Di nuovo corpi rigidi: esercizio più complesso
Ciao a tutti! Sono arrivato alla fine del questionario di fisica senza problemi, anche grazie all'aiuto avuto sul primo esercizio che mi ha fatto comprendere diverse cose non chiare. Adesso però non riesco a risolvere l'ultimo esercizio, ho provato in tutti i modo ma non trovo l'"algoritmo" vincente! Come al solito, faccio appello alla pazienza di qualcuno: l'unica cosa che posso dare in cambio è tutta la mia riconoscenza.
Dunque, poichè stavolta la figura in ASCII sarebbe stata troppo complessa per me, ho messo testo e immagine dell'esercizio su una pagina web (http://lamecca.altervista.org). Per chiarezza, riporto comunque la traccia qui:
Un'asta omogenea AB di massa 3Kg e lunghezza 50cm è incernierata in A e legata in C con una fune orizzontale (AC = 25cm). Calcolare: la tensione della corda; la forza esercitata dal muro sull'asta in A; la velocità con cui B colpisce il muro se la fune viene tagliata.
Come si vede, si tratta di un problema di statica dei corpi rigidi. Io mi sono praticamente bloccato subito, perchè non riesco a capire come agisca il peso sulla sbarretta e che forze ci siano sul muro di sinistra (chi vedrà l'immagine si renderà conto). Rinnovo la mia richiesta di aiuto nella speranza che qualche anima buona si muova a compassione della mia ignoranza!
Dunque, poichè stavolta la figura in ASCII sarebbe stata troppo complessa per me, ho messo testo e immagine dell'esercizio su una pagina web (http://lamecca.altervista.org). Per chiarezza, riporto comunque la traccia qui:
Un'asta omogenea AB di massa 3Kg e lunghezza 50cm è incernierata in A e legata in C con una fune orizzontale (AC = 25cm). Calcolare: la tensione della corda; la forza esercitata dal muro sull'asta in A; la velocità con cui B colpisce il muro se la fune viene tagliata.
Come si vede, si tratta di un problema di statica dei corpi rigidi. Io mi sono praticamente bloccato subito, perchè non riesco a capire come agisca il peso sulla sbarretta e che forze ci siano sul muro di sinistra (chi vedrà l'immagine si renderà conto). Rinnovo la mia richiesta di aiuto nella speranza che qualche anima buona si muova a compassione della mia ignoranza!
Risposte
Perdonatemi! Mi sono dimenticato che l'angolo alfa è 30°.
Occorre fare una figura per capire bene il procedimento.
Il diagramma delle forze (che possiamo pensare applicate in C)
e' formato da tre forze:
la forza T diretta orizzontalmente da C verso il muro di destra;
la forza peso P diretta ,ovviamente, verticalmente verso il basso;
la forza F diretta da C verso il muro di sinistra ,lungo l'asta.
Deve essere:
(1) T+P+F=0 (qui T,P ed F sono vettori)
Assumendo un riferimento cartesiano ortogonale con centro in C
e proiettando la (1) su i due assi si ottengono le equazioni:
-Fsin(alfa)+T=0
Fcos(alfa)-P=0
da cui:
F=P/cos(alfa) e T=Ptg(alfa) che sono le forze richieste (in kg)
(sostituisci tu i valori dati).
Se la fune viene tagliata il cm C si abbassa (anche qui occorre
la figura)di un tratto h=L/2-L/2cos(alfa)=L/2(1-cos(alfa))
(L=lunghezza asta)
e per la conservazione dell'energia si ha:
1/2*I*omega^2=mgh (I=momento d'inerzia dell'asta=1/3*m*(L^2)
omega =velocita' angolare)
Da qui si ricava che:
omega=sqrt((2mgh/I)=sqrt((3g(1-cos(alfa))/L).
Tenuto conto che il punto B descrive un arco di raggio L ,si ha:
velocita'di B=r*omega=L*sqrt((3g(1-cos(alfa))/L).
Dunque : Vb=sqrt(3gL(1-cos(alfa)).
(spero di aver interpretato bene il problema)
karl.
Il diagramma delle forze (che possiamo pensare applicate in C)
e' formato da tre forze:
la forza T diretta orizzontalmente da C verso il muro di destra;
la forza peso P diretta ,ovviamente, verticalmente verso il basso;
la forza F diretta da C verso il muro di sinistra ,lungo l'asta.
Deve essere:
(1) T+P+F=0 (qui T,P ed F sono vettori)
Assumendo un riferimento cartesiano ortogonale con centro in C
e proiettando la (1) su i due assi si ottengono le equazioni:
-Fsin(alfa)+T=0
Fcos(alfa)-P=0
da cui:
F=P/cos(alfa) e T=Ptg(alfa) che sono le forze richieste (in kg)
(sostituisci tu i valori dati).
Se la fune viene tagliata il cm C si abbassa (anche qui occorre
la figura)di un tratto h=L/2-L/2cos(alfa)=L/2(1-cos(alfa))
(L=lunghezza asta)
e per la conservazione dell'energia si ha:
1/2*I*omega^2=mgh (I=momento d'inerzia dell'asta=1/3*m*(L^2)
omega =velocita' angolare)
Da qui si ricava che:
omega=sqrt((2mgh/I)=sqrt((3g(1-cos(alfa))/L).
Tenuto conto che il punto B descrive un arco di raggio L ,si ha:
velocita'di B=r*omega=L*sqrt((3g(1-cos(alfa))/L).
Dunque : Vb=sqrt(3gL(1-cos(alfa)).
(spero di aver interpretato bene il problema)
karl.
karl, ti ringrazio assai per il tuo intervento, sono riuscito senz'altro a risolvere l'esercizio ma ho ancora dei dubbi. Per quanto riguarda la prima parte, cioè il calcolo della forza esercitata dal muro e della tensione della funa mi trovo perfettamente con te, anche se non ho capito da dove esce fuori la forza parallela alla sbarretta e diretta verso il muro: è la reazione vincolare del muro che hai traslato in C?
In secondo luogo, sono insorti dei problemi nel calcolo della velocità che avrebbe B se la fune fosse tagliata. Ho usato anch'io la conservazione dell'energia, ma ho sfruttato diversamente le equazioni:
In C, nell'istante I c'è solo Energia Potenziale
Ep = L/2*(1 - cos(alfa))
Sempre in C, nell'istante II c'è solo Energia Cinetica
Ek = 1/2*M*vc^2 + 1/2*I*w^2 (sfruttando Koenig)
dove:
M è ovviamente la massa della sbarretta
vc è la velocità del centro di massa, quindi di C
I è il momento di inerzia noto, pari a 1/3*M*L^2
w naturalmente è omega
quindi: L/2*(1 - cos(alfa)) = 1/2*M*(w*L/2)^2 + 1/2*I*w^2
ho sostituito a vc w*L/2 in maniera da ottenere w che è uguale per tutti i punti della sbarretta e poi calcolarmi la velocità nel punto B facendo w*L
pertanto, risolvendo per w:
w^2 = L/2*(1 - cos(alfa)) / 1/2*M*(L/2)^2 + 1/6*M*L^2
per cui
w ~ 0.46 rad/s
vb = w*L ~ 0.24 m/s
Sono valori molto bassi, secondo me ho sbagliato qualcosa, qualcuno mi aiuti!
In secondo luogo, sono insorti dei problemi nel calcolo della velocità che avrebbe B se la fune fosse tagliata. Ho usato anch'io la conservazione dell'energia, ma ho sfruttato diversamente le equazioni:
In C, nell'istante I c'è solo Energia Potenziale
Ep = L/2*(1 - cos(alfa))
Sempre in C, nell'istante II c'è solo Energia Cinetica
Ek = 1/2*M*vc^2 + 1/2*I*w^2 (sfruttando Koenig)
dove:
M è ovviamente la massa della sbarretta
vc è la velocità del centro di massa, quindi di C
I è il momento di inerzia noto, pari a 1/3*M*L^2
w naturalmente è omega
quindi: L/2*(1 - cos(alfa)) = 1/2*M*(w*L/2)^2 + 1/2*I*w^2
ho sostituito a vc w*L/2 in maniera da ottenere w che è uguale per tutti i punti della sbarretta e poi calcolarmi la velocità nel punto B facendo w*L
pertanto, risolvendo per w:
w^2 = L/2*(1 - cos(alfa)) / 1/2*M*(L/2)^2 + 1/6*M*L^2
per cui
w ~ 0.46 rad/s
vb = w*L ~ 0.24 m/s
Sono valori molto bassi, secondo me ho sbagliato qualcosa, qualcuno mi aiuti!
Per quanto riguarda il primo dubbio la forza F
e' proprio la reazione del muro.In effetti ho ragionato cosi':
se la sbarra fosse appesa (in verticale)al muro, questo
la manterrebbe in equilibrio con un forza diretta verso
l'alto ,quindi parallela all'asta,pari al peso dell'asta medesima.
Lo stesso avviene se si angola la sbarra,con la differenza
che F e' stavolta diversa dal peso della sbarra ma
cmq sempre parallela alla sbarra stessa.Ai fini del diagramma
delle forze e' indifferente lasciare F dov'e' o trascinarla
in C (puoi provare cio' rifacendo i calcoli lasciando F
applicata nel punto A,anche se cosi diventano piu'laboriosi).
Per il secondo punto,mi pare che in questo caso ci sia solo
rotazione attorno al punto A e non traslazione.
Pertanto nel calcolo di Ec
entra solo il termine 1/2*I*omega^2 che comprende anche
l'energia rotazionale del cm.
Infine per cio' che concerne i calcoli,ora omega
dovrebbe risultare piu' alto;cmq controlla
la compatibilita' delle unita' di misura.
Certamente hai tenuto conto che la lunghezza della
sbarra e' in centimetri.
karl.
e' proprio la reazione del muro.In effetti ho ragionato cosi':
se la sbarra fosse appesa (in verticale)al muro, questo
la manterrebbe in equilibrio con un forza diretta verso
l'alto ,quindi parallela all'asta,pari al peso dell'asta medesima.
Lo stesso avviene se si angola la sbarra,con la differenza
che F e' stavolta diversa dal peso della sbarra ma
cmq sempre parallela alla sbarra stessa.Ai fini del diagramma
delle forze e' indifferente lasciare F dov'e' o trascinarla
in C (puoi provare cio' rifacendo i calcoli lasciando F
applicata nel punto A,anche se cosi diventano piu'laboriosi).
Per il secondo punto,mi pare che in questo caso ci sia solo
rotazione attorno al punto A e non traslazione.
Pertanto nel calcolo di Ec
entra solo il termine 1/2*I*omega^2 che comprende anche
l'energia rotazionale del cm.
Infine per cio' che concerne i calcoli,ora omega
dovrebbe risultare piu' alto;cmq controlla
la compatibilita' delle unita' di misura.
Certamente hai tenuto conto che la lunghezza della
sbarra e' in centimetri.
karl.
Hai fatto due tipi diversi di errori.
Il primo riguarda l'energia potenziale, infatti essa è:
Ep = Mgh = MgL(1 - cos(alfa))/2
Il secondo riguarda l'applicazione della formula di Konig.
Infatti in essa si deve considerare il moto rotatorio rispetto al centro di massa perciò il momento d'inerzia rispetto al centro di massa è I = ML^2/12 (utilizzando il teorema di Steiner).
La conservazione dell'energia perciò implica:
MgL[1 - cos(30°)]/2 = M(wL/2)^2/2 + Iw^2/2 = ML^2w^2/6
Da questa si ottiene:
w = sqrt[3g(1 - cos(30°))/L]
La velocità del punto B diventa perciò:
vB = wL = sqrt[3gL(1 - cos(30°))] = 1,404 m/s.
Bisogna considerare però che per trovare la velocità del punto B è molto più semplice considerare il moto della sbarretta puramente rotatorio rispetto al punto A (come ha fatto Karl) invece di considerarlo rototraslatorio rispetto al centro di massa come hai fatto tu.
Il primo riguarda l'energia potenziale, infatti essa è:
Ep = Mgh = MgL(1 - cos(alfa))/2
Il secondo riguarda l'applicazione della formula di Konig.
Infatti in essa si deve considerare il moto rotatorio rispetto al centro di massa perciò il momento d'inerzia rispetto al centro di massa è I = ML^2/12 (utilizzando il teorema di Steiner).
La conservazione dell'energia perciò implica:
MgL[1 - cos(30°)]/2 = M(wL/2)^2/2 + Iw^2/2 = ML^2w^2/6
Da questa si ottiene:
w = sqrt[3g(1 - cos(30°))/L]
La velocità del punto B diventa perciò:
vB = wL = sqrt[3gL(1 - cos(30°))] = 1,404 m/s.
Bisogna considerare però che per trovare la velocità del punto B è molto più semplice considerare il moto della sbarretta puramente rotatorio rispetto al punto A (come ha fatto Karl) invece di considerarlo rototraslatorio rispetto al centro di massa come hai fatto tu.
Tutto chiarissimo, vi ringrazio davvero di cuore entrambi!
Infatti l'equazione della conservazione dell'energia è questa:
M*g*L/2*(1-cos(alfa)) = 1/6*M*L^2*w^2
da cui omega:
w = sqrt(3g(1-cos(alfa) / L) ~ 2.81 rad/s
e quindi
vb = w*L = 1.40 m/s
Urrah!
Infatti l'equazione della conservazione dell'energia è questa:
M*g*L/2*(1-cos(alfa)) = 1/6*M*L^2*w^2
da cui omega:
w = sqrt(3g(1-cos(alfa) / L) ~ 2.81 rad/s
e quindi
vb = w*L = 1.40 m/s
Urrah!
Alcune osservazioni su questo interessante problema( anche se vedo che arrivo un po tardi ) :
a) Certamente, F è la reazione del vincolo, cioè la forza che il muro
esercita sull'asta in A.
Poichè il problema è stato risolto utilizzando :
* somma delle componenti orizzontali delle forze = 0
* somma delle componenti verticali delle forze = 0
allora è inessenziale il punto di applicazione della forza F( è stato
considerato C).
Se invece, per risolvere il problema si fosse usato :
* Somma dei momemnti delle varie forze rispetto ad A =0 , allora la
forza F non può più essere spostata dove si vuole , ma deve restare
nel suo punto di applicazione reale ( cioè A).
b) Keplero, non è corretto il tuo calcolo dell'energia cinetica
perchè sommi due termini di cui uno corretto , ma l'altro no , in
quanto vale 0 :
* 1/2*Iw^2 è corretto : si tratta infatti di moto rotatorio
1/2*Mvc^2 : questo non è applicabile; sarebbe corretto se il moto
fosse rototraslatorio ( invece è solo rotatorio) , questo termine
terrebbe conto della componente traslatoria del moto.
se i miei conti sono giusti si ottiene una velocità del punto B
all'impatto di : 1,404 m/s.
Camillo
a) Certamente, F è la reazione del vincolo, cioè la forza che il muro
esercita sull'asta in A.
Poichè il problema è stato risolto utilizzando :
* somma delle componenti orizzontali delle forze = 0
* somma delle componenti verticali delle forze = 0
allora è inessenziale il punto di applicazione della forza F( è stato
considerato C).
Se invece, per risolvere il problema si fosse usato :
* Somma dei momemnti delle varie forze rispetto ad A =0 , allora la
forza F non può più essere spostata dove si vuole , ma deve restare
nel suo punto di applicazione reale ( cioè A).
b) Keplero, non è corretto il tuo calcolo dell'energia cinetica
perchè sommi due termini di cui uno corretto , ma l'altro no , in
quanto vale 0 :
* 1/2*Iw^2 è corretto : si tratta infatti di moto rotatorio
1/2*Mvc^2 : questo non è applicabile; sarebbe corretto se il moto
fosse rototraslatorio ( invece è solo rotatorio) , questo termine
terrebbe conto della componente traslatoria del moto.
se i miei conti sono giusti si ottiene una velocità del punto B
all'impatto di : 1,404 m/s.
Camillo
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