aE_0)/2]$
$\{((delV)/(delx)=-E_0/axcos((piy)/a)),((delV)/(dely)=(piE_0)/(2a^2)x^2sen((piy)/a)):} rarr$
$rarr \{(V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)+G(y)),((piE_0)/(2a^2)x^2sen((piy)/a)+G'(y)=(piE_0)/(2a^2)x^2sen((piy)/a)):} rarr$
$rarr \{(V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)+G(y)),(G'(y)=0):} rarr$
$rarr \{(V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)+C),(G(y)=C):}$
$[V(0,0)=0] rarr [C=0] rarr [V=-E_0/(2a)x^2cos((piy)/a)] rarr [V(a,a)=(aE_0)/2]$
@speculor: vedere confermati da te i propri dubbi è rassicurante... te ne pongo un altro: è corretto ragionare sul fatto che per essere conservativo il campo deve avere rotore identicamente nullo, il che nella fattispecie si riduce alla richiesta: $(del E_x)/(del y)=(del E_y)/(del x)$, donde la necessità di un segno $-$ ? ciao
"Palliit":
...è corretto ragionare sul fatto che per essere conservativo il campo deve avere rotore identicamente nullo...
Certamente, si tratta di cambiare il segno di una delle due componenti. E se si vuole far tornare il risultato, bisogna cambiarlo alla seconda.
@speculor: grazie mille, ho ragionato nello stesso modo su quale delle due fosse da modificare.
@Jonhson91: hai verificato se il testo era quello che hai postato oppure manca un $-$ ?
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