Dielettrici e Simmetria

[luc.mm]

Salve, ho una sfera conduttrice con carica $ q $ lo spazio attorno è riempito di dielettrico lineare omogeneo. A questo punto mi viene detto magicamente che il vettore induzione dielettrica $ D $ ha simmetria sferica, e da lì facilmente si risolve tutto quanto coi teoremi di Gauss.

Ho bisogno di una giustificazione. Espongo il mio ragionamento.

La carica sul conduttore genera ovviamente un certo campo nello spazio $ E_c $ poichè è presente del dielettrico, questo viene polarizzato in un qualche modo, essendo lineare omogeneo, l'unico effetto macroscopico è quello di osservare una densità di carica superficiale di polarizzazione sul bordo della cavità sferica in cui è posta la sfera conduttrice, questa carica genera nello spazio un campo $ E_p $

Essendo la sfera un conduttore, la distribuzione di carica su di essa sarà tale che $ E_c+E_p=0 $, fin qui non c'è niente che mi convinca che la carica sulla sfera debba essere uniforme (come invece segue nel vuoto per unicità della soluzione dell'equazione di Laplace, con specifiche condizioni al contorno), nemmeno quella sulla superficie di dielettrico lo deve essere, l'unica condizione è che sommate generino un campo nullo nel conduttore, quindi la loro somma deve essere distrubuita uniformemente.

Uno potrebbe dire che dalla relazione $ P=epsilon_0(k-1)E $ (per dielettrici lineari) essendo il campo, nel vuoto in assenza di dielettrico, generato dal conduttore a simmetria sferica, anche $ P $ lo debba essere perchè è parallelo e concorde al campo; ma a quanto ho capito il campo in quella formula non è il campo che ci sarebbe nel vuoto che polarizza il dielettrico (altrimenti tutti i problemi di questo tipo sarebbero immediati se sapessi calcolare il campo nel vuoto generato dalle cariche libere), ma il campo totale nel dielettrico, generato sia dalle cariche di polarizzazione che da altre cariche esterne, quindi del campo nel vuoto e della sua simmetria non me ne faccio proprio nulla.

L'unica idea che mi rimane è l'interpretazione del vettore $ P $ come densità volumentrica di momenti di dipolo, essenzialmente se immergo un dielettrico in un campo esterno (come quello del conduttore sferico nel vuoto) si formano momenti di dipolo medi nei suoi costituenti allineati e concordi al compo che li ha generati, per cui almeno nei dielettrici che rispondono in questo modo (come quelli lineari omogenei credo) posso concludere che $ P $ è diretto come il campo che ha generato la polarizzazione (in questo caso quello che il conduttore genererebbe nel vuoto).

$ D=epsilon_0 E+P $ ma se non riesco a sapere a priori come sono disposti tali vettori, non posso concludere nulla sulla struttura di $ D $

Essenzialemente mi verrebbe da dire: a meno che in qualche modo intuisca come è disposta la polarizzazione (in base per esempio al campo che c'era prima di inserire il dielettrico) non posso far alcun ragionamento di simmetria sul vettore spostamento dielettrico.

Grazie.

[Light_1]

Per quel che ricordo , la simmetria sferica del vettore $D$ la ricavi dalla simmetria sferica del vettore $E$.
Tenendo conto della relazione

\( \overrightarrow{D} =\varepsilon _0 \overrightarrow{E} + \overrightarrow{P} \)

ti serve sapere la relazione che c' è tra $P$ ed $E$ per conoscere $D$ .

Ora tu hai a che fare con un dielettrico lineare e omogeneo , caso in cui il tensore di polarizzazione(che determina appunto la relazione tra $P$ ed $E$) è una matrice diagonale con tutti elementi uguali e costanti, in pratica un numero. Puoi allora riscrivere la relazione precedente come:

\( \overrightarrow{D} =\varepsilon _0(\chi +1) \overrightarrow{E} =\epsilon \overrightarrow{E} \)

Ho letto adesso il tuo ragionamento , non me n'ero accorto

il campo in quella formula non è il campo che ci sarebbe nel vuoto che polarizza il dielettrico

Beh sicuramente, almeno in modulo, ma qualcosa sulla direzione si può dire no ?
Ricorda le condizioni di raccordo del campo elettrico per il passaggio da un mezzo materiale all'altro.

[luc.mm]

Quindi dal fatto che il campo sia ortogonale sulla superficie (condizione sul bordo dal teorema di Coulomb) della sfera e nullo all'interno riesco a dire che la sua direzione è radiale in tutto il volume oltre la sfera, conseguentemente essendo la polarizzazione parallela al campo e l'induzione dielettrica la somma delle due, è anch'essa parallela al campo? Non riesco a trovare una giustificazione di questo perchè parte dall'assunzione di conoscere il campo in tutto lo spazio se lo conosco solo in un volume e sul suo bordo. Non posso nemmeno ragionare come nei conduttori, per cui una volta nota la geometria basta trovare una distribuzione di carica che annulla il campo all'interno per trovare la soluzione su come si dispone la carica (per unicità della soluzione dell'equazione di Laplace), perchè la carica che si può spostare è solo una parte di quella che genera tutto il campo.

L'unico ragionamente plausibile è cercare di capire come è avvenuta la polarizzazione, se ho ragioni per dire che la polarizzazione sarà radiale (per esempio osservando che il dielettrico è lineare omogeneo) allora segue ovviamente la radialità del campo e dell'induzione dielettrica. Io pongo proprio l'accento su questo. Senza ipotesi su come sia avvenuta la polarizzazione quando il dielettrico è stato esposto al campo esterno non posso dire niente.

[Light_1]

Non riesco a trovare una giustificazione di questo perché parte dall'assunzione di conoscere il campo in tutto lo spazio se lo conosco solo in un volume e sul suo bordo

La giustificazione sta nella geometria stessa del sistema , che ha simmetria radiale ..

[luc.mm]

E' proprio questo il problema. Cosa vuol dire la frase "per simmetria radiale"? Che ho una sfera? Bene ma la radialità deriva da come dispongo la carica sulla sfera, se è uniforme allora va bene. Altrimenti se io non so a priori come si dispone la carica non sono autorizzato a dire simmetria radiale.

Edit: mi son risposto da solo nel primo post, la somma delle cariche è distribuita uniformemente, quindi il campo totale è per forza radiale, e la simmetria è ovvia. Grazie per l'aiuto comunque!