Diagonalità di una matrice che descrive l'energia cinetica (meccanica analitica)
\[ T=1/2\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}(\sum_{i=1}^N {\partial r_i(q)/\partial q_j}\cdot {\partial r_i(q)/\partial q_k}) \]\[ T=1/2\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}(\sum_{i=1}^N {\partial r_i(q)/\partial q_j}\cdot {\partial r_i(q)/\partial q_k}) \]Salve a tutti. Sto studiando dagli appunti presi a lezione meccanica razionale. Il testo del professore è il famosissimo Landau, il quale sicuramente è apprezzatissimo per la sua brillantezza, ma molto scarno di matematica per chi non è proprio ad alti livelli. Il mio professore, d'altra parte, spesso e volentieri omette importanti passaggi matematici (o forse sono io che non li colgo bene 
). In ogni caso questo è il problema:
Siano $q= ( ( q_1 ),( q_2 ),( \vdots ),( q_s ) ) $ coordinate di $N$ punti materiali liberi con conseguenti $s=3N$ gradi di libertà. Sia la lagrangiana $L=T(v)-U(r)$, con $T=\sum_{i=1}^Nm_i/2v_i^2$. Le coordinate $q_1,\cdots,q_s$ sono tutte funzioni delle coordinate cartesiane $x_1,y_1,z_1,\cdots,x_N,y_N,z_N$. In pratica si tratta di passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate generalizzate $q$, funzioni di classe $C^{\infty}$ e invertibili.
Considero il seguente $\sum_{i=1}^{N}m_i/2 v_i=\sum_{i=1}^{N}m_i/2{dr_i(q)}/{dt}$.
Si valuta a parte la derivata di r_i(q), si ricorda che v_i^2=v_i\cdot v_i e alla fine si ottiene che
\[ T=\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}\Bigl(\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_k}\Bigr). \]
Si consideri ora l'isomorfismo di $q$ come vettore colonna come l'ho scritto all'inizio. Inoltre si consideri la matrice $A$ con elementi
\[ a_{j,k}=\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_k}. \]
$A$ è definita positiva e diagonale e l'energia cinetica si scrive ora in forma matriciale (ovviamente la $t$ come apice indica la trasposta) come
\[ T=\frac{1}{2}(\dot{q})^t\cdot A\cdot \dot{q}. \]
Quello che io non capisco proprio è perché $A$ dovrebbe essere una matrice diagonale.
Lo so che ho scritto in modo approssimativo e disordinato, ma davvero non ci sto capendo nulla. Grazie a chi mi aiuterà.
). In ogni caso questo è il problema:Siano $q= ( ( q_1 ),( q_2 ),( \vdots ),( q_s ) ) $ coordinate di $N$ punti materiali liberi con conseguenti $s=3N$ gradi di libertà. Sia la lagrangiana $L=T(v)-U(r)$, con $T=\sum_{i=1}^Nm_i/2v_i^2$. Le coordinate $q_1,\cdots,q_s$ sono tutte funzioni delle coordinate cartesiane $x_1,y_1,z_1,\cdots,x_N,y_N,z_N$. In pratica si tratta di passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate generalizzate $q$, funzioni di classe $C^{\infty}$ e invertibili.
Considero il seguente $\sum_{i=1}^{N}m_i/2 v_i=\sum_{i=1}^{N}m_i/2{dr_i(q)}/{dt}$.
Si valuta a parte la derivata di r_i(q), si ricorda che v_i^2=v_i\cdot v_i e alla fine si ottiene che
\[ T=\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}\Bigl(\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_k}\Bigr). \]
Si consideri ora l'isomorfismo di $q$ come vettore colonna come l'ho scritto all'inizio. Inoltre si consideri la matrice $A$ con elementi
\[ a_{j,k}=\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_k}. \]
$A$ è definita positiva e diagonale e l'energia cinetica si scrive ora in forma matriciale (ovviamente la $t$ come apice indica la trasposta) come
\[ T=\frac{1}{2}(\dot{q})^t\cdot A\cdot \dot{q}. \]
Quello che io non capisco proprio è perché $A$ dovrebbe essere una matrice diagonale.
Lo so che ho scritto in modo approssimativo e disordinato, ma davvero non ci sto capendo nulla. Grazie a chi mi aiuterà.
Risposte
Sto facendo un po' di fatica a capire la notazione.
$r$ sarebbe un vettore di vettori? Ovverosia
$\vec r=\left( \vec r_1,\vec r_2,....,\vec r_N\right)$ dove $\vec r_1= (x_1^1,x_2^1,x_3^1)$
pertanto la moltiplicazione nella parentesi in realtà sarebbe un prodotto scalare?
quindi con la seguente scrittura
$ T=\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}(\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_k}). $
in realtà intendi ?
$ T=\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}(\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial \vec r_i(\vec q)}{\partial q_j} \cdot \frac{\partial \vec r_i(\vec q)}{\partial q_k}). $
$r$ sarebbe un vettore di vettori? Ovverosia
$\vec r=\left( \vec r_1,\vec r_2,....,\vec r_N\right)$ dove $\vec r_1= (x_1^1,x_2^1,x_3^1)$
pertanto la moltiplicazione nella parentesi in realtà sarebbe un prodotto scalare?
quindi con la seguente scrittura
$ T=\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}(\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial r_i(q)}{\partial q_k}). $
in realtà intendi ?
$ T=\frac{1}{2}\sum_{j,k=1}^s \dot{q_j}\cdot\dot{q_k}(\sum_{i=1}^N m_i \frac{\partial \vec r_i(\vec q)}{\partial q_j} \cdot \frac{\partial \vec r_i(\vec q)}{\partial q_k}). $
Sì effettivamente sono prodotti scalari che stupidamente non ho messo. Il vettore $\vec{r}$ è la posizione del punto espresso in funzione delle coordinate generalizzate. Sinceramente non ho ben capito come sia la questione e cosa sia in funzione di cosa. Purtroppo sul Landau non ho trovato ancora una parte corrispondente agli appunti e anche gli appunti stessi sono fatti in maniera molto approssimativa (non a causa mia...). In ogni caso la seconda scrittura che hai messo è (dovrebbe) essere quella corretta. In questo caso... come si giustifica (anche non rigorosamente) la "diagonalità"? Ti ringrazio.
Ma figurati non é obbligatorio mettere il simbolo di vettore, anzi il mio professore Carlangelo Liverani non indicava mai i vettori perché lo riteneva inutile.
La dipendenza dalle variabili andrebbe sempre indicata perché tutti i calcoli che fai si basano sulla chain rule. Inoltre la matrice $[D]$ é certamente simmetrica e definita positiva quindi in virtú del teorema spettrale esiste certamente un riferimento ortonormale in cui é diagonale. Devo solo capire se é giá diagonale scritta cosí.
La dipendenza dalle variabili andrebbe sempre indicata perché tutti i calcoli che fai si basano sulla chain rule. Inoltre la matrice $[D]$ é certamente simmetrica e definita positiva quindi in virtú del teorema spettrale esiste certamente un riferimento ortonormale in cui é diagonale. Devo solo capire se é giá diagonale scritta cosí.
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